第一讲数列定义及其性质一、基本概念：1、通项
公式
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：a；2、前n项和：Snn3、关系：a=S-S(n>2)nnn-1二、性质：1、单调性：增数列：a>a；减数列：a
0,a<0S<778n若S或S最大，则a>0,a=0,a<0,78789最小值与上面相反3、前n项积T有最大值:n三、几种常见数列：1、-1,7,-13,192、7,77,777,TOC\o"1-5"\h\z353、2，4，8"6』4、1，1，一，494685、3，15，35,63★随堂训练:r、2n1、已知数列｛气｝通项公式是an=3n日，那么这个数列是（）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列,、a12、已知数列｛a｝满足%〉0,芝1=2，那么这个数列是（）nA.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列3、已知数列｛a｝通项公式是a=n2+kn+2，若对任意neN*，都有a>a成立，则实数k的取值范围是（）+104、已知数列｛。｝通项公式是a=,T是数列｛。｝的刖n项积，即T=aaaa，nn2n+1nnn123n当T取到最大值是，n的值为（）n5、设数列风｝的前n项和Sn=n2，则％的值是（）等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母虫表示.等差数列的通项公式若等差数列｛气｝的首项是a1,公差是d,则其通项公式为a=a1+(n—1)d=(n-m)d=p.等差中项如果三个数x,A,y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A=X^.等差数列的常用性质通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n,mEN*).⑵若｛aj为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq(m,n,p,qEN*).⑶若｛aj是等差数列，公差为d，则气，ak+m，%$•••(、mEN*)是公差为md的等差数列.⑷数列sm,S珈一sm,林一S珈，…也是等差数列.(5)S2n—i=(2n—1)an.....一..nd⑹若n为偶数，则S-S=-；偶奇2若n为奇数，则S奇一S偶=a中(中间项).等差数列的前n项和公式若已知首项a和末项a,则S=n叩气，或等差数列｛a｝的首项是a,公差是d,则其1nn2n1前n项和公式为Sn=na1+n—n^^—d.等差数列的前n项和公式与
函数
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的关系Sn=dn2+^a1—|jn,数列｛aj是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn(A,B为常数).最值问题在等差数列｛a｝中，a>0,d<0,则S存在最大值，若a<0,d>0,则S存在最小值.n1n1n一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式:S=气+气+屯+•••+a,①S=a+a]+•••+气，②①+②得：S=n腭气.n2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善壬设元.…一⑴一若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，u2d,_a二d,,a,a士d,a士园…….一.茬偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a二3d,a二d,a士d,a士3山……，一其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法定义法：对于nN2的任意自然数，验证an—an_1为同一常数；等差中项法：验证2an_i=an+an_2(nN3,nEN*)都成立；通项公式法：验证an=pn+q；前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.基础训练：(公式的运用，定义的把握)已知等差数列｛叩中，气=9,a9=3，则公差d的值为()A._LB.122.已知数列｛an｝的通项公式是an=2n+5,A.以7为首项，公差为2的等差数列C.以5为首项，公差为2的等差数列-1D.-12则此数列是()B.以7为首项，公差为5的等差数列不是等差数列TOC\o"1-5"\h\z在等差数列｛an｝中，a1=13,a3=12,若an=2，则n等于（）A.23B.24C.25D.26两个数1与5的等差中项是（）A.1B.3C.2D.土1（2005•黑龙江）如果数列｛an｝是等差数列，则（）A.a,+a。>a<+auB.a1+a>=a+a；C.a,+a。=aAac1845184518451845考点1：等差数列的通项与前n项和题型1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例1】已知=｝为等差数列，a15=8,a60=20，则a75=对应练习:1、已知｝为等差数列，na=p,a=q（m,n,k互不相等），求a^.2、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.题型2：已知前n项和S及其某项，求项数.n【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式an=ai+(n-1)d求出ai及d，代入Sn可求项数n；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出ai+a”，代入Sn可求项数n.【例2】已知S为等差数列^a｝的前n项和，a=9,a=-6,S=63，求nnn49n对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n.4、已知S为等差数列｛a｝的前n项和，nna=1,a=7,S=100，则n=14n题型3：求等差数列的前n项和【解题思路】（1）利用S求出an，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例3】已知S为等差数列｝的前n项和，nnS=12n-n2.（1）⑵求a+a+a+A+a10；⑶求a+a2+a+A+a3【评注】由正质开耕的递成等差敕列｛%｝的绝射值卓和的计算解题为骤:〈1）找出零值或者符亍由正变负的嗔口气?⑵时m进符讨论，当K斗时工一?A|一脆当H>m：时，T*=£|用|=2一&•练习:已知数列柚」的前升项和Sn=lQn~n\数列仍，的每一项都有九=|%|,求数列"Q的前皿项和.对应练习：5、已知S为等差数列｛a｝的前n项和，S10=100,S100=10，求S110.考点2：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法：a-a=d（neN，d是常数）。^｝是等差数列；TOC\o"1-5"\h\zn+1n+n2、中项法：2a+1=a+a+2（neN*）。｛a｝是等差数列；3、通项公式法：a”=kn+b（k,b是常数）o^J是等差数列；4、项和公式法：S=An2+Bn（A,B是常数，A公0）o｛a｝是等差数列.【例4】已知S为等差数列｛a｝的前n项和，b=^n（neN）.求证：数列｛b｝是等差数列.nnnn+n对应练习：6、设S为数列｛a｝的前n项和，S=pna（neN），nnnn+（1）常数p的值；（2）证：数列b｝是等差数列.n考点3:等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例5】1、已知Sn为等差数列，｝的前n项和，a6=100，则S11=TOC\o"1-5"\h\z2、知S为等差数列｝的前n项和，S=m,S=n（n。m），贝gS=,nnnmm+n对应练习：7、含2n+1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）A里b.土C.三D.annn2n8.设S、T分别是等差数列^a｝、^a｝的前n项和，。="+：，则上=nnnnTn+3bn5考点4：等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用a与S的关系式及等差数列的通项公式可求;nn2、求出T后，判断T的单调性.nn【例6】已知S为数列ta｝的前n项和，S=!n2+?n；数列b｝满足：b=11，nnn22n3b2=2b1-b，其前9项和为153.⑴数列zj、bj的通项公式；⑵设T为数列｛?｝的前n项和，nn6c=n(2a-11)(2b-1)nn求使不等式—kT>57对听wN+都成立的最大正整数k的值.课后练习:1.（2010广雅中学）设数列｛a｝是等差数列，且a=-8，a=5，S是数列｛a｝的前n项n215nn和，则B.S>S1011C.S=S910A.S=S10112.在等差数列E｝中，a=120，则a+a+a+a=D.S2).1nn-1n⑴数列｛a｝的通项公式;n⑵数列｛a｝中是否存在正整数kn使得不等式a>ak+1对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由
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