概率论基础知识归纳_第三章（可编辑）
概率论基础知识归纳_第三章
海文考研数学概率论基础知识归纳 第三章 一 二维随机变量及其联合分布X和Y是定义在Ω上的两个随机变量则称有序随机变量对XY为二维随机变量 比如研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量打靶弹着点选取横纵坐标 ?com布函数 1设XY为二维随机变量对任意实数χy称二元函数FχyPX?χY?y为XY的分布函数或称为X与Y的联合分布函Fχy
表
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示XY落在平面直角坐标系中以χyXY的分布函数Fxy具有以下四条基本性质 1?Fxy对每个自变量是单调不减的即若x1 x2则有Fx1y?Fx2y y1 y2则有Fxy1 Fxy2 2?0?Fxy?1且 Fx-?F-?yF-?-?0F??1 3? Fxy对每个自是右连续的即 Fx0y Fxy Fxy0 Fxy 4? 对任意x1?x2 y1?y2有 Fx2y2-Fx1y2- Fx2y1Fx1y1?0 见右图 Fx2y2-Fx1y2- Fx2y1Fx1y1 例1设XY的分布函数为 4?可得 ?com布律 2如果二维随机变量XY的所有可能取值为有限对或可列对则称XY为二维离散型随机变量 XY的所有可能取值为iyji j12则称下列一组概率 PXiYyj pijij12为XY的分布律或称为X与Y X Y
y 1 y 2 yj χ1 p11 p12 p1j
χ2 p21 p22 p2j ? ? ? ? χi pi1 pi2 pij ? ? ? ? 性质 1 pij?0一切ij 2 显然XY落在区域D内的概率应为 XY的分布函数与分布律之间关系为 2两封信随机地向编号为????的四个邮筒内投令 X表示投入?号邮筒内的信件数 Y表示投入?号邮筒内的信件数 XY的分
布律并分别求投入??号邮筒内信件数相同及至少有一封信投入??号邮筒的概率 解 XY的分布律为 X Y 0 1 2 0 416 416 116
1 416 216 0 2 116 0 0 至少有一封信投入??号邮筒的概率为 PX?1或Y?11-PX 1且Y 11-PX0Y01-P111 - 41634 ?com率密度 3设Fχу为二维随机变量XY的分布函数如果存在非负函数χу使得对任意实数χу有 则称XY为二维连续型随机变量χу为XY的概率密度或称为X与Y的联合概率密度 1 χу?0 一切χу 2 几何解释见图 10表明密度曲面z Oу坐标面的上方 2 z χу与χOу坐标面所围成图形的体积为1 XY落在平面区域D内的概率等以D为底以密度曲面z χу为顶的曲顶柱体的体积 例3设XY的概率密度为 1A2求概率PXY?1 1由于 XY的概率密度为 2 边缘分布?com布函数 XY的分布函数为FχуX和Y的分布函数分别为FXχ FYу于是FXχFχ?为二维随机变量XY关于X的边缘分布函数 FYуF?у为二维随机变量XY关于Y的边缘分布函数 4设XY的分布函数为 X和Y的边缘分布函数 X的分布函数 Y的边缘分布函数 ?com布律 XY的分布律为PXχiYyj pijij12可以证明X的分布律可以由X和Y的联合分布律求得 Y ?为必然事件于是 Y的分布律也可以由联合分布律求得 X Y y 1 y 2
yj χ1 p11 p12 p1j χ2
p21 p22 p2j p2 ? ? ? ? ? χi pi1 pi2 pij ? ? ? ? ?
p1 p2 ? 1 例5袋中有2个白球3个黑球从袋中1有放回
地2无放回地取二次球每次取一个令 XY的分布律及边缘分布律
1有放回的取球 X Y 0 1 0 925 625 35 1
625 425 25 35 25 1 X的边缘分布律为 X 0 1
p 35 25 Y的边缘分布律 Y 0 1 p 35 25 2无放回取球 X Y 0 1 0 620 620 35 1
620 220 25 35 25 1 于是得关于X的边缘分布律为
X 0 1 p 35 25 Y的边缘分布律 Y 0 1 p 35 25
com率密度 XY的概率密度为χу可以证明X的概率密度Xχ可以 由χу确定 X的分布函数 Y的概率密度也可由χу确定 Xχ为二维随机变量XY关于X的边缘概率密度 Yy为二维随机变量XY关于Y的边缘概率密度 6 设区域D是由直线уχ和曲线у2所围成见图设XY在D上 服从均匀分布即其概率密度为 SD为D的面积试求XY的边缘概率密度
当χ?0或χ?1时Xχ0 X的边缘概率密度为 y?0或y?2时Yy0 Y的边缘概率密度为 7 设XY服从二维正态分布Nμ1μ2 ρ即XY的概率密度为 1μ2 σ1 0 σ2 0-1 ρ 1为常数 试求边缘概率密度 同样关
于Y的边缘概率密度为
随机变量的独立性 com的概念 1XY的分布函数为FXY边缘分布函数为 和 X Y有 X与Y是相互独立的 com的充要条件 离散型随机变量的情况 1设XY
的分布律为 边缘分布律分别为 则X与 Y相互独立的充分必要条件为 证略 例8 袋中有2个白球3个黑球从袋中1有放回地2无放回地 取二次球每次取一个令 X与Y是否相互独立 有放回地取球 Y X
0 1 有XY相互独立 0 925 625 35 1
625 425 25 35 25 1 ? 无放回地取球 Y X 0 1 故XY不独立 0 620 620 35 1
620 220 25 35 25 1 XY 11 12 13 21 22
23 P 16 19 118 a b c 例9设XY的分布律为 abc为何值
时X与Y相互独立 XY的分布律及边缘分布律可由下表给出
Y X 1 2 3 16 19 118 13 2 a b c abc
1 需使X与Y相互独立下列式子应满足 定理2 设XY的概率密度为 和 刚X与Y相互独立的充分必要条件为 xy 证略 例10 设XY相互独立同分布均服从 分布试求 XY均在[01]上服从均匀分布即X的概率密度为 Y的概率密度为 X与Y相互独立所以XY的概率密度为
其中 例11 设XY, 证明,与,相互独立的充要条件为 已求得其边缘概率密度为 充分性当 时对一切xy有 故X与Y相互独立 XY独立于是应有 解得 四 条件分布?com布函数 Y取值为y条件下求随机变量X落在某区间ab内的概率即Pa X?b?Yy由于形式上这一条件概率可表为 x研究形如PX?x?Yy的条件概率就是一件很重要的事情PYy0上述条件概率将无意义特别对连续型Y无论y为何值总有PYy0为了解决这一问题可采取下列办
设Y在区间y-?yyPy-?y Y?y 0
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