新 小六春季奥数 第一、二讲 陈林

新 小六春季奥数 第一、二讲 陈林 六年级奥数-新 第 一讲 三角形等积变形(—) 一、 教学目的: 关于三角形等级变形的内容，是各类竞赛和升学考试中常考的内容，且与初中全等三角形和相识三角形联系较紧。本专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 设计了三讲内容:第一讲主要是该内容有关的三个定理及其简单运用;第二讲是较复杂图形中添有关辅助线;第三讲是综合练习。 解题的关键:善于根据条件观察各个三角形之间的关系;熟练掌握及个基本图形的特点。 二、基础知识 我们知道: 三角形的面积=底×高?2(S=a×h?2),这个公式告诉我们: (1) 两个三角形底和高相等，那么它们的面积就相等。(如下图1) (2) 两个三角形高相等，一个三角形的底是另一个三角形底的几倍(或几分之几)，那么面积就是它的几倍(或几分之几)。反过来也成立。(如下图2) (3) 两个三角形底相等，一个三角形的高是另一个三角形高的几倍(或几分之几)，那么面积就是它的几倍(或几分之几)。反过来也成立。(如下图3) 三、例题解析: 例1:把任意1个三角形分成6个面积相等的三角形，你有几种分法, 分析:可以利用上面的3个结论进行思考。 例2:如图，在面积24平方厘米的三角形ABC中，M为BC的中点，AD=2DM,求三角形ABD的面积。 1 六年级奥数-新 练一练:如图，DC=2AB，梯形的面积是60平方米，求阴影部分的面积。 例3:如图，在三角形ABC中，CD=2BD,E是AC边上的四等分点，三角形ADE的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积是多少, 练一练:如图，在面积为120平方厘米的三角形ABC中，BE=2EC，FB=2/3AF，求阴影部分的面积。 例4:如图，在梯形ABCD中，BO=30厘米，OD=10厘米，三角形BCO的面积为36平方厘米，求梯形ABCD的面积。 注意:在判断2个三角形高是否相等时候，除了利用2个三角形的底在同一条线段上，并且共同一个顶点这种方法外，常常用到:平行线之间的距离处处相等的结论。 2 六年级奥数-新 例5:如图，在三角形ABC中，D是四等分点，AM=1/3AD,求三角形ABC的面积是三角形ABM面积的几倍。 练一练:如图,D是BC中点，AD=3DF, BE =1/3 EF,求三角形AEF面积是三角形ABC面积的几分之几, 例6:如图，由两个平行四边形组成，阴影部分的面积是多少平方厘米, 练习 一、基本题 1、如下左图，已知D是BC的中点，AE=2ED，三角形ABC的面积是24平方厘米，求三角形CDE的面积。 2、如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点。那么三角形EBF的面积是多少平方厘米。 3 六年级奥数-新 3、如图，已知三角形1的面积是6平方厘米，三角形2的面积是30平方厘米，求梯形ABCD的面积。 4、如图，在三角形ABC中，D是五等分点，BE=3CE，求三角形ABC的面积是三角形CDE的几倍, 5、把任意1个三角形分成4个面积相等的三角形，你有几种分法,(至少画出4种) 6、下图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，BF的长是EF长的3倍，那么三角形AFE的面积是多少平方厘米, 二、综合题: 7、把三角形ABC分成甲、乙、丙三部分，使甲的面积是乙的面积的3倍，丙的面积是乙的面积的4倍. 4 六年级奥数-新 8、如图，在梯形ABCD中，上底长是下底长的一半，F是BC腰的中点，E点是DF的中点，求阴影部分的面积是梯形面积的几分之几。 9、如图ABCD是梯形，AB平行于CD，对角线AC，BD相交于O点，OE平行于AB交腰BC于E点，如果三角形BOC的面积是115平方厘米，求三角形ADE面积是多少平方厘米, 第二讲 三角形等积变形(二) 一、教学目的: 本讲是三角形等级变形中三个定理在解答较复杂图形的运用 在奇妙的几何世界里，几何图形多种多样，变化无穷。