复指数信号模型非线性最小二乘解的几何结构及迭代算法

复指数信号模型非线性最小二乘解的几何结构及迭代算法 1 2 谢维波,林劲松 () 11 华侨大学信息科学与工程学院 ,福建泉州 362011 ;21 厦门大学自动化系 ,福建厦门 361005 摘 要 : 本文给出了复指数信号模型非线性最小二乘解的几何结构. 从 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 迭代算法的收敛性态入手得到解的 () () 几何结构 ,将有助于构造十分有效的迭代算法. 另外 ,本文在低信噪比 10dB及较小频率差 0102Hz的情况下 ,对迭代 求解的收敛控制条件进行了研究. 关键词 :Prony 方法 ; 非线性最小二乘 ; 子空间分解 () 22112 20020520757203 A 0372 中图分类号 : TN957文献标识码 :文章编号 : The Geo metric Structure of No nline ar Le a st Square Solutio n fo r Signal by Co mple x Expo ne nt s a nd Alternate Algo rithm 1 2XIE Wei2bo,L IN J in2song (11 College of Inf ormation Science & Engineering , Huaqiao University , Quanzhou , Fujian 362011 , China ; )21 Dept . of Automation , Xiamen University , Xiamen , Fujian 361005 , China Ab stract : The geometric structure of nonlinear least squares solution for signals by complex exponents is offered in this paper. Beginning with analysis for the convergent state of alternative algorithm solving two equations together contented by the model’s non2 linear least squares solution ,the recognition for geometric structure of nonlinear least squares solution is acquired. It would help to con2 struct a fully effective algorithm and understanding for the solution’s structure is deepened. The alternative algorithm presented by this paper is fully effective in higher SNR or when the difference of frequency in model is slightly increased. Nevertheless ,the invalid con2 () () () vergence large errorappears in the condition with lower SNR10dBand smaller difference of frequency 0102 Hz,if the conver2 gent control condition of alternative algorithm is only in accordance with varying quantity of least squares error. Key word s : prony method ; nonlinear least squares ; subspace decomposition 的复数 A 和 Z分别为信号的第 n 个留数和极点. n n 1 引言 早在 1795 年 ,PRONY 就提出了用复指数函数的一线性组 212 最小二乘辨识的误差函数M M N - 1 合来描述等间隔采样数据的数学模型 ,又常称为复指数模型. 2 k 2()ε2 ( ) Q = = [ f k- A Z]k n n 在白噪声背景下 ,该模型的最优求解是一个困难的非线性最 ???k = 0 k = 0 n = 0 小二乘问题. 在复指数为复正弦的情况下 ,人们从依据信号的 N - 1 构造的基本对称函数 213 由{ Z} m = 0 m 统计量及线性化处理两方面 ,提出了许多高分辨率的求解算 1 N - N 1 ,3 法. 文献4 在最大似然准则下给出了非线性处理的一维 m ( ) ) 3 ( b Z= Z - Zm m ??搜索求解 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ,存在算法收敛的不确定性及解的唯一性问题. m = 0 m = 0 T文献5 在文献4 、6 的基础上 ,给出了复指数模型满足充要 记向量 b = [ b, b, , b] 0 1 N 条件的非线性最小二乘解的表达 ,为构造有效的迭代算法打 N - 12 N214 以{ Z} 为二重根的多项式系数{ B } m m = 0 m m = 0 下了基础. 本文研究该表达蕴涵的几何结构 ,并在低信噪比 N - 1 N 2 N 2 m m 2) ()( 4 BZ= Z -Z = [ b Z]m m m ???m = 0 m = 0 m = 0 T记向量 B = [ B, B, , B ] () 0 1 2 N 10dB的情况下改进了文献5迭代算法的收敛控制条件. 