计算机概论报告

计算机概论报告 計算機概論報告 姓名:余冠儒 班級:數一甲 學號:49731136 第一章 編碼............................................................................................................. 3 第一節 資料儲存單位 ..................................................................................... 3 第二節 ASCII .................................................................................................. 4 第三節 BIG-5 .................................................................................................. 8 第四節 UNICODE ......................................................................................... 12 第二章 整數系統 ................................................................................................... 15 第一節 二、八、十、十六進位表示法......................................................... 15 第二節 不同進位的互換 ................................................................................ 16 第三節 4位元二補數的整數系統 ................................................................. 20 第四節 四則運算與溢位 ................................................................................ 21 第三章 浮點數 ....................................................................................................... 22 第一節 二、十進位對於小數的表示法及其互換 ......................................... 22 第二節 浮點數的表示法 ................................................................................ 24 第四章 數學定理與公式 ....................................................................................... 27 第一節 勾股弦定理 ....................................................................................... 27 第二節 尤拉線與九點圓 ................................................................................ 28 第三節 微積分的一些重要定義與定理(極限定義)、導數的定義(附圖說明)、 均值定理(附圖說明) ....................................................................................... 33 第四節 線性代數的一些基本性質、線性聯立方程式與矩陣表示式、矩陣相 乘 .................................................................................................................... 34 第五章 數學家的故事 ........................................................................................... 38 第一節 笛卡兒 ............................................................................................... 38 第二節 巴斯卡 ............................................................................................... 41 第三節 皮耶,德,費瑪 .......................................................................... 44 第六章 數學難不難 ............................................................................................... 47 第一章 編碼 第一節 資料儲存單位 10 1KB =2=1024B K 代表 Kilo(千) 20 1MB =2=1024KB M 代表 Mega(百萬) 30 1GB =2=1024MB G 代表 Giga)(十億) 40=1024GB T 代表 (Tera)(兆) 1TB =2 第二節 ASCII ASCII 碼大致可以分作三部分組成。 