许多几何问题，只靠原来图形上已有的线段很难发现解题思路，需要添加一条或几条图形上没有的线段，在图形与图形之间搭起一座“桥梁”，找到已知图形与未知图形之间的关系。 解题关键是:根据条件添有关辅助线。 一般方法是:根据题目所给的底(或高)的条件，添上辅助线，找到等高(或等底)的条件，而且相应的底(或高)有倍数关系，再利用上一讲所学的三个结论进行解答。 二、例题解析: (一)基本方法 例1:如图，AD=1/4BD，CE=5AE，三角形ADE的面积12平方厘米，求三角形ABC的面积。 5 六年级奥数-新 练一练:如图，BD=2AD，CE=1/3AE，已知三角形ABC的面积是48平方厘米，求三角形ADE的面积。 例2:如图，三角形ABC的面积为1，延长AB到E，使BE=2AB;延长BC到D，使C为BD的中点，求三角形BED的面积。 小结:例1、例2中，根据题目所给的两个三角形之间的关系，一定要找到等高这个条件，才能解答。而这两个例题中，底都在同一条线段上，只需要找到这两个底相对的、共同的顶点，就能保证这两个三角形等高了，而且相应的底有倍数关系。 例3:如图，平行四边形的面积是49平方厘米，A是底边上的中点，阴影部分的面积是多少平方厘米, 练一练:如图，一张长方形ABCD的纸折成下图，E恰好是AD边的中点，三角形AEF的面积是12平方厘米，三角形EDC的面积是36平方厘米。问长方形ABCD的面积是多少平方厘米, 6 六年级奥数-新 小结:本题运用了平行线的特点，来找等高这个条件，而且相应的底有倍数关系。 例4:把三角形ABC的AB延长1倍到D点， CA延长3倍到F点， BC延长2倍到E点，得到 三角形DEF。已知三角形ABC的面积为1平方厘米，求三角形DEF的面积。 例5:如图1，一个长方形被分成四个小长方形，求阴影部分的面积是多少, 分析:三角形的三个结论同样适用于长方形，只不过 把“底”和“高”，换成了“长”和“宽”。 例6:如图，将三角形ABC的三条边分别三等份(点E)、四等份(点F)、五等份(点G)，又已知三角形AEF的面积=18平方厘米，求阴影部分的面积。 练一练:已知AE=3EB，三角形EBC的面积为6平方厘米，求长方形ABCD的面积。 7 六年级奥数-新 课后练习:(一)基本题 1、如图AD=2DB，CE=3AE，已知三角形ABC的面积48平方厘米，求三角形ADE的面积。 2、三角形ABC中，如图，D、E为两个三等份点，F为AB的中点，若三角形EDF的面积是12平方厘米，求三角形ABC 的面积 3、如图，长方形ABCD中，E、F、G分别是BC边、CD边、DA边的中点，已知长方形ABCD的面积是30平方厘米，求阴影部分的面积。 4、如图，在三角形ABC中，已知D、E、F分别为BC、AB、AC边的中点，并且三角形ABC的面积为92平方厘米，求四边形AEDF的面积是多少平方厘米, (二)综合题 5、在下图中，三角形ABC的面积是75，那么阴影三角形的面积是多少, 8 六年级奥数-新 6、下图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2。F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求阴影部分面积。 7、如图，三角形ABC中，已知BE=EF=FC，ED=2AD，求阴影部分的面积是三角形ABC的几分之几, 8、长方形ABCD中，E为中点，F为AC边上的三等分点，如果三角形EFC的面积为1平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米。 19、如图，长方形ABCD的面积是100平方厘米，M在AD边上，且AM=AD，3 1N在AB边上，且AN=BN。那么，阴影部分的面积等于多少平方厘米, 3 9 六年级奥数-新 第三讲 三角形等积变形(综合练习) 例1、在下图中，三角形ABC的面积是75，那么阴影三角形的面积是多少, 例2、如图，DC=2AB，梯形的面积是60平方米，求阴影部分的面积。 