导数与微分例题1导数

导数与微分例题1导数 第三章 导数与微分 1)学习要求 (1)应了解的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 导数和微分的定义，高阶导数的计算。 (2)应熟悉的内容 利用导数的定义计算函数在一点处的导数，导数的几何意义，反函数求导法则，微分与导数之间的关系,隐函数的求导法则。 (3)应掌握的内容 基本求导公式，导数的四则运算，复合函数的求导法则，微分的运算法则。 2)本章重点难点分析 难点在导数的定义和复合函数、反函数的求导法则。导数是函数的增量与自变量的增量之比的极限，求复合函数的导数时要分清哪些是中间变量。运用反函数的求导法则时要注意 成立的条件。 3)本章典型例题分析 fxfxx,,,()()00,f(x)例1(设存在，则,( ) lim0,x,0x, ,,,,f(x)f(x). .0 . . ABDC00 分析:这是典型的有关导数定义的问题，导数定义主要有两种等价形式. f(x，,x),f(x)f(x，h),f(x)0000,,limf(x)limf(x) 即,， 与,。 00,x,h,00xh, 本题用第二种形式较好，但常先需作恒等变形， f(x，(,,x)),f(x)00,limf(x)事实上，原式,,h,,,x) (视为， 故应选. C0,x,0x,, 2y,x例2(曲线在其上横坐标为的点处切线的斜率是( ). x,2 . 4 . 3 . 2 . 1 ABDC 2,,分析:由导数的几何意义知切线斜率为，应选 y,(x),2x,4Ax,2x,2x,2 ,(x,y)y,y,y(x)(x,x)由此也可知过切点的切线方程为 。 00000 3例3.一质点的运动方程为s,t，则该质点在时的瞬时速度为( )。 t,2 . . . . ABD12428C 32,,v(t),s(t),(t),3t分析:由导数的物理意义知运动速度，故时瞬时速度为t,2 2,,,v(2),3，2,12，应选.进一步可知质点运动加速度. a(t),v(t),s(t)A 4t,y,t,4,cost,lnt例4(设，则 . y, 分析:本题要应用函数和差的求导法则与相关的基本求导公式 1,,,1xx,,,,(x),,x(a),alna ， ，。 (a,0,a,1)(cosx),,sinx(lnx),x 114t3t3t,,,,,y,(t),(4),(cost),(lnt)tttt ,,,,,,,，,44ln4(sin)44ln4sintt 2C,,0.1Q，20Q，500(设某商品的总成本函数为，其中为产量，则其边际成例5QT 本函数C, . M dCT,C,,C(Q)分析:由导数的经济学中意义知边际成本函数(总成本函数的导数)，MTdQ 再应用幂函数求导公式与四则运算法则可求此导数为 2,,,C,(,0.1Q)，(20Q)，(500) ,,0.2Q，20，0,,0.2Q，20。 M 由上例可知求经济学中边际函数就是求相应函数的导数， 2,例6y(设，求 y,x，2x,1 分析:求复合函数的导数时，先要弄清函数的复合结构(确定中间变量)， 再应用有关求导公式进行运算. 2y,u解:令，则 u,x，2x,1 1x，1x，1dydydu2,,,(2x，2),, 由公式 ,,,(u)(x，2x,1)。 2dxdudx2uux，2x,1 u熟悉后，可不必写出中间变量来，直接运算如 12x，2x，12,,y,(x，2x,1),, 。 2222x，2x,1x，2x,12x，2x,1 ,y,lnsinxy例7(设，求. y,lnu解法一:令，则，由复合函数求导法则有 u,sinx dydydu1cosx,, ,,,(lnu),(sinx),cosx,,cotx。 dxdudxusinx 解法二:直接求导有 1cosx,,y,(sinx),,cotx 。 sinxsinx 注:解法二形式上比解法一简单.但要注意不能弄错了中间变量. 例8( 。 d(sin3x), ,,分析:由微分与导数关系，有. dy,ydx或df(x),f(x)dx ,, 故 d(sin3x),(sin3x)dx,(cos3x)(3x)dx,3cos3xdx 第四章 中值定理与导数的应用 1、学习要求 (1)应了解的内容 函数的极值的概念。