由 00H 到 1FH 共 32 個,一般用來通訊或作為控制之用,有些字元可顯示於螢幕,有些則無法顯示在螢幕上,但能看到其效果(例如換行字元、歸位字元)。如下表, 是由 20H 到 7FH 共 96 個,這 95 個字元是用來表示阿拉伯數字、英文字母大小寫和底線、括號等符號,都可以顯示在螢幕上。如下表, 032 20 056 38 8 080 50 P 104 68 h 033 21 ! 057 39 9 081 51 Q 105 69 i 034 22 " 058 3A : 082 52 R 106 6A j 035 23 # 059 3B ; 083 53 S 107 6B k 036 24 $ 060 3C < 084 54 T 108 6C l 037 25 % 061 3D = 085 55 U 109 6D m 038 26 & 062 3E > 086 56 V 110 6E n 039 27 ' 063 3F ? 087 57 W 111 6F o 040 28 ( 064 40 @ 088 58 X 112 70 p 041 29 ) 065 41 A 089 59 Y 113 71 q 042 2A * 066 42 B 090 5A Z 114 72 r 043 2B + 067 43 C 091 5B [ 115 73 s 044 2C , 068 44 D 092 5C \ 116 74 t 045 2D - 069 45 E 093 5D ] 117 75 u 046 2E . 070 46 F 094 5E ^ 118 76 v 047 2F / 071 47 G 095 5F _ 119 77 w 048 30 0 072 48 H 096 60 ` 120 78 x 049 31 1 073 49 I 097 61 a 121 79 y 050 32 2 074 4A J 098 62 b 122 7A z 051 33 3 075 4B K 099 63 c 123 7B { 052 34 4 076 4C L 100 64 d 124 7C | 053 35 5 077 4D M 101 65 e 125 7D } 054 36 6 078 4E N 102 66 f 126 7E ~ 055 37 7 079 4F O 103 67 g 127 7F 由 80H 到 0FFH 共 128 個字元,一般稱為『擴充字元』, 這 128 個擴充字元是由 IBM 制定的,並非標準的 ASCII 碼。這些 字元是用來表示框線、音標和其他歐洲非英語系的字母。 第三節 BIG-5 A141 , A142 、 A143 。 A144 , A145 ? A146 , A147 , A148 , A149 ， A14A , A14B … A14C ‥ A14D , A14E ， A14F , A150 ? A151 , A152 , A153 , A154 ， A155 , A156 – A157 , A158 — A159 , A15A ? A15B , A15C , A15D, A160 ， A161 , A162 , A163 , A164 , A165 〔 A166 〕 A167 , A168 , A169 【 A16A 】 A16B , A16C , A16D 《 A16E 》 A16F , A170 , A171 〈 A172 〉 A173 ， A174 ， A175 「 A176 」 A177 ， A178 ， A179 『 A17A 』 A17B , A1A1, A1A2 , A1A3, A1A4 , A1A5 ‘ A1A6 ’ A1A7 “ A1A8 ” A1A9 〝 A1AA 〞 A1AB ‵ A1AC ′ A1AD , A1AE , A1AF , A1B0 ※ A1B1 ? A1B2 〃 A1B3 ? A1B4 ? A1B5 ? A1B6 ? A1B7 ◎ A1B8 ? A1B9 ? A1BA ? A1BB ? A1BC ? A1BD ? A1BE ? A1BF ? A1C0 ? A1C1 ? A1C2 ? A1C3 , A1C4 , A1C5 ? A1C6 , A1C7 , A1C8 , A1C9 , A1CA , A1CB , A1CC , A1CD , A1CE , A1CF ， A1D0 , A1D1 × A1D2 ? A1D3 ? A1D4 ? A1D5 , A1D6 , A1D7 , A1D8 ? A1D9 ? A1DA ? A1DB ? A1DC ? A1DD ? A1DE ， A1DF , A1E0 , A1E1 , A1E2 , A1E3 , A1E4 ? A1E5 ? A1E6 ? A1E7 ? A1E8 ? A1E9 ? A1EA ? A1EB ? A1EC ? A1ED ? A1EE ? A1EF ? A1F0 ? A1F1 ? A1F2 ? A1F3 ? A1F4 ? A1F5 ? A1F6 ? A1F7 ? A1F8 ? A1F9 ? A1FA ? A1FB ? A1FC ? A1FD ? A1FE , A240 , A241 ? A242 , A243 , A244 , A245 〒 A246 , A247 , A248 , A249 , A24A ? A24B ? A24C , A24D , A24E , A24F ? A250 ? A251 ? A252 ? A253 ? A254 ? A255 ? A256 ? A257 ? A258 ? A259 兙 A25A 兛 A25B 兞 A25C 兝 A25D 兡 A25E 兣 A25F 嗧 A260 瓩 A261 糎 A262 ? A263 ? A264 ? A265 ? A266 ? A267 ? A268 ? A269 ? A26A ? A26B ? A26C ? A26D ? A26E ? A26F ? A270 ? A271 ? A272 ? A273 ? A274 ? A275 ? A276 ? A277 ? A278? A279? A27A ? A27B ? A27C ? A27D ? A27E ? A2A1 ? A2A2 ? A2A3 ? A2A4 ? A2A5 ? A2A6 ? A2A7 ? A2A8? A2A9 ? A2AA ? A2AB ? A2AC ? A2AD ? A2AE ? A2AF : A2B0 , A2B1 , A2B2 , A2B3 , A2B4 , A2B5 , A2B6 , A2B7 , A2B8 , A2B9 ? A2BA ? A2BB ? A2BC ? A2BD ? A2BE ? A2BF ? A2C0 ? A2C1 ? A2C2 ? A2C3 〡 A2C4 〢 A2C5 〣 A2C6 〤 A2C7 〥 A2C8 〦 A2C9 〧 A2CA 〨 A2CB 〩 A2CC 十 A2CD 卄 A2CE 卅 A2CF , A2D0 , A2D1 : A2D2 , A2D3 ， A2D4 , A2D5 , A2D6 ， A2D7 , A2D8 , A2D9 ， A2DA ， A2DB , A2DC ， A2DD : A2DE , A2D F, A2E0 , A2E1 , A2E2 , A2E3 , A2E4 , A2E5 , A2E6 , A2E7 , A2E8 , A2E9 , A2EA , A2EB , A2EC , A2ED , A2EE , A2EF , A2F0 , A2F1 , A2F2 , A2F3 ， A2F4 , A2F5 , A2F6 , A2F7 : A2F8 , A2F9 , A2FA ， A2FB , A2FC , A2FD , A2FE , A340 , A341 ， A342 , A343 , A344 Α A345 Β A346 Γ A347 Δ A348 Ε A349 Ζ A34A Η A34B Θ A34C Ι A34D Κ A34E Λ A34F Μ A350 Ν A351 Ξ A352 Ο A353 Π A354 Ρ A355 ? A356 Σ A357 Τ A358 Υ A359 Φ A35A Χ A35B Ψ A35C α A35D β A35E γ A35F δ A360 ε A361 ζ A362 η A363 θ A364 ι A365 κ A366 λ A367 μ A368 ν A369 ξ A36A ο A36B π A36C ρ A36D σ A36E τ A36F υ A370 φ A371 χ A372 ψ A373 ω A374 ㄅ A375 ㄆ ...................... 第四節 UNICODE 其實,為了解決不同語系之間資訊交流的問題。有一種技術存在,叫 做 Unicode。 事實上,Windows NT/2000/XP 的系統核心就是 Unicode。 簡單的說,Unicode 是一個超大的文字庫,他蒐集了世界上所有語言的大部分文字,而收錄在同一個文字庫裡。包括 繁/簡體中文、日文、韓文,以及許多想不到的語文。因為 Windows 2000 使用 Unicode 作為核心,所以理論上,Windows 2000應該可以同時處理世界各國的文字。 Unicode 裡,無論是英文還是漢字、假名,每個字都是兩個 bytes(位元組)。 而之前的傳統編碼,則是美國制定的標準,稱為 ASCII 碼,定為 ANSI 標準,,英文字母每個字只要 1 個 byte 儲存。但因 1 個 byte 極限只能表示 256 個字,不敷漢字圈使用,所以中文、日文等文字,還自己在 ASCII 的基礎上,以兩個字元組成方塊字,建立出各自的規範,如台灣的 BIG5 與日本的 JIS 等。後文我們將這些所有建立在 ASCII 上的各種漢字圈延伸編碼方式,稱為 ANSI 編碼。 雖然說 Windows 2000/XP 下,文字是 Unicode,但是從 MS-DOS 時代、甚至 Windows 3.1/95/98/ME 所留下來的大量資料,當時都是使用 ANSI 編碼儲存的。所以,Windows 2000 並不可能真的放棄掉 ANSI 編碼。於是,系統就必須隨時自動處理 Unicode 跟 ANSI 之間的轉換。 例如說,「一」這個字的 BIG-5 碼是 0xA440,而他的 Unicode 是 U+4E00,當今天網頁被下載的時候,傳進來的雖然是 0xA440,但是系統會自動把他轉成 Unicode 的 U+4E00,所以顯示在 IE 畫面上時,他已經被當作 Unicode 的 U+4E00 顯示了,而當我今天留言的時候,從注音輸入法打出來的其實是 Unicode 的 U+4E00,可是按下送出了以後,IE 事實上會判斷網頁的語系,因為是 BIG5 的網頁,所以會把他自動轉換成 0xA440 後才傳送出去。 總之,使用 Windows 2000/XP 時,系統就樣這樣常常把文字在 Unicode 跟 ANSI 之間轉來轉去。 因為 Windows 裡有內建 Unicode 與其他每種語系的對照表,所以今天我即使在日本網站用注音輸入法打中文,當按下送出的時候,IE 應該會自動把 Unicode 轉成 ShiftJIS 碼的 ANSI 資料才傳出去。 同理,日文網站的文章複製到 BBS 上時,因為網頁上顯示出來的東西已經是 Unicode 了,所以 Windows 不過是再將 Unicode 轉換成 BIG5,而不是真的能從 ShiftJIS 直接轉 BIG5。 如圖例可知,Windows 2000 的核心是以 Unicode 處理資料,而讀取到不同的內碼時,都會跟 Unicode 之間作轉換。 第二章 整數系統 第一節 二、八、十、十六進位表示法 2進位、8進位和16進位的表示和換算 我們從小就被教導使用阿拉伯數字來算數,我們早已習慣個、十、百、千、萬等等的「十進位」算數方式,其實為何要採用「逢十進位」這種算法,筆者也不知道為什麼,可能是人類有十根手指和十根腳指頭吧,,呵呵,,其實,十進位,顧名思義,就是「滿十個」就進一位,往左邊添一個1,原來的數就歸零,,竟其原因是阿拉伯數字用來表示數字的符號只定義了九個,分別是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,那麼要如何只用寥寥的九個符號表示真實世界中的所有的「數量」呢,當然,這可能就是「進位」的由來了,十進位就「規定」比9大一的數為10,也就是個位數9已是九個符號中最大的數了,再來就沒有其他的符號可用了,所以就「循環」使用這九個符號,所以又從頭開始使用最小的符號0,那為了表示這個比9大一的數,除了返回使用最 小的符號,0,之外,就「規定」在0的左邊多添一個1,那幫這個動作取一個名稱,那就是叫「進位」啦。