例3、如图，正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那么它的宽DE是多少厘米, 例4、如图，长方形ABCD的面积为36平方厘米.E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分的面积是多少, 中点(则阴影部分的面积是多少平方厘米, 10 六年级奥数-新 分析:连结FC， 例6、如图，在平行四边形ABCD中，OE:OB=1:3，三角形AOB的面积是30平方厘米。求阴影部分面积。 例7、如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH。如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米, 分析:连接DB、AC，求出三角形FBE=三角形ABC×6，三角形HDG=三角形CDA ×6，可得到三角形FBE+三角形HDG=三角形ABC×6+三角形CDA ×6=四边形ABCD的面积×6。 例8、如图，长方形ABCD中，AD=5厘米，CD=6厘米，E在AB的延长线上，ED交CB于F，且三角形CEF的面积为6平方厘米，求三角形EFB的面积。 分析:连接DB，通过条件可得到两个三角形的面积关系，进而得到边BF与CF的关系。 11 六年级奥数-新 例9、如图，一张长方形ABCD的纸折成下图，E恰好是AD边的中点，三角形AEF的面积是12平方厘米，三角形EDC的面积是36平方厘米。问长方形ABCD的面积是多少平方厘米, 练习: 1、如图，ABCD是直角梯形，AD=5厘米，DC=3厘米，三角形DOC的面积是1.5平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米, 2、如图，BD=2AB，CE=1/3AE，已知三角形ABC的面积是48平方厘米，求三角形ADE的面积。 3、已知AE=3EB，三角形EBC的面积为6平方厘米，求长方形ABCD的面积。 12 六年级奥数-新 4、如图:在正方形ABCD中，AE= 1/2EF，F为CD上的一点，DF=3/5CD。正方形ABCD的面积为10平方厘米。求四边形EFBC的面积。 5、一张长方形ABCD的纸折成如右图，E恰好是AD边的中点，三角形AEF面积是3.5平方厘米，三角形EDC的面积是10.5平方厘米，问长方形ABCD的面积是多少, 6、在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD(阴影部分)的面积. 7、如图，在?ABC中，DC=3BD，DE=EA，若?ABC面积是2平方厘米，则阴影部分的面积是多少,(提示:连结FD) 13 六年级奥数-新 8、如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=8厘米，四边形EFHG的面积是3平方厘米，阴影部分的面积和是多少平方厘米, 9、在图2,21中三角形ABC的各边上，分别取AD、BE、CF各等于AB、BC、CA长的三分之一，如果三角形DEF的面积为2平方厘米，求三角形ABC的面积是多少, 14 六年级奥数-新 六年级希望杯模拟试题(1) ，1、计算:= 。 4.8，17.4，6.25,37.5，0.174，5.3 12123.4512345678121112，，，，，，，，，，，，，，，，，？，，，，？2已知一串分数: 3366666999999991212121515～其中第2011个分数是 。 3、某些数除以11余上～除以13余3～除以15余13～那么这些数中最小的数是 。 4、已知:则x= 。 4、有4个不同的自然数a～b～c～d～而且O 英语 关于好奇心的名言警句英语高中英语词汇下载高中英语词汇 下载英语衡水体下载小学英语关于形容词和副词的题 单词“'hello”是由三个不同的字母h,e,o和两个相同的字母l组成的～但不记得排列顺序～则小宝可能出现的拼写错误共有 种。 