曲线的渐近线的求法。经济函数的边际函数的概念及其计算。 (2)应熟悉的内容 函数的单调性的判断，函数的极值存在的必要条件。曲线的凸性的判别，曲线的拐点的计算。 (3)应掌握的内容 罗必达法则;函数的极值存在的一阶导数判别和二阶导数判别;函数的极值的计算和最大值、最小值的计算。 2、本章重点难点分析 中值定理的三种形式成立的共有条件是:函数在闭区间上连续，在开区间内可导。就是说罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况(f(a),f(b))。在应用这些定理时一定要掌握住它们成立的条件的异同。 0,，洛必达法则的应用对各种未定式一定要将它们转化为熟知的两种形式型，在求导0,数时是对分子和分母分别求导数(不要对整个商进行求导)，在一个问题中洛必达法则可以运用多次，直到分母的极限不为零为止。 函数单调性判别法: ,f(x)[a,b](a,b)f(x),0(,x,(a,b))f(x)假设函数在上连续，在上可导，则当时， ,[a,b]f(x),0(,x,(a,b))f(x)[a,b]在上单调增加;当函数在上单调减少。 ,xxf(x),0f(x)f(x)极值的必要条件:设函数在点可导，且是的极值点，则必有 000 0 U(x,,)xU(x,,)极值的第一充分判别法:设函数在点的某领域中连续，在中可导，000 ,xf(x)xf(x)f(x)则当自的左侧变到右侧时1)若的符号由负变正，则是的极小值;2)00 ,,f(x)f(x)f(x)f(x)若的符号由正变负，则是的极大值;3)若的符号保持不变，则0 f(x)不是的极值; f(x)0 ,在点x有二阶导数，且f(x),0，则1)当极值的第二充分判别法:设函数f(x)00,,,,f(x),0f(x),0f(x)f(x)时，是的极小值;2)当时，是的极大值;f(x)f(x)0000 ,,f(x),0f(x)3)当时，不能判定是否为极值。 00 最值的判别法:设函数在区间I上连续，且在内部只有一个驻点或不可导点，则f(x) f(x)f(x)1)当是极小值时，;2)当是极大值时，; minf(x),f(x)maxf(x),f(x)0000x,Ix,I3、本章典型例题分析 例1(下列函数中，在区间上满足罗尔定理的是( ) [,1,1] 12 . . . . x,1ABDxC2x，1x ,,分析:罗尔定理条件有三个?f(x)在a,b上连续， ?f(x)在(a,b)内可导(或可微)， ?f(a),f(b)， ,结论是在(a,b)内至少存在一点，使f(,),0.可逐一检查A,B,C,D四个选项中函数而, 得到结论，这类题有一定难度. 1f(x),事实上，对言，它在处不连续，条件?不成立，错. Ax,0x 对言，它在[,1,1]上连续但在处不可导，故不满足条件?，不对 Bf(x),xx,0 2f(x),x,1[,1,1](,1,1)f(1),0,f(,1)对言，它在上连续，在内可导且，选 Cf(x),2x，1[,1,1](,1,1)f(,1),,1,f(1),3对言，它在上连续，也在内可导， ，条 件?不满足，故也不对 D xx,,eelim例2(求极限。 x,0tanx 0分析:此题因为是“”型，故不能用商的极限法则，可用洛必达法则求解，把函数比的0 极限转化为导数比的极限。即 ,f(x)f(x)lim,lim ， (limf(x),0,limg(x),0)x,ax,ax,ax,a,g(x)g(x) 有时还要与极限的四则运算法则相结合使用以简化运算. 解:由洛必达法则有 x,xx,x,(e,e)1，1e，e,lim,lim原式 , 。 ,22x,0x,0,(tanx)secx1 tanx1,例3(求极限。 lim,sin4xx,4 0解:同上例，因极限为“”型，用洛必达法则求解，有 0 ,2sec2,secx(tanx,1)14,lim原式 。 ,lim,,,,,,4cos4x(sin4x)4cos,2x,x,44 32y,x,3x,9x，5例4(求函数的增减区间和极值. 分析:确定可导函数的增减区间主要根据导数符号(恒正或恒负).