因為是各個位數的符號用完十個,0到9,就往左邊多進一位,所以就把這種數字系統稱為十進位啦。 以上的說明,不知您有否聽懂呢,希望不是聽了之後「如墮五里霧之中」,一片「花殺殺」。好的,如果還可以吸收的話,就請繼續看下去,套用十進位的模式,還有其他的進位方式,如2進位,8進位,16進位等,原理通通都大同小異,萬變不離其宗,「十進位」是滿十就進一位,以此模式推理,2進位就是滿二就進一位,8進位就是滿8進一位,16進位是滿16進一位,這樣講應該是合乎邏輯的。十進位可用的符號有阿拉伯數字0到9,共十個,那2進位可用的符號就只有阿拉伯數字0和1,共2個,8進位可用的符號只有0到7,共8個,16進位可用的符號有0到9再加上英文字母A,B,C,D,E,F,共有十六個。好的,我們來看個2進位的例子,以8個bit來看,, 第二節 不同進位的互換 二進位 十進位 00000000 0 00000001 1 ^^^^^^^^此時要再表示下一個數就沒有足夠的符號可用了,只有0和1可用,,所以此時就將1歸零,然後往左邊添一個1,稱為進位,此即為2進位的由來。 00000010 2 00000011 3 ^^^^^^^^此時要再表示下一個數時,也沒有符號可用了,所以個位數歸零,然後往左邊進一位,此時十位數的數字已達1了再加上個位數進位來的1,滿2,,所以十位數也歸零,再往左邊進一位,就得到下列的數, 00000100 4 仿此模式繼續下去,就可以得到2進位和10進位的對照表如下, 00000101 5 00000110 6 00000111 7 00001000 8 00001001 9 00001010 10 好,原理就是這樣,所謂一法生萬法,萬變不離其宗,只要了解原理之後,那8進位和16進位對各位來說就一定沒有什麼困難的地方了,列出8進位、16進位部份對照表如下, 10進位 8進位 16進位 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 10 8 9 11 9 10 12 A 11 13 B 12 14 C 13 15 D 14 16 E 15 17 F 16 20 10 17 21 11 18 22 12 19 23 13 第三節 4位元二補數的整數系統 二補數,2's complement,是一種用二進位表示有號數的方法,也是一種將數字的正負號變號的方式,常在計算機科學中使用。 一個數字的二補數就是將該數字作位元反相運算,即一補數,,再將結果加 1,即為該數字的二補數。在二補數系統中,一個負數就是用其對應正數的二補數來表示。 二補數系統的最大優點是可以在加法或減法處理中,不需因為數字的正負而使用不同的計算方式。只要一種加法電路就可以處理各種有號數加法,而且減法可以用一個數加上另一個數的二補數來表示,因此只要有加法電路及二補數電路即可完成各種有號數加法及減法,在電路設計上相當方便。 另外,二補數系統的 0 只有一個表示方式,這點和一補數系統不同,在一補數系統中,0 有二種表示方式,,因此在判斷數字是否為 0 時,只較比對一個不同的條件即可。 右側的表是在一些 8 位元二補數系統的整數。 第四節 四則運算與溢位 溢位現像 (前面的底線,只是要讓它排列整齊) 以4位元CPU來說 ____0001 ___+1111 _------------ ___1 0000 你得到的結果是0 但前面的那個1 會在溢位(有的稱進位)旗標中設成有溢位 所以溢位旗標變成1 你可以判斷有無溢位而去做其它處理 當 ____0101 ___+1001 _---------------- ____1110 此時你得到結果是14 溢位旗標會設為0,表示沒有進位 同理八位元CPU也是 第三章 浮點數 第一節 二、十進位對於小數的表示法 及其互換 二進位的小數和十進位的小數在觀念上完全一樣,必須有一個小數點, 小數點的左邊是整數, 小數點的右邊是小數,每一位數有它的權重,例如下圖, 在電腦裡表達小數的方式有兩種,一種是定點表示法,一種是浮點表示法。 在電腦裡資料以位元來存放,而小數點並不需要真的存放在位元內,我們只要知道哪兩個位元之間是小數點就好了,或是說我們只要知道每一個位元的權重,例如上圖即可。 1. 一般來講使用定點表示法來表達小數時我們在整個系統中會將 小數點都固定在一個地方,而不會調來調去,否則就需要多幾 個位元來記錄小數點的位置了。當然這也是為什麼要叫做定點 小數的原因了。 2. 在定點小數表示法裡加減法就是二進位的標準加減法,而乘法 必須要把小數點移回來 (你可以用十進位小數乘法去思考)。 3. 在高階程式語言內一般都不用定點小數表示法,因為定點小數 表示法所能表示數字的範圍非常有限,例如上面雙位元組小數 點置於第 8 位和第 9 位元之間時,只能表示 0 到 255 之間 每隔 1/256 的那些數字而已,這樣子範圍的數字在自然界中應 用的機會較小,那為什麼要用這種方式表示小數呢?? 簡單地 說就是運算速度較快,定點小數的運算就是標準二進位的運 算,因此很簡單,硬體製作起來也很便宜,浮點小數就比較複 雜,軟體模擬比較慢,硬體也比較貴。 4. 自然界中隨便一個數字,例如十進位 0.1 這個數字當使用二進 位定點表示法時,可能會有誤差,原因是是十進位 0.1 這個數 字用二進位表示時會是 0.000110011001100110011... 的一 個循環小數,以上圖的表示法來說小數以下只能表示八位數, 也就是 0.00011001,這個數字和原來希望表示的數字會有一 點點的誤差,讓我們把這個數字換回十進位來看看,也就是 1/256 + 1/32 + 1/16 = 25/256 = 0.09765625,是蠻接近 0.1 的,不是嗎,誤差一定小於 1/256,而且有一個特性就是實際 表達出來的數字的絕對值永遠小於或是等於原來要表達的數字 的絕對值。 第二節 浮點數的表示法 所謂二進位的浮點小數表示法 (或是浮點數, floating point number) 簡單地講和我們十進位中常用的科學記號表示法是類似的,十進位中我們用十的冪次 (power) 及 0 至 1 之間的小數來表示一個任意的實數,例如,12345.6789 表示為 0.123456789 * 10^5。 