[物理]大学物理D类

[物理]大学物理D类 2 一、动量、冲量和动量定理 牛顿第二定律: 动量 力 在这段时间内的冲量: 是力作用在质点上一段时间 的累积效应 微分形式 (1) 质点动量定理: 质点所受合力的冲量等于这段时间内质点动量的增量 力作用于质点的时间累积效应就在于把动量传递给质点 在一段时间内, 质点动量定理的微分形式 质点动量定理的积分形式 (2) 定理中的动量和冲量都是矢量 符合矢量叠加原理 ?质点的动量定理是从牛顿第二定律导出的， 因此只适用于惯性系 ?在国际单位制中，冲量的单位是牛?秒(N?s)。 (3) 质点系的动量定理: 设有若干个质点构成一个系统: 质点系外的物体对质点系内质点 的作用力,外力 ;质点系内质 点之间的相互作用力,内力 。 对质点系内每个质点应用质点的动量定理 其中 m 2 m 1 i (因内力是成对出现(每对 内力大小相等，方向相反) 质点系的动量定理: 微分式: 质点系动量的增量等于外力矢量和的冲量， 内力可改变质点系内部各质点的动量，但不 会改变质点系的总动量。 以F表示外力的矢量和，批p表示质点系总动量 二、动量守恒定律 系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。 i i 0 i 当 时， 常矢量 (3) 当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统 的总动量守恒(如:碰撞、打击等)。 (1) 动量守恒定律是自然界最基本和普遍的规律之一 说明 (2) 如果质点系沿某坐标轴所受的合外力矢量和的分 量为零，则沿该方向的总动量的分量守恒，其余 方向不一定守恒。 [解] 衰变前 Ce 核和 粒子束缚在一起构成 Nd 核， 总动量为 0 ，在衰变中总动量守恒，Ce 核和 粒子的动量之和为 0 ，即 [例] 放射性核钕 衰变为核铈-140 时 放射粒子 。Nd核原来静止，粒子以速率 6 -1 射出，求子核Ce 的反冲速率。 核的反冲速度: [例1] 一、质点的角动量和刚体定轴转动的角动量 大小: ?2.3 角动量和角动量守恒定律 在惯性系中，质点相对 于参考点 O 的角动量: 动量不能描述转动问题 O m m r r 方向:右手螺旋法则 O 角动量在转轴(k )方向的分量: 刚体上的质点 以轴上 为圆心作圆周运动 刚体绕 k 方向的 z 轴以角速度 转动 的位矢为: 与 k 垂直 在 k 方向 角动量在 z 轴的分量: 刚体中各质点的角动量 z 分量的总和: 刚体绕固定轴的转动惯量 质量连续分布的刚体: Page 11 [解] [例] 试求质量为m 、长为 l 的均匀细棒对于通过 其质心 C(即棒中心)的垂直轴的转动惯量 和通过棒一端并和棒垂直的轴的转动惯量。 设棒的质量线密度为: 质元的质量为: 对于转轴在端点的情况: 同一刚体对不同位置的转轴有不同的转动惯量 棒绕通过其质心的转动惯量为: 已知某刚体对通过其质心 C 的轴(设为Oz 轴) 的转动惯量为 I C ，则该刚体对于任意一条与Oz 轴平行的轴(设为O'z' 轴)的转动惯量 I 为: 二、平行轴定理 M :刚体的质量 d : Oz 轴与O’z’ 轴 之间的垂直距离 作用力对于参照点O 的力矩: 三、力矩 对于有固定轴的刚体，由 于转轴的约束，平行于转 轴的力或作用线通过转轴 的力都不能使刚体转动。 设力 作用于刚体上的某质点P ，且在其转动平 面上，转动平面与转轴相交于O 点，转轴与力的 作用线之间的垂直距离d 称为该力对转轴的力臂。 F 的切向分量 刚体定轴转动: O 力的大小与力臂的乘积称为力对转轴的力矩, M : 由 = 0 四、质点和定轴转动刚体的角动量定理、转动定律 质点的角动量定理:角动量对时间的导数等于力矩。 力矩作用在质点上的时间积累效应引起 质点角动量的变化 L 和 M 都与参照点 O 的选择有关 上面几个式子中的 L 和 M 都是对同一参照点而言 刚体绕 z 轴转动，刚体上任一质元所受到的 力可分为内力和外力。 一对质元 m i 和 m j 对任一参照点 O 的力矩之和 : 刚体质元之间的内力总是成对出现 对任意参照点，刚体的内力矩之和为 0 。 