极值点应是求出驻点， 再观察一阶导数在驻点两侧是否异号来确定. ,解:1先求出函数的驻点.令 2,y,3x,6x,9,3(x，1)(x,3),0 ， 得驻点x,,1与3. ,, 2y再讨论相应区间上得符号，事实上 , 当y,0y(x)时，，单增 x,,1 ,y,0y(x) 时，， 单减 ,1,x,3 ,y,0y(x) 时，，单增 x,3 , 结论:函数单增区间为(,,,,1)与(3,，,) 3 (,1,3)y(,1),10y(3),,22 函数单减区间为. 极大值为，极小值为. 3例5(欲做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为288cm，其底边长成1:3关系， 问各边的长为多少时，才能使箱子的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积为最小, 分析:这是有关函数最大值或最小值的实际应用问题，简称最大最小问题。其要点是设出自 变量与目标量，求出目标量与自变量的函数关系(目标函数)，再求目标函数在相应 区间内的最值。 ,1解:设出自变量. 28896设箱子底面边长为，则由设其高为 x与3xcmcm,22xxx,3 , 建立目标函数. 2 96963842Sx,x,x，x,，x,,x， 箱子表面积为 。 (x,(0,，,))()2(33)2(3)22xxx , 求目标函数驻点 3 384963, 令.即，得，此时，。 S(x),2(6x,),0,6x,64x,43x,1222xx ,4结论 因在内驻点唯一，由问题的实际意义知该驻点(即)必定是所求的最小(0，，,)x,4 值点，即当箱子的长为，宽为，高为时，可使箱子的表面积最小。 12cm4cm6cm 注:实际问题中，当驻点唯一时，该驻点必为所求的最大值点或最小值点。可不再用极 值充分条件判别驻点是否为极值点。 一、选择题 3y,x,11、曲线在点处的法线的斜率为( ) (1,0) 11A 3 B C 2 D ,,32 ,,,f(x)f(x)f(x)2、与都存在是存在的( ) ，0,00 A 充分必要条件 B充分非必要条件 C 必要非充分条件 D 既非充分也非必要条件 dx3,y,x，x3、设，则( ) y,2dy 11A 2 B C 4 D 24 ,f(x),0xf(x)4、是可导函数在点处有极值的( ) 00 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 ,,,f(x),0f(x),0xf(x)5、若，，则函数在点处( ) 000 A 一定有极大值 B 一定有极小值 C 可能有极值 D 一定无极值 二、填空题 xy,f(x)1、导数的几何意义是函数在点处的 2y,x2、设曲线在某点的非水平的切线过点(2，0)，则切线方程为 ,3、 (sin2x), 22x4、的导数为 y,e 42,y,x，3x,x,15、 ，求 y, ,y,xsinx6、，求 y, xesinx,y,,7、求 y,x ,y,ln(1,2x)8、，求 y, 2,y,xsinx9、，求 y, 2x,1,y,arcsin,10、求y, 3 (n)11、 sinx, 2x,,y,xe12、，求y, xy,esin2x,13、求dy, dy,14、y,lnx,求 2x,1,lim15、 1x,x,1 ,xarctan,216、 lim,x,，,1 x ，ln(1x),lim17、 2x,0ln(1，x) xcosx，lim18、, x,,2xsinx， 12xlim(cosx),19、 ,x0 三、计算题 1，x,yy,arctan,1、设求 1,x ,,2、设求 yy,xarctanx, xx,,ee3、求lim x,0sinx x,xe,e,2xlim4、求 0x,x,sinx 223y,(x,2)(x，1)的单调区间 5、求出函数 3y,x,3x，16、求的极值 2,xf(x),xe7、求函数的极值 42f(x),x,8x，58、求函数在区间[-1，3]上的最大值和最小值 239、在区间[-1，2]上的最大值和最小值 y,x(x,1) 1,arctanarctan10、证明:当时， x，,x,02x