2 若干表达式的定义 15 2M + 1 行 , M + 1 - N 列的矩阵 b( 列满秩)T bb?b ? 01N , 以便于问题的表达.下面先定义若干式子 ? ? b bb0 10N 211 复指数信号模型? ? ()b = 5 ?N - 1 k ? )(( ) ε 1 , M f k= AZ+, k = 0 , 1 ,n n k ?0 ??n = 0 ? ? bbb 01Nε( ) 其中 f k为观测数据 ,为高斯白噪声 , N 为模型阶数. 未知k 电子学报 758 2002 年 TT () 216 Q = f UU f 14 M + 1 行 , M + 1 - 2 N 列的矩阵 B ( 列满秩)B1 B1 T () () B BB? ? 12、13构成迭代的收敛性态入手 , 以获得对下面从分析式 2 N 0 1 B B ? ? 0 1 () 于式 1非线性最小二乘解几何结构的认识.B0 2 N 3? ? b = 0 的收敛性态 311 式( 13) 矛盾方程组 F ()b 6 B = ?3 () () 式 12、13构成的迭代收敛时 , 矛盾方程组 F b = 0 应 ???0 b 3 3 ? ? 不再“矛盾”, 即 F b = 0 的剩余误差应为零. 由于 F b = B B Bb b 012 N T3 217 矩阵 b 和矩阵 B 的关系( ( ) ) ( ) bf 是一个恒等式 其中 b 为式 5定义的矩阵, 则式 13等 T3 )(B = bC 7 ( ) 价为 bf = 0 , 由式 8有. T 3 其中 C 为 M + 1 - N 行 , M + 1 - 2 N 列的矩阵. 注 : C 阵与 b 阵()= 0 f15 U b1 3 形式上相同 , 维数不同.() 式 15即为收敛时信号向量的估计 f 应满足的条件. 综上所T 3 b bb? ? N0 1 ( ) 述 , 迭代收敛时有以下两方面的结论 : ?由式 12知 f 为数 bb? 3 ? 0 1 0 b N() 据向量 f 在 U子空间的投影 ; ?由式 15知 f 垂直于 U子 B2 b1 ? ? 3 C = ?空间 , 故 f 为数据向量 f 在 U子空间的投影. 如何保证二者 b2 ???0 同时成立呢 ? ? ? bbb 01N 312 U和 U, U和 U子空间的关系b1 B1 b2 B2 218 矩阵 b 的奇异值分解 () 由式 7知 B 阵的列向量是 b 阵列向量的线性组合 , 故T() 8M + 1 - 2 N 维空间 U是 M + 1 - N 维空间 U 的子空间 , 而 N b = USV b B1 bbb1 N 列的子 维空间 U是 2 N 维空间 U的子空间. 容易证明 : U子空间 记 U= [ U, U, U为 U的第 1 列到第 M + 1 - b2 B2 B1 b b1 b2 b1 b 既垂直于 U子空间 , 又垂直于 U子空间. 若数据向量 f 落 B2 b2 矩阵219 矩阵 B 的奇异值分解 在 U和 U合并的 M + 1 - N 维子空间内 , 那么数据向量 f B1 b2 T 在 U子空间的投影就等于数据向量 f 在 U子空间的投影 ,()B = USV 9 B2 b2 B B B 即上述两方面的结论 ?和 ?得以同时成立 ; 因此收敛时 , 数据 记 U= [ U, U, U为 U的第 1 列到第 M + 1 - 2 N 列的 B B1 B2 B1 B 向量 f 应落在 U和 U合并的子空间内. 现在的问题是 : 如 B1 b2 子矩阵 何由已知的数据向量 f 去求得满足这种性质的子空间 U和 B1 2110 M + 1 - N 行 , N + 1 列的数据矩阵 Fb( U注意 :这种性质的子空间 U和 U完全地由待求的参数b2 B1 b2 ( )))((? ?f N f 0 1 f T T ? ? 向量 b = [ b, b, , b] 所决定 , 而 b = [ b, b, , b] 由 ( )()()f N + 1 0 1 N 0 1 N f f 1 2 ) 数据向量 f 所决定. )( 10 F= ???b ? ? ? 4 迭代算法及收敛控制条件的改进)( ( )f M - N + 1 f M ( )? ?f M - N ( ) ( ) 文献[5 ]依据式 12、13构造了一个迭代算法 , 描述如 2111 M + 1 - 2 N 行 ,2 N + 1 列的数据矩阵 F B下 : ))T ((()? ?f 0 1 f 2 N f ?由方程组 Fb = 0 得 b = [ b, b, , b] 的初值 ; 以 Qb 0 1 N ? ? T()()()f 1 f 2 f 2 N + 1 = f f 作为噪声能量的初始估值. T = ???FB () () ( ) ?由 b = [ b, b, , b] 依据式 4、6和 9构造子空 0 1 N ? ? ? 间 U和 U. B1 B2 )( )( ( )f M - 2 N f M - 2 N + 1 f M ? ?3 3 33 () ; 由方程组 F b = 0 ?由式 12得 f , 以 f 构成矩阵 F b b ()11 T 得 b = [ b , b , , b ] 的迭代更新.0 1 N () ?由式 14得 Q 的迭代更新 ; 转 ?循环迭代 , 直至 Q 的 3 非线性最小二乘解的几何结构 改变量趋于零.