高等数学-三重积分的计算
1、试将三重积分化为三次积分，其中积分区域分别为: ,fxyzdv,,，，,,,,
1) 由双曲抛物面及平面所围成的区域。 xyz,xyz，,,,10,0
11,xxy。 dxdyfxyzdz,,fxyzdv,,,，，，，,,,,,,000,
2222) 由曲面所围成的区域 zxyzx,，,,2,2
22112,,xx。 fxyzdv,,,dxdyfxyzdz,,，，，，222,,,,,,,,,，112xxy,
2、计算下列三重积分
1 1)，其中是由平面所围成的四面dvxyzxyz,,,，，,0,0,0,1,3,,,，，，1xyz，，,
体。
,,11111,,,,xxyx111 解:原式 dxdydzdxdy,,,,,32,,,,,00000,,8xyzxy121，，，，，，，，，,,
1,x，，11113yx,,dxdx,,,,，, ,,,,,,002182288，，，xyx，，,,,,，，0
12，，1315x ,，，,,,ln1ln2xx，，,,2168216，，0
23,xyz, 2)xyzdv，其中是由曲面与平面所围成的闭区域。 xyxz,,,,1,0,,,,
111xxyx111235612,,,,dxdyxyzdzdxxydyxdx 解:原式 ,,,,,,000000428364
22222222,xyzRzR，，,,20 3)zdxdydz，其中为两个球体和的xyzR，，,，，,,,,
公共部分。
RR222，zdzdxdy,zdzdxdy 解:原式 R,,,,,,022222222x，y,2Rz,z，,,xyRz
RR222222，，，，,,zR,zdz，,z2Rz,zdz R,,02
RR2354552，，，，59,Rz,z,Rz,z,R ,,，,,,,,,3525480R，，，，02
3、利用柱面坐标计算下列三重积分
2222,,xy 1)，其中是曲面和平面所围成闭区域。 zz,,0,1xy，,1edv,,,,,
1,2112211，，,,,,rr 解:原式 ddrredze,,,,,,,,21,,,,,,,000e2，，,,0
22222)，其中是曲面及所围成闭区域。 zxy,，zdvzxy,,,2,,,,,
22121,,r735解:原式 ,,,,,ddrrzdzrrrdr,,,2，，2,,,,000r12
122223)，其中是由曲面及平面所围成的区域。 ,z,2zxy,，xydv，，，，，,,,2,
2546,2222,,，，rrr16332,,,,,,,,,,ddrrdzrdr222解:原式 r,,,,,,,,000221232,,，，0
22324)，其中是曲面和平面所围成闭区域。 zz,,0,2xy，,,11xxydv，,，，，，,,,,
,,,,2sin22sin44 解:原式 ,,ddrrdzdrdr,,,,cos2cos,,,,,00000
,,6432，，56 ,,,,,,,sincossin0d,,,0515，，0
4、利用球面坐标计算下列三重积分
222sinxyz，，2222,1)，其中是由球面与平面dvxyzR，，,,,,222xyz，，,
所围成的在第一象限的闭区域。 xyz,,,0,0,0
,,,R,R222,,,,，dddsinsincoscossin解:原式 ,,,,,,,,,,,,,,,,,000002,,,sincosRRR ，，2
22222xyzRzRzxy，，,,,，20,,zdv2)，其中是由不等式所围成的闭，，,,,,
区域。
,,22cosR,,34544,,dddRd,,,,,,,,,,sincos8cossin解:原式 ,,,,0000
,4417R,，，46,,,8cosR ,,,,66，，0
222222223)，其中是由不等式所围成的xyzzxy，，,,，1,,1,,,xyzdv,,,,
闭区域。
,,,21,2224442,,,,ddddttdt,,,,,,,,,1sin2sinsinsin解:原式 ，，,,,,,00000
2,,,,,,32,,4 2cos1,,，,,,,,,,,,,,0,,41682,,,,
5、选用适当坐标计算下列三重积分
2222221)，其中是由球面所围成区域。 ,xyzdv，，xyzz，，,,,,,
,,,522cos,,，，1cos,,,3422解:原式 ,,,,,ddddsin2cossin,,,,,,,,,,,,,,,000042510，，0
22222z,52,)，其中是由曲面及平面所围成闭区域。 425zxy,，xydv，，，，，,,,,
245,2252，，55rr,,334解:原式 ,,,,,,,,,,ddrrdzrrdr25285,,,,,,,,r000242,,2，，0
222xyz，，22222axedv,3)，其中是球面所围成的在第一象限内的闭区域。 xyza，，,,,,,
a222,,,,,2244，，a,,,aaa2223222aaa解:原式 sincosddedee,,,,,,,,,,,,,,,0004228,,，，0
222xyz222，，222xyzabcedv，，,14)，其中是所围成的闭区域。 ,222,,,abc,
解:利用坐标变换xaybzc,,,,,,,,,,,sincos,sinsin,cos，则有
02,0,01,,,,,,,,,,,
212,,,,2,,,,ddabceddabced,,,,,,,,sin2sin原式 ，，,,,,,00000
,,,,,,22cos42,,,abceabce ，，，，,,0
R6、球心在原点，半径为的球体，在其上任意一点的体密度与该点到球心的距离成正比例，
求这球体的质量。
2,,R2223mkxyzdvddkd,，，,,,,,,sin解: ,,,,,,000,
4,kR,
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