凸函数定义等价性的进一步探讨

凸函数定义等价性的进一步探讨 凸函数定义等价性的进一步探讨 第30卷第6期 2010年11月 大庆师范学院 JOURNALOFDAQINGNORMALUNIVERSITY Vo1.30No.6 November.2010 凸函数定义等价性的进一步探讨 张金 (宿迁高等师范学校数学系,江苏宿迁223800) 摘要:凸函数在数学规划,最优化理论,变分不等式等领域中具有十分重要的作用.本文在已有凸函数文献基础 上,讨论了凸函数的七种不同形式的定义,这些概念从不同方面刻画了凸函数的特征.为 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明这些定义之间的等 价性,对各种定义之间的等价性进行了完整的分析和证明,并对凸函数教学提出了进一步的改进与完善. 关键词:凸函数;差异性;等价性 作者简介:张金(1978一),男,江苏宿迂人,宿迁高等师范学校数学系讲师,从事微积分研究. 中图分类号:O174.13文献标识码:A文章编号:2095—0063(2010)06—0049—03收 04—11 稿日期:2010— 0引言 凸函数是一重要的概念.已有的文献中,在给定的区间,上,给出了凸函数多种不同形式的定义,并 对定义之间等价性作了分析与证明,见文献[1],[5].下文拟对一般区间,上的凸函数最基本的定义作 一 概述,进一步探讨与证明它们之间的等价性. 1凸函数的基本定义 下面给出凸函数几种定义: 定义1:设函数八)在区间,上有定义)称为,上的凸函数,当且仅当:V,PC:?I,有 定义2:设函数-厂()在区间,上有定义)称为,上的凸函数,当且仅当:V.,:,…,EE,,有 定义3[6]:设函数l厂()在区间,上有定义)称为,上的凸函数,当且仅当:V. 1),有 _厂(AxJ+(1一A)2)?Af(1)+(1一A)PC2) 定义4:设函数-厂()在区间,上有定义PC)称为,上的凸函数,当且仅当:VA.? 1,2,…n),Vl,PC2,…?I,有 /f主?\i1/?A) 定义5:设函数_厂()在区间,上有定义)称为,上的凸函数,当且仅当: Vp(i=1,2,…n)不全为零,Vl,2,…?I,有 ?p) ?上l__ ?p』一l:l (2) ,2?I,VA?(0, (3) 0且?A:1(i= (4) (5) 49 一,一.?? 厂??l 一 定义6:设函数)在区间,上有定义)称为,上的凸函数,当且仅当:V.,,…?I,且< 2<3,有 二!?!二(6) l—23一1 :设函数-厂()在区间,上有定义,fl)称为,上的凸函数,当且仅当:V,,…?I,且< 1l 12 13 .) 2) ,) ?0(7) 上述定义中的"?"若改为"<",则得.厂()为,上的严格凸函数.区间,上可导或二阶可导的凸函数 还可借助导数厂()的单调递增或/()来判定或定义(见文献[1][2][3]),这一点本文不再赘述. 2定义之间等价性的证明与探讨 首先给出几个定理: 定理1:定义1与定义2等价. 证明:"定义2定义1"显然成立,在(2)式中令n=2即得(1)式.只要证明:"定义1定义2". 采用反向归纳法. 1)由(1)式知:当n=2时(2)式成立.现证n=4时(2)式成立.事实上,V,,,,,?I,由(1) 式有 )=1?堡 ?.丛生?坠4 此即(2)式当n=4时成立.一般地,对任一正整数,重复上面 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,应用(1)式次,可知 这表明(2)式对一切n=2皆成立. 丛 2)(证明(2)式对n=十1成立时,必对n=也成立)记t=,则+:+…+ = kt,可得,=专?.假若(2)式对n=后+1成立,则有 _厂(t)=1盟 1+J+ 两边同乘以+1,减去_厂(t),最后除以,又f={,从而可得 此即(2)式对n=也成立.证毕. 