() 文献[ 5 ]给出了式 1复指数模型非线性最小二乘解的表 数值实验采用的数据模型为 :达 , 该表达可归纳为 :解应同时满足如下两个方程. ( ) (π) ( π) f k= A1 3 cos 23 f k + pha1+ A2 3 cos 23 f k + pha21 2 3 T )(12 f = UU f B2 B2 ( )+ var 3 w k 3 ()F 13 b = 0 2 b (σ) ( ) w k为高斯白噪声 = 1; A1 = 110 ; A2 = 115 ; pha1 = 0 ,w T ) ( ) ( ( ) 其中 f = [ f 0f 1 , f M ] 为已知的数据向量 , b =, ,π pha2 =/ 3 ; f = 011 , f = 0112 ; var = 011. 数值实验的结果为 :1 2 T 3 [ b, b, , b] 为待求的参数向量 ; 信号向量的估计 f 是0 1 N 10 次计算有 1 - 2 次不收敛 ; 收敛时频率的分辨精度很高 ; 降 数据向量 f 在 U子空间的投影 , 故 U构成了 2 N 维的信号B2 B2 底信噪比 、缩小频率差值或减少数据点 , 会使不收敛的次数增 3 3 ( ) 子空间 ; F 是以 f 代替 f 按照式 10构成的矩阵 ; U 是 Bb B1 多. 阵的列所张成的正交子空间 , 构成了 M + 1 - 2 N 维的噪音子 上述实验用的信噪比高达 22dB ,没有反映出该算法存在 () 空间 , 故式 2定义的 Q 可表达为 :( 的缺陷. 当信噪比为 10dB 时 实验参数为 A1 = 20 , A2 = 759 第 5 期谢维波 :复指数信号模型非线性最小二乘解的几何结构及迭代算法 改变量同时作为收敛的控制条件 , 解决了“无效收敛”的问题.π) 20 ; pha1 = 0 , pha2 =/ 3 ; f = 011 , f = 0112 ; var = 110, 出现 1 2 数值实验的统计结果在表 1 中列出. 共进行了 100 次计算 , 每 ( ) 了“无效收敛”收敛结果精度很差的情况. 分析上述算法可 T 次计算的迭代次数超过 100 被认为发散 ; 每次计算的平均迭 以发现 :相邻两次迭代的两组不同的 b = [ b, b, , b] 可 0 1 N T 代次数为 26. 1707 ; 100 次计算有 18 次发散. 以对应相同的 Q 值. 在算法中以 Q 和 b = [ b, b, , b] 的0 1 N ( )表 1 数值实验的统计结果 M = 63 , N = 4 , e - 3 = 01001 f f f 模- f 模f 模- f 模统计结果- f - f 121 1 2 2 12 011 - 011 0112 - 0112 110 110 110 110 准确值 均值010999 - 010999 011202 - 011202 019998 019998 019988 019988 - 3- 3- 3- 3 010036 010036 010033 010033 标准差014744 ×10 014744 ×10 014714 ×10 014714 ×10 5 谢维波. 复极点模型的非线性求解 A . 第七届联合国际计算 5 结束语机会议论文集 C. 汕头 :汕头大学出版社 ,2000 . 65 - 68 . R N McDonough , W H Huggins. Best least squares representation of 6 ( ) () 由文献[ 5 ]可知式 12、13给出的解满足的最优化条件 signals by exponentials J . IEEE Trans on Automatic Control ,1968 , 是充要的 , 本文又给出了解的几何结构的认识 , 但求解算法的 ( ) ( ) () 构造尚待深入研究. 已有的条件是 : ?同时满足式 12、13AC213 4:408 - 412 . 的解是唯一的 ; ?对于解的几何结构的认识有助于构造求解 ( ) 算法 , 或许可以由一系列的空间变换 刚体的来达到这种结 作者简介 :构. 感谢审稿者提出“采用低信噪比”的意见 , 这使文献[ 5 ]的 迭代算法存在“无效收敛”的缺陷得以显现 ; 本文修正了这一 谢维波 男 ,1964 年 10 月生于福建 ,福建泉缺陷 , 同时加深了对解的几何结构的认识. 模型中频差的大小 州华侨大学计算机系副教授 ,1988 年毕业于哈尔 ( 对算法收敛的影响当属意料之中 , 适当扩大频差 信噪比 滨工业大学无线电系 ,从事信号处理和计算机硬 ) 10dB, 本文算法的收敛性显著提高.件的教学和研究. E2mail :wxblxf @hqu. edu. cn 参考文献 : 1 马淑芬 ,吴嗣亮. 有色噪声中谐波频率的频域非线性预滤波估() 计方法 J . 电子学报 ,2000 ,28 6:48 - 50 . 林劲松 男 ,1975 年 11 月生于福建 ,厦门大金梁 ,殷勤业 ,汪仪林. 广义谱相关子空间拟合 DOA 估计原理 学自动化系讲师 ,1999 年毕业于厦门大学自动化 2 () 系 ,从事系统工程和计算机软件的教学和研究. J . 电子学报 ,2000 ,28 1:60 - 63 . 喻胜 ,陈光 . 一种 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 噪声中正弦信号的 SVD 方法 J . 电子 3 () 学报 ,2000 ,28 6:108 - 110 . Bresler Y ,A Macovski . Exact maximum likelihood parameter estimation 4 of superimposed exponential signals in noise J . IEEE Trans. Acoust , Speech ,Signal Processing ,1986 ,ASSP234 :1081 - 1089 .