8、-批树苗～如果让男女生一起栽～平均每人需栽6棵。如果只让女生栽～平均每人需栽10棵。若只让男生栽～平均每人需栽 棵。 9、将1，9这九个数字分别填入下列算式中的口中～使等式成立:(每个数字只能用一次) 111110、 10减去它的后～再减去剩下的～再减去剩下的～„～当最后减去剩下的23410后～剩下的数是 。 11、已知一个五位数la75b能被72整除～则这个五位数是 。 12、将一个数的所有的约数两两求和～在所有的和中～若最小的是4～最大的是180～则这个数是 。 16 六年级奥数-新 六年级希望杯模拟试题(2) 1、今年～张老师与他的三个学生的年龄和为76岁～且三个学生的年龄出为5:5:6。六年后张老师的年龄和三个学生的年龄之和相等。今年三个学生中年龄最大的是 岁。 32、甲、乙、丙三杯盐水的浓度分别为38%,87.5%和。已知三杯盐水共2004 克～其中甲与乙丙两杯盐水的质量和相等。三杯盐水混合后～盐水的浓度变为60%～那么～丙杯中有 盐水 克。 3、某建筑公司2010年元月1日签定了某公路修筑工程 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 ～限定2010年12月31日完工～结果92名工人上半年,即从元月2日到6月30日,只完成了 2工程的。如果照此速度要在限期内全部完工～下半年,从7月1日到12月5 31日,应增加 名工人。 4、某商场销售MP4～去年按定价的90%出售～能获得20%的利润。今年由于进价降低～按去年定价的80%出售～能获得25%的利润。今年进价是去年进价的 % ( 5、狐狸、小熊、小鹿、小猴正在分它们得到的一千克饼。怎样分好呢,狡猾 17 六年级奥数-新 的狐狸说:’‘‘饼不多～我少分一点吧:先把饼的2 0%给我～～小猴从我分剩的饼中分25%～小鹿从小猴分剩的饼中分30%～小熊再从小鹿分剩的饼中分35%～最后剩下的一点点给我～怎么样,”大家觉得狐狸分得最少～就同意了。可最后发现狐狸分得的饼最多～狐狸共分得到 千克饼。 6、一项工程～第一天甲做～第二天乙做～第三天甲做～第四天乙做～这样交替轮流做～那么恰好用整数天完工,如果第一天乙做～第二天甲做～第三天乙做～第四天甲做～这样交替轮流做:那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独完成这项工程需要20天～则甲单独完成这项工程需要 天。 7、如图3～已知正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是8厘米和6厘米～那么阴影部分的面积是 平方厘米。 8、如图4所示的两个同心圆的半径分别为R和r～R和r都是自然数。若圆环,阴影部分,的面积是493π～则R-r= 。 9、 -个大正方体～表面全涂上红色后～被分割成若干个体积都等于1的小正 18 六年级奥数-新 方体。如果在这些小正方体中，六个面都没有涂红色的小正方体的个数占全部 8小正方体个数的～那么大正方体的边长是 。 27 10、一个底面半径是10厘米～高30厘米的圆柱形容器中～水深8厘米～要在容器中放入长和宽都是8厘米～高是15厘米的长方体状的铁块～铁块竖放在水中～那么水面上升 厘米,π可取3.11 ) 。 11、沪宁高铁通车后,一列动车早晨8时从南京开往上海～途中停靠5个车站～每站各停车2分钟。8时25分一列高速列车也从南京开往上海～途中不停车～ 1高速列车的速度比动车快,结果两车同时到达上海。高速列车从南京开到上5 海用时 分钟。 12、某次考试共有9道题～做对l, 9题的人数分别占参加考试人数的82%～65%～92%～93%～68%～98%～70%～60%～72%。如果做对5道或5道以上为及格～那么这次考试的及格率至少是 。 六年级希望杯模拟试题(3) 1、一项工程先由甲单独做18天～再由乙接着单独做8天可以完成,若甲乙二人合作～12天可以完成。现甲先单独做6天～然后由乙接着做完余下的工程～则乙需要做 天。 