在二進位中我們一樣可以將一個二進位數字 1101110.11011 表示為 0.110111011011 * 2^7,這樣子的表示法和定點表示法之間好像沒有什麼不同嘛!! 對!! 這兩個數值的大小當然是完全一樣的,那為什麼要用浮點表示法呢?? 請注意在定點小數表示法之中我們看到它的 缺點是絕對值太大的數字會被截斷 (正確的名稱是溢位,overflow) 位數不夠多無法表達大於範圍的數字, 絕對值太小的數 (例如,0.000000001) 也會被截斷 (正確的名稱是無條件捨去,truncation) 只能表達近似的值。 如果是這樣子的話,不知道你有沒有想過... 1. 對於一個很大的數字 (例如 123456789012) 定點表示法保証 小數點以後一定有固定的幾個位數來表示, (例如 123456789012.00000011) 可是這樣子的精確度對於大部份 的應用來說是沒什麼意義的,試想太陽到地球的距離多一公里 少一公里真的有關係嗎?? 光速每秒鐘快一公尺又何妨?? 2. 對於一個很小的數字 (例如 0.0000000012) 來說定點表示法 可能因為小數點後沒有足夠的位數來記錄而將其省略,上面這 個數字就變成 0 了。如果你說水中含有 0.0000000012 莫耳 的氰化鈉,因為小數點後位數不足而把它當為 0,這不太好吧!! 這時浮點數表示法就有它的妙用了,以第一例中一個很大的數字而言,浮點數由最重要的位數開始只保留一定的位數,例如 123456789012.00000011 可用 .1234567890 * 10^12 來表示就夠了,這個表達方法所記錄的數字和實際的數字會有誤差,但是百分比 誤差不大。以第二例而言, 0.0000000012 可用 0.12 * 10^(-8) 來表示,不需要浪費許多位元記錄 "0",只需記 12 以及 -8 即可精確地表達這個很小的數字。 舉例來說,一種簡單的二進位浮點表示法可以一個位元記錄正負號,七個位元二的補數記錄 2 的冪次, 24 個位元記錄小數,共 32 位元,如下圖, 若有一個以此種表示方法的二進位數值, 0 0001110 110000000000000000000000 代表十進位的 0.75 * 2^14 這個數字。 注意, 和前面的定點小數表示法一樣,浮點小數表示法在表達任意一 個小數的時候,也常常會有一些誤差,而且實際所表示的數字 的絕對值會小於或是等於原來希望表達的那個數字的絕對值。 第四章 數學定理與公式 第一節 勾股弦定理 所謂的勾股弦即表示直角三角形的三個邊長 1.三角形的短邊稱之為「勾」 2.三角形的長邊稱之為「股」 3.長邊和短邊的連線的斜邊稱之為「弦」 而所謂的勾股弦定理就是有名的商高定理,也就是畢氏定理。 勾股弦定理的特性就是直角三角形的短邊平方 加上長邊平方的總和等於斜邊的平方(A平方+B 平方=C平方) 勾股弦定理可以被應用在很多 地方。例如,測量土地的面積、 測量距離、高度等。 並且成為平面幾何學及測量學 的基礎之一 第二節 尤拉線與九點圓 自Euler,1707~1783,發現尤拉線,Poncelet,1788~1867,證明九點圓以來,相關的論文無數,本文絶非創見,只能算是個人的讀書筆記。 重心、內心、外心與垂心是三角形的四心,前三心的物理或幾何的意義明顯,比較容易掌握,至於垂心,指的是三高的共同交點,論證通常要借重縮放關係,請看圖一, A R Q B C P 圖一 三點是三邊的中點,不難發現的垂 圖中,P,Q,R,PQRBC,CA,AB 心剛好是的外心。借重的外心,可以證明的三高共,PQR,ABC,ABC 點。 易見圖一中的與相似,邊長是的一半。不過細,PQR,ABC,ABC究起來,和的位置上下顛倒,不是單純的縮放,縮放之外,,PQR,ABC 還需加上旋轉,請看圖二, A R Q G B C P 圖二 P,Q,R,PQR如圖,令分別為三邊的中點,並令為和的共,ABCG,ABC ,PQR同重心,由相關位置可以看出正是繞重心旋轉180?之,ABCG 後再縮小一半的結果。注意到在旋轉繼以縮放的過程中,角度的關係 不變,註一,。 ,大三角形,的垂心、外心和重心,以及 現在考慮,PQR,ABCGEF,小三角形,的垂心、外心和重心,請看圖三, fGe A E R Q G F B C P 圖三 將繞旋轉180?之後再縮小一半,由於角度的關係不變,垂心,ABCG ,PQR變換到的垂心,但是由於同時也是的外心,所以,ABCEFee EAE,G,F三點共線並且,又因透過旋轉和縮小一半之後,EG,2GF FP,因此EA,2FP。結論是,註二,, 變換到 (1) 三角形的垂心、重心、外心依序共線,稱為尤拉線, GEF (2) EG,2GF EA,2FP(3) 接著再將圖三中的外心繞旋轉180?之後再縮小一半,,ABCGF得到的外心,圖四,。 ,PQRf A E R Q f G F B C P 圖四 EFf 由於,易見是的中點。由結論(3),EG,2GF,4Gf A'EA,2FPAE,因此若將延長之後,會交到的中點,並且有PfPf,fA' ,圖五,。 A A' E R Q f F B A"C P 圖五 PA'中,是斜邊的中點,所以有注意到在直角三角形f,PA"A' (4)。 fA",fA',fP 記得f是,PQR的外心,根據(4),加上對稱的考量,可以看出, 以f為圓心,為半徑的圓會通過下列九個點,圖六,, fP 三邊的中點P,Q,R,三高的垂足A",B",C", ,ABC,ABC A',B',C'垂心到三頂點連線段的中點。 ,ABC A C"A' B" R Q f B' C'圖六 B C A"P 這個圓稱為九點圓,註三,。 第三節 微積分的一些重要定義與定 理(極限定義)、導數的定義(附圖說 明)、均值定理(附圖說明) 極限之數學定義 ,,，,,,,,,,,,,,,,,,,,,0,00lim,,,,xafxLfxLaLR，，，，xa, 導數的定義: 'fx 函數 f 在 x 之導數,以表之,其定義為 ，， 'fx,,,, ，， 'fx只要上述極限存在。又稱 f 在 x 之變化率。