导数经典例题精析(3)
1(已知a?0，函数.
(1)当x为何值时，取得最小值,
证明
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你的结论;
(2)设在[,1，1]上是单调函数，求a的取值范围.
分析:
(1)的定义域为(,?，+?).由导数应用可知，结合的单调性，的最值可能在极值
点或区间端点取到.所以应考虑x???时的取值.
(2)由(1)确定了的单调性，就可以确定在[,1，1]上的单调性了.
解析:
(1)
令，解得，且
当x变化时，列
表
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如下:
x (,?,x) x (x,x) x (x,+?) 111222
+ 0 , 0 +
? ? ?
又当x,0时，
当x=x时， 2
?，即当x=x时，取最小值. 2
(2)由(1)知若在[,1，1]上单调递减
则x?1 即 2
解不等式得
反思:
(1)结合图形来判断函数最值的情况.事实上，函数图象草图如图所示.
(2)准确分析的极值点的范围有助于确定在给定区间的单调性.
2(已知在x=1与x=,2时都取得极值.
(1)求a，b的值;
(2)若x?[,3，2]都有恒成立，求c的取值范围.
分析:
(1)已知的极值点，即已知的零点
(2)，问题即转化为求解在[,3，2]上的最小值.
解析:
(1)
由已知，解得
(2)，
令，解得x=,2，x=1 12
当x变化时，列表如下:
x ,3 (,3,,2) ,2 (,2,1) 1 (1,2) 2
+ 0 , 0 +
? ? ?
?，?
解得
反思:利用函数最值比较不等式.
3(已知定义在正实数集上的函数，，其中
a,0.设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同.
(1)用a表示b，并求b的最大值;
(2)求证:()
分析:
(1)与在公共点处切线相同，则函数在该点导数相等.
(2)构造辅助函数，则只需.
解析:
(1)，
令，解得x=a或x=,3a
由已知x,0，?x=a
又，?，?
设
令，?
当a变化时，列表如下:
a
+ 0 ,
? ?
?
(2)令
令，解得x=a或x=,3a(舍)
当x变化时列表如下
x (0,a) a (a,+?)
, 0 +
? ?
?
?当x,0时， 即
4(已知，.
(1)求的值域;
(2)设a?1，函数，x?[0，1]，若对于任意x?[0，1]，总1存在x?[0，1]， 0
使得成立，求a的取值范围.
分析:
(1)常规问题;
(2)由题可知，只需满足即且
解析:
(1)
令，解得x=1，(舍) 1
?在[0，1]单调递减
?，，
的值域为[―4，,3]
(2)
令，解得x=0，x=2a(舍) 12
?在[0，1]单调递减
?，
由已知，解得
反思:
(1)对于第(2)问，对两个量词(“任意”“存在”)的理解.
(2)若将第(2)问改为:若对于任意x?[0，1]，任意x?[0，1]，使得，10则需要满足
的条件即为.一方面要注意与例3的联系与差别，另一方面例3
的第(2)问并不
等价于.如图所示，任意，但.
5(已知函数有三个极值点.
(1)证明:,27,c,5;
(2)若存在实数c，使函数在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围.
分析:
(1)有三个极值点，则有三个零点.
(2)在[a，a+2]单调递减，则.
解析:
(1)，令
?
令，?x,,3或x,1
即在(,?，,3)，(1，+?)单调递增
?若在3个极值点
则，即
?,27,c,5
(2)由题意可知，任意x?[a，a+2]有恒成立
?对任意x?[a，a+2]成立
由已知，存在c?(,27，5)使上述不等式成立
则只需对任意x?[a，a+2]成立
令，x?[a，a+2]
，
令，x=,3，x=1 12
当x变化时，列表如下
x (,?,,3) ,3 (,3,1) 1 (1,+?)
+ 0 , 0 +
? 0 ? ,32 ?
由题意可知 a+2,,3 或
解得a?(,?,,5)?(,3,1)
反思:结合函数图象确定函数的值的符号.
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