对每个质元，角动量定理在 z 轴上的分量关系式: 刚体受到 z 轴方向的力矩: 刚体绕固定轴转动的角动量定理: 刚体定轴转动的转动定律 转动惯量不仅与质量有关，而且与质量分布有关。 ? 刚体绕某固定轴的转动惯量: ? 对定轴转动刚体，在沿轴的方向上: 常矢量 五、角动量守恒定律 常量 定轴转动刚体的角动量守恒定律 ? 对质点: 质点的角动量守恒定律 角动量守恒 [2,24] 利用角动量守恒定律证明有关行星运动 的开普勒第二定律: 行星相对太阳的矢径在单位 时间内扫过的面积(面积速度)是常量。 [解] 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 d d d 2 d 2 2 r r A C t t d d A C t dt 时间矢径扫过的面积: 2 1 1 d d d 2 2 1 r O 2 r 2 1 角动量 L 是常矢量 [例] 一质量为 m 的小球悬挂在长为 l 的轻绳一端， 绳的另一端固定于 A 点，设小球以角速度 在水平 面内作匀速圆周运动，悬线与铅垂线的夹角是， 试分析小球对于圆心 O 的角动量和所受的合外力矩。 [解] 小球对于O 的角动量: ? 分析小球受到的力矩作用 小球在垂直方向所受合外力应等于 0 : 小球在水平面内的合外力: 合外力矩: 角动量L 是常矢量 [例] 质量为M、长为 l 的均匀细杆，静置于光滑的 水平面上，可绕过杆中点 O 的固定铅垂轴自由转 动，一质量为m 的子弹以 v 0 的速度自杆的左方沿 垂直于杆的方向射来，嵌入杆一端的 A点，求子弹 嵌入杆后杆的角速度。 [解] 子弹和杆组成的体系只受 轴承上的外力作用此力对 O 轴无力矩角动量守恒: 子弹和杆相互作用过程中，体系的动量不守恒 [例习题2-23] 一根质量为m 、长为 l 的均匀细杆， 其一端 B水平地搁在桌子边沿上，另一端 A 用手托住。 问在突然撒手的瞬时: [解] B A (1)绕 B 点的力矩是多少, (2)绕 B点的角加速度是多少, (3)杆的质心的铅直加速度是多少, (4)作用在B 点的铅直力是多少, B (1) 绕 B 点的力矩: (2) 绕 B点的角加速度: (3) 杆的质心的铅直加速度: B (2)绕 B点的角加速度是多少, (3)杆的质心的铅直加速度是多少, (4)作用在B 点的铅直力是多少, P15/(1.4-23) B B (2)绕 B点的角加速度是多少, (3)杆的质心的铅直加速度是多少, (4)作用在B 点的铅直力是多少, [例P71] 一滑轮的质量为M，用一轻 绳跨过滑轮，在绳的两端分别挂着质 量为m 1 和m 2 (m 1 2 )的重物。设圆 盘是质量均匀分布的，且绳子与滑轮 之间没有相对滑动，滑轮与轴之间的 摩擦力可以忽略，试求重物的加速度 和绳的张力。 [解] 使滑轮转动 需要力矩作用 牛顿第二定律与刚体 绕固定轴的转动定律 1 T 2 绳子在滑轮上没有滑动 约束方程: 滑轮对于通过其中心的轴的转动惯量: 三个物体的运动方程: 代入方程并解之 [例2] [例3] [例4] 美国宇航局在地面拍摄的银河系的侧面，中央是银核。 解释天体系统的旋转盘状结构: 引力，惯性离心力 角动量守恒 这是银河系外的M83星系，它的形状与 大小和我们的银河系非常相似。 A Joke “Call me a taxi,” said the fat man. “Okay,” said the door man. “You’re a taxi, but you look more like a truck to me.” 当刚体绕固定轴转动时 角动量在转轴方向(取为k 方向)的分量: 刚体绕 k 方向的 z 轴以角 速度 转动时，其上的质 点 以轴上 为圆心作 圆周运动 的位矢为: 与 k 垂直 在 k 方向 已知某刚体对通过其质心C 的轴(设为Oz 轴) 的转动惯量为I C ，则该刚体对于任意一条与Oz 轴平行的轴(设为O'z' 轴)的转动惯量 I 为: 二、平行轴定理 M:刚体的质量 d : Oz 轴与O’z’ 轴 之间的垂直距离