若上式之極限存在,便稱 f 在 ，， x 可微。若 f 在定義域中每點皆可微,則 稱f 為一可微函數,或說 f 可微。若 fxhfx，,，，，，'f 在 x連續,則,,分別稱為 f 在 x 之右導數及左limfx,，，，，h,0h ''fx,,fx,,導數,二者也皆稱為單側導數。又若,且,則稱 f 在 x 之，，，，，, ''fx,,fx,,,導數,因?並非一實數,故此時導數並不存在,。同理可定義。 ，，，， 第四節 線性代數的一些基本性質、線 性聯立方程式與矩陣表示式、矩陣 相乘 (一般的, 抽象的, 不一定具有幾何意義的) 向量空間 向量空間 請比較下列幾個問題: 試把 5x^2-3x+1 寫成 -x^2+x+1, x^2-x+1, x^2+x-1 這三個多項式的常數倍的和. 試把 [5, -3; 0, 1] 寫成 [-1, 1; 0, 1], [1, -1; 0, 1], [1, 1; 0, -1] 這三個方陣的常數倍的和. 試把 5 cos(x) - 3 sin(x) + log(x) 寫成 -cos(x)+sin(x)+log(x), cos(x)-sin(x)+log(x), cos(x)+sin(x)-log(x) 這三個函數的常數倍的和. 結論: 其實都是在解同一個線性聯立方程組. 解讀向量空間的定義: 所有 "向量" 所成的集合 V: 這裡面每個元素都可以是非常 "厚重", "複雜", "沒有學過", "只有外星人才看得懂", ... 但是元素與元素之間的關係卻很簡單: 兩個元素相加的結果, 居然又是這個集合 V 當中的另一個元素. 一個元素乘以常數倍的結果, 居然又是這個集合 V 當中的另一個元素. 所有元素當中有一個特別的元素, 它是所有力量的帄衡, 是孙宙的中心, 任何元素與它相加都沒有變化; 但是 V 這個集合裡面如果少了它就不完整. 我們姑且把它記做粗體字的 0, 稱之為零向量. 線性代數研究的就是 V 當中 元素與元素之間的關係 (乘以常數倍, 相加, 還有這兩者的組合與變化). 線性代數不研究 V 中元素的內在特性. (可以鬆一口氣了吧?) 因為將來我們所看的定理, 都是根據向量空間的定義導出來的, 幾乎從來不會用到 V 中元素內在的特性 (不要忘記, 這些元素的內在特性可能是非常複雜的, 連數學家都無法理解 ...) 所以這些定理適用的範圍很廣. 更明確地說, 只要是滿足向量空間所有公設 (axioms) 的 V, 我們的定理便可以適用. (有點像是在 C 當中, 你要使用 qsort 時, 必須傳進去一個具有特定行為模式的副程式 cmp, 只要它滿足某些條件, qsort 就會把你的資料排序完成.) 唯一需要把 V 的元素拆開來看的時候, 是在證明 V 是一個向量空間的時候, 也就是在證明 V 滿足下列公設的時候. 向量空間的公設: 公式 英文名稱 u + v is in V. closure under addition u + v = v + u commutativity of addition u + (v + w) = (u + v) + w associativity of addition u + 0 = u existence of additive identity u + (-u) = 0 existence of additive inverse c u is in V. closure under scalar multiplication c (u + v) = cu + cv distributivity (c + d)u = cu + du distributivity c (d u) = (cd) u associtivity 1 u = u scalar identity 其他可證得的簡單性質: 0 u = 0 c 0 = 0 若 c u = 0 則 c = 0 或 v = 0 (-1) u = -u subspace (子空間): 定義: 一個向量空間 V 的 (非空) 子集合 W, 如果本身又是一個向量空間, 則稱之為 V 的subspace 子空間. (要使用原來的乘法與加法才算數.) 定理: 一個向量空間 V 的 (非空) 子集合 W, 如果滿足加法與乘法的封閉性, 則必為 V 的子空間. 定理: 子空間的交集必為子空間. Q: R^2 有那些子空間? R^3 有那些子空間? 猜猜看 R^n 有那些子空間? Q: C[-1,1] 在函數的加法, 及函數與純量的乘法這兩個運算下構成一個向量空間. 試問以下集合是否為 C[-1,1] 的子空間: V1 = { f(x) in C[-1,1] : f(-1)=-1 }, V2 = { f(x) in C[-1,1] : |f(x)| = f(x) for all x in [-1,1] }, V3 = { f(x) in C[-1,1] : f(-1) = f(1) = 0 }. linear combination (線性組合): 定義: 一堆 (有限個) 向量的常數倍的和即稱為這些向量的一個 linear combination (線性組合) 把一個向量化為數個向量線性組合的問題, 其實就是解線性方程組的問題. 定義: 把一堆 (有限個) 向量 A 的 所有 線性組合搜集起來所成的集合, 稱為 A 的 span; 記為 span(A). 定理: span(A) 是一個子空間. 不傴如此, 它是所有包含 A 的子空間當中最小的一個. 定義: span(A) 稱為 A 所張的子空間; A 稱為 span(A) 的一個 spanning set. (注意: 一個子空間可以有很多組不同的 spanning sets.) 定義: 一堆 (有限個) 向量, 如果只有唯一一種方式可以讓它們的線性組合為 0, 則稱它們彼此 linearly independent (線性獨立); 如果不只一種方式, 則稱它們彼此 linearly dependent (線性相依). 註: 上面所說的唯一一種方式就是取所有的係數為 0 定理: 線性相依的一堆向量, 其中必有向量可化為其他向量的線性組合. 反之亦然. 線性獨立/線性相依的直覺解釋: 在 R^n 當中, k 個向量 (k <= n) 必定落在同一 個 k-flat 上. 