下面给出关于凸函数的一个论断,以引理1命名: 引理1:若函数-厂()为区间,上的凸函数,则)在,内部任意一点都连续. 原因在于:凸函数)在,内部任一.都存在左,右导数一()+(),从而在连续(证明见文 献[6]201页的例3).进一步有:开区问,上的凸函数)一定是连续的.这一点在文献[5][6]中已被证 明. 定理2:定义3与定义1,2等价. 证明:1)"定义3定义1,2".在(3)式中令A=?可得(1)式成立,即定义3蕴含定义1,由定理1 知定义1,2等价,故定义3也蕴含定义2. 2)"定义1,2j定义3".V.,:,?,(若=2,(3)式显然成立),不妨设?:,VA?(0,1), 先证(3)式当A为有理数A:?(0,1)(m<n为正整数)时成立.事实上: 50 A-+(1一A)z)=詈+(1一詈)z)=竺+.二 ? 掣17, =-)+(1一re)f(x2):)+(1一A)厂(X2) 此即A?(0,1)为有理数的情形得证.若A?(0,1)为无理数,则存在有理数A?(0,1)(n=1,2, … )使l… imA=A.注意到A+(1一A):表示的点均是区间I内部的点,由引理知八)在这些点处连 续,从而 +(1一A):)=使z(Anx+(1一A))):l… Ax- iraf(A+(1一A)2). 对于有理数A?(0,1),利用上面证明有 I厂(Al+(1一A)2)?AI)+(1,A)) 此式中令n—取极限并联系上式,有 Ax+(1一A):)?Af(.)+(1一A):) 此即(3)式对任意无理数A?(0,1)也成立.故定义1,2也蕴含定义3,证毕. 定理3:定义3与定义4,5等价. 证明"定义4定义3"只要在(4)式中令n=2即得."定义3定义4"采用数学归纳法可证(定义4 即为"Jensen不等式",证明见文献[6])."定义4甘定义5"明显,故定理3得证. 定理4:定义3与定义6,7等价. 证明"定义3甘定义6",Vl,2,?,,且.<2<,令A,则A?(0,1),且2=Ax3+(1 一 A).,又由(3)式知: Ax3+(1一A).)?af(3)+(1一A)-厂() 即 X2)?静X1)+帮X3) 此式化简变得(6)式,故"定义3j定义6"成立.反之VA?(0,1),V,:?I,,不妨设.<:,令 ‰=A2+(1一A)X.,则<o<z:,从而由(6)式并化简可得(3)式也成立,故"定义6定义3"也成 立.注意到(6)式与(7)式只是公式的等价变形,所以"定义6甘定义7"成立,于是定理得证. 3结束语 由上述定理可知上文所给的凸函数几个基本定义是等价的,区别仅是呈现的形式或各自的几何意义 有所不同,但均是对凸函数本质的概述.定义或概念是对事物本质属性的精确概括.具体教学中,强调学 生对概念的理解,目的就在于希望学生能够抓住事物的本质属性.定义3更能体现凸函数的本质属性,其 几何意义对凸函数描述很直观,现代数学中多采用这种定义.值得一提的是,区间,上的凸函数的"凸"性 仅由区间,内部函数的属性来体现,而与函数在区间端点的取值无关.文中引理表明,在区间,内部凸函 数是连续的,对应的曲线是连续曲线且呈"下凸"趋势.同时也表明,凸函数的间断点只可能出现在区问的 端点 [参考文献] [1]王飞.凸函数等价性讨论[J].广西师范学院:自然科学版,2003,20(1):31—34. [2]赵丹.凸函数等义的等价性证明[J].乐山师范学院,2008,23(】2):18—21. [3]古小敏.对凸函数定义之间等价性的进一步研究[J].重庆工商大学:自然科学版,2009,26(2):171—173 【4]郭素霞.关于凸函数定义的讨论[J].衡水师专,2000,2(4):49,52. [5]黄世团.几个凸函数定义的差异性及等价性[J].广西师院:自然科学版,1997,14(1):54—56. [6]华东师范大学数学系.数学分析:上册[M].2版.北京:高等教育出版社,1991:197—203. 51