如果它們竟然落在同一個 (k-1)-flat 上 (它們所張開的帄行 xxx 的 x 積等於零), 就叫做線性相依; 否則就叫做線性獨立. Q: 在多項式的加法, 及多項式與常數的乘法下, 所有的多項式構成一個向量空間. 請問 {x^2-5x+6, x^-4x+4} 這兩個向量線性相依或線性獨立? 若取 x=2 就可以任取不全為 0 的係數讓兩者的線性組合為 0, 這樣對嗎? 小考必考題: 給你幾個向量, 問它們之間究竟是線性獨立亦或是線性相依; 若是線性相依, 請將其中一個表示為其他的線性組合. Q: 請描述空間中兩個向量何時線性相依, 何時線性獨立. 三個向量呢? Q: 若 u 與 v 線性獨立, 試問 u, v, u+v, u-v 當中, 有那幾對也是彼此線性獨立? (要變成你的反射動作!) 重要圖象: A * x 可以解釋成 A 的行向量的線性組合 (以 x1, x2, ... xn 為係數) A 的列向量分別與 x 做內積的結果 基底 何謂向量空間 V 的一組 basis 基底? 多到足以張出整個 V; 少到彼此線性獨立. 定理: (uniqueness of basis representation) 給定一組基底, 每個向量可以用唯一的一組數字 (即線性組合當中的係數) 來表示. (而不會出現 "兩組數字都代表同一個向量" 的窘境.) 換句話說, 一組基底之於它所張的向量空間, 就像一個長度的單位之於長度這個觀念一樣, 可以把一個觀念化簡為數字表示出來. (給定一個長度單位, 每個長度可以用唯一的一個數字來表示, 而不會出現 "兩個數字都代表同一個長度" 的窘境.) 定理: 一個向量空間 V 它的每一組基底的元素個數都一樣. 把這個固定的元素個數稱為 V 的 dimension 對基底的直覺解釋: (以 R^3 為例) 在原點上隨便豎起三根不共面的筷子 (長度不必一樣), 成為一組基底. 想像把這樣一組筷子複製無限多份, 帄移到空間中各處, 形成一個筷子方格網 (每個方格都是一模一樣的帄行六面體), 如此一來空間中每個方格頂點 (筷子交叉處) 都可用一組 (三個) 整數座標表示. 空間中其他點也可用一組實數座標表示. 定理: 從 n 維向量空間 V 當中隨便挑 n 個向量, 如果它們彼此線性獨立, 則它們可構成 V 的一組基底. 定理: 從 n 維向量空間 V 當中隨便挑 n 個向量, 如果它們可以張出整個 V, 則它們可構成 V 的一組基底. 說明: 一種好的表示法 (例如用公分描述長度, 用身份證字號描述人, ...) 應該滿足以下三個條件: 每個物件都可以表示得出來. 每個物件都只有唯一的一種表達方式. 不同的物件有不同的表達方式. 一個 (有點牽強的) 例子: 如何表達顏色? RGB, CMY, HSB (其實顏色的空間並非向量空間, 且 HSB 並不滿足 (2) ). 第五章 數學家的故事 第一節 笛卡兒 笛卡兒生在一個富有律師的家庭,自幼身體柔弱,父母允許他在床上作功課,久而久之就形成習慣,之後,他一輩子都是這樣。 20歲畢業於Poityers 大學法律系,之後,前往巴黎跟Mydorde 和Mersenne學了一年數學,由於解決了荷蘭Bredas廣告牌上的一道難題,而信心大增,從此認真學習數學、研究數學。 他由哲學家、自然界、科學應用來看數學,他認為數學的偉大在於其證明所依據的公理是無缺點的,數學是獲得確定和有效證明的方法,而且數學是形而上的。他說,「數學是人類知識活動留下來最具威力的知識工具,是一些現象的根源。數學是不變的,是客觀存在的,上帝必以數學法則建造宇宙。」 笛卡兒說,「希臘幾何太過抽象,他只是用來訓練瞭解,使想像力大為疲勞的工具罷了，而代數太過於遵守原則和公式,計算過於繁雜,不是一門改良心智的科學。」所以他把代數應用到幾何,在西元1637年,他寫了一本幾何學(LAG'eom'etrie)。該書難懂,他吹牛說歐洲少有數學家可以看懂它,他對作圖和說明只起頭,而將過程留給讀者自證,他說他的書如同建築師一樣,把計畫和設計圖鋪好,其它的瑣事留給泥水匠和工人。 他為了讓幾何問題有一定的思考發法,發明了坐標幾何。基於坐標,幾何圖形可以被表示為坐標之間的運算關係,幾何問題也就變成解方程式的問題了。他研究巴伯斯(Pappus)所提出,"求平面上一動點,的軌跡"的四線問題時,引入了坐標的觀念,考慮動點,它到這四條線的距離dn,n=1,2,3,4,若滿足 kd1d2=d3d4,k是常數,則這些動點的軌跡如何,前人只能就某些特殊相對位置的四條直線求解,但是笛卡兒說引進坐標的dn是一次式,而kd1d2=d3d4則為動點坐標的二次方程式,所以軌跡是一圓錐曲線。 值得一提的是,當時笛卡兒或者費瑪所提出的坐標都只考慮正數,而且並不是先定好兩軸,是以一直線和一固定的夾角為已知,並不需要先畫出,軸即可描述點的位置。由他所設的坐標系,笛卡兒導出動點軌跡的方程式,他並將不同的曲線放在同一個參考軸上,利用解聯立方程式來求它們的交點。除此之外,笛卡兒經由坐標幾何的發展,賦予了幾何曲線更寬廣的空間。這點可以從古希臘的幾何談起。古時希臘的幾何多以圖形為主,他們把曲線分為立體曲線、平面曲線、線性曲線三種,立體曲線即圓錐曲線,平面曲線即能以直尺和圓規作出來的圖形,其他的皆為線性曲線,線性曲線被認為不能登大雅之堂。笛卡兒不同意希臘人對線性曲線的觀點,他首創幾何曲線是能以唯一的，、,之有限次方程式表示的曲線,對於任意一個，、,的方程式,都可以畫出它的圖形,由此他開拓了一個新的研究領域,對於一些以前不被接受的幾何曲線賦予了新的意義。 西元1649年,被邀請擔任瑞典皇后Christina的家教,西元1650 年死於肺炎。 第二節 巴斯卡 巴斯卡是法國著名的科學家,水壓機原理就是他發現的。他的著名的Toricelli實驗,證明了空氣是有壓力,轟動法國一時。那時他才二十三歲。在物理上他奠立了流體靜力學的基礎理論。在數學上他的貢獻也是不少。 巴斯卡很小的時侯母親就去世了,由在稅務局工作的父親教育他的姐姐及妹妹。父親是一個數學愛好者,常和一些懂數學的人交往,可是他認為數學對小孩子是有害且會傷腦筋,因此孩子應該在十五、六歲時才學習數學。這之前就學一些拉丁文或希臘文。因此在巴斯卡小時後,父親從來不教他學習數學,只是教他一些 語文和歷史,而且巴斯卡的身體也不太強壯,父親更不敢讓他接觸到數學。巴斯卡在十二歲的時侯,偶然看到父親在讀幾何書。他好奇的問幾何學是什麼?父親為了不想讓他知道太多,只是大約講幾何研究的是圖形如三角形、正方形和圓的性質,用處就是教人畫圖時能作出正確美觀的圖。父親很小心的把自己的數學書都收藏好,就怕被巴斯卡拿去翻看。可是巴斯卡卻產生興趣,他根據父親講的一些幾何簡單知識,自己獨立對幾何學研究。當他將發現:「任何三角形的三個內角和是一百八十度」的結果告訴父親時,父親是驚喜交集,竟然哭了起來。父親於是搬出了歐幾里得的(幾何原本),巴斯卡開始接觸到數學書籍。 他的數學才能顯得很早熟,在十三歲的時候就發現了所謂「巴斯卡三角形」。還不到十六歲他發現了射影幾何學的一一個基本原理:「圓錐曲線裏的內接六邊形對邊的交點是共線」。在他十七歲時利用這定理寫出將近四百多個關於圓錐曲線定理的論文。 在十九歲時,他為了減經父親計算稅務的麻煩,發明了世界上最早的計算機,只有加減的運算罷了。但是所用的設計的原理,現在的計算機還是用到。數學上的數學歸納法是他最早發現。 可是在西元I654年的11月的一天,他在巴黎乘馬車發生意外,差一無掉進河裏去,他受驚後覺得大難不死,一定有神明庇護,於是決定放棄數學和科學而去研究神學了。只有在偶爾牙痛時才想些數學問題,用這個方去來忘記痛苦。 後來他更極端,像苦行僧一樣,他把有尖刺的腰帶纏在腰上,如果他認為有什麼不虔敬的想法從腦海出現,就用肘去打這腰帶,來刺痛身體。巴斯卡不到三十九歲就去世了。 巴斯卡非常接近發現微積分理論。德國數學家萊布尼茲後來寫道:「當他讀到巴斯卡的著作,使他像觸電一樣,突然悟到了一些道理;後來才建立了微積分的理論」。 第三節 皮耶,德,費瑪 費瑪,Pierre de Fermat,是一個17世紀的法國律師,也是一位業餘數學家。之所以稱費瑪「業餘」,是由於他具有律師的全職工作。著名的數學史學家貝爾,E. T. Bell,在20世紀初所撰寫的著作中,稱費瑪為「業餘數學家之王」。貝爾深信,費瑪比他同時代的大多數專業數學家更有成就。17世紀是傑出數學家活躍的世紀,而貝爾認為費瑪是17世紀數學家中最多產的明星。 費瑪的父親多米尼克,費瑪,Dominique Fermat,是一位皮貨商,同時也是波蒙特,洛門地區的第二執政官。他的母親克萊兒,德,隆格,Claire de Long,則出身於國會法官世家。費瑪於1601年8月出生,於8月 20日在波蒙特,洛門受洗,,而父母一心要栽培他成為地方首長。他幼年在杜魯斯求學,30歲時就任同一地的請願委員,同年與露薏絲,隆格,Louise Long,結婚,育有三子二女,其中一個兒子克雷門,山繆,費瑪,Clement Samuel Fermat,成了他科研上的主要助手,並在費瑪逝世後,整理出版了他的工作成果。事實上,這份出版品也就是今日聞名已久的費瑪最後定理之出處。 由於家境富裕,父親特意給他請了兩個家庭教師,不入學校而在家裡接受系統教育。小時後的費瑪雖稱不上是神童,卻也相當聰明。費瑪父親比較開通,並不寵愛孩子,因此費瑪學習十分努力,文科、理科都學得不差,不過,他最喜歡的功課,還是數學。1617年,費瑪準備考大學,父親希望他讀法律,費瑪也喜歡這門學科,所以沒有多大的爭議,就接受了父親的安排。畢業後,費瑪接受一個事務所的聘請,成了一名律師。由於工作認真,並熱心於社會福利事業,30歲那年,他被選為家鄉-圖盧茲的地方議會議員。 費瑪潔身自好,並不汲汲於名利,因此,平時比較空閒。閒餘時間,他常看些古書,尤其愛讀古希臘的數學名著。他不時作些題目,並進行數學研究,與當時的數學名家,如巴斯卡、笛卡兒、渥里斯等人通信,交流心得體會。 費瑪雖說是一位業餘的數學愛好者,但由於他刻苦鑽研,又敢於進行創造性的思考,所以取得的成果豐碩。他在解析幾何、數論、無窮小分析 〈微積分之前身〉和概率論方面,都有重要之貢獻。費瑪私淑戴奧弗多斯,來研究數論,師從希臘幾何學家,特別是阿波羅尼,來研究曲線,他曾和其他的人重建阿波羅尼失傳的著作"On Plane Loci"。在代數上已有所得後,他獻身於曲線的學習,而寫成《Ad Locos Planos et SolidosIsagoge》(平面和立體軌跡入門)一書。費瑪對於軌跡的研究有一般性的方法,這是古希臘所未能辦到的。我們不知他的坐標幾何是如何孕育出來的,他對韋達利用代數解幾何問題應是相當熟悉,但更可能的是他將阿波羅尼的結論直接轉換成代數式。在1638年笛卡兒發表其《La Ge`ome`trie》大作後的第二年,費瑪寄給他一份如何找切線的論文。他與笛卡兒並列為解析幾何的發明者。 檢查極大和極小問題時,他先使一代數方程的變數作微小的變動,然後使這變動消失。他還運用無窮小的思想到求積問題上,已具今日微積分的雛形。這也是費瑪的卓越成就之一,他在牛頓出生前的13年,提出了有關微積分的主體概念。牛頓以及同時代的萊布尼茲共同探討運動、加速、力、軌道以及應用數學上連續變化的理論,而這也是後世所稱的微積分。 在數論方面,一直到高斯提出他的貢獻之前,費瑪的研究始終左右著數論的研究方向。他寫過許多關於數論的定理,但頂多只給予簡略的證明,數論上有許多重要事項與費瑪的名字相連,他可說是近代數論的開 nnny=z,n?3時,沒有正整數解",成為創者。。他的費瑪大定理,"x+ 古今數學一大謎,多少的數學家投入這個問題,經過300多年的努力仍無成果,直到1993年才由懷爾斯解決。德國數學家P.Wolfshehl在1908年過世時遺贈十萬瑪克給Gottingen大學裡的德國科學學術院,懸賞能夠解決費瑪大定理的人。這獎金已吸引了數千人,然而沒有一個人提出正確的證法。此問題誤證之多,數學史上無出其右。 費瑪和帕斯卡是概率論早期的創立者,本來概率論是因應保險事業的發展而產生,但刺激數學家思考概率論的一些特殊問題,往往來自賭博者的請求。他與巴斯卡分享開創概率論的榮譽。 Ps:以上的資料.嚴格說起來.我只有略懂.有些懂有些尚待釐清 第六章 數學難不難 說到數學難不難.我應該會說不難.而且我覺得很好玩.從小我就覺得數學很好玩.一個不懂的東西.將他搞懂.真是人間一大樂事.雖然我至 今只學到數學的皮毛.但是我希望藉著讀數學系.讓我更了解數學.以 後為人師.讓更多人了解數學的奧義.