2、某公司针对A，B，C三种岗位招聘了35人～其中只能上B岗位的人数等于 19 六年级奥数-新 只能上C岗位人数的2倍。而只能上A岗位的人数比能兼职别的岗位的人多1人。在只能上一个岗位的人群中～有一半不能上A岗位,则招聘的35人中能兼职别的岗位的有 人。 3、张家镇中心小学距离县城48千米～其中一部分是上坡路～其余是下坡路。张校长骑自行车从学校到县城～去时用4.2小时～返回时用了3.8小时。已知张校长骑自行车上坡每小时行10千米～则他骑自行车下坡每小时行 千米。 4、甲、乙、丙三人在A、B两地植树～A地要植528棵～B地要植504棵。己知甲、乙、丙每天分别植树24,30～32棵～甲在A地植树～丙在B地植树～乙先在A地植树～然后转到B地植树。两地同时开始同时结束～乙应在开始后第 天从A地转到B地。 5、有三块草地～面积分别是5～l5～25亩。草地上的草一样厚～而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天～则第三块草地可供 头牛吃60天。 6、一辆货车出发一段时间后，一辆客车才从同一出发点出发去追赶～客车用18分钟追上货车。已知客车追上货车前6分钟两车相距2千米～追上后客车立即掉头往回走～6分钟后两车相距12千米～当客车回到出发点后又去追赶货车。客车从第一次追上货车到第二 20 六年级奥数-新 次追上货车一共经过 小时。 7、用红、黄、蓝三种颜色把图11中的8个小圆圈涂上颜色～每个圆圈只涂一种颜色～并且有连线的两个圆圈不能同色～那么～不同的涂法有 种。 ‘ 8、用甲、乙、丙三个水管往蓄水池中注水。若只开甲、丙两管，8小时可注满水池;若只开乙、丙两管,10小时可注满水池。如果甲管每分钟前注水量是乙管每分钟注水量的2倍，则同时打开甲、乙、丙三个水管，经 小时可注满蓄水池。 9、小赵、小钱、小孙三人沿湖边练习跑步。三人同时从湖边某一点出发～小 1钱、小孙二人同向～1小赵与小钱、～小孙反向。在小赵第一次遇到小钱后14 3分钟第一次遇到小孙,再过3分钟第二次遇到小钱。已知小赵的速度与小钱4 的速度的比是3:2～湖的周长为2000米。那么～小孙沿湖边跑一圈需要 分钟。 21 六年级奥数-新 10、某玩具城有一楼梯～大约有几十级～但肯定不到一百级。四位小朋友阿克赛、巴顿、克林、杜邦一起玩游戏。游戏开始后，若同一级台阶被踩四下～则台阶呈红色,踩三下～则呈黄色,踩二下～则呈绿色,踩一下～则呈蓝色。若四人下楼梯时～阿克赛一步下2级台阶～巴顿一步下3级台阶～克林一步下4级台阶～而杜邦的本事最大～竟然一步能下5级台阶。下来后发现～呈红色的台阶仅在最高处和最低处。现在～楼梯上呈蓝色的台阶有 级。 11、在一个圆柱形容器内放有一个长方体铁块。现打开水龙头往容器中灌水。5分钟时水面恰好没过长方体的顶面。又过10分钟(水刚好灌满容器。已知容器的高为30厘米～长方体的高为20厘米(则长方体的底面面积和容器底面面积之比为 。 12、甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装～乙购进的套数比甲少1～(而甲、乙分别按获得75%和80%的利润定价出售。两人都全部售完后～甲8 比乙多获得一部分利润～这部分利润又恰好够他再购进这种时装4套～甲原来购进这种时装 套。 六年级希望杯模拟试题(1) 1、一辆汽车从甲地开往乙地～如果将车速提高20%～可比原 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 提前一小时到达,如果以原速行驶200千米～再将车速提高25%～则可提前12分钟到达～由此可知～甲乙两地相距 千米。 22 六年级奥数-新 2、修一条水渠～单独修～甲队需要20天完成～乙队需要30天完成。如果两队合作～由于彼此施工有影响～他们的工作效率就要降低～甲队的工作效率变为原来的五分之四～乙队工作效率只有原来的十分之丸。现在计划16天修完这条水渠～县要求两队合作的天数尽可能少～那么两队要合作几天, 3、一个读书小组共有六位同学～分别姓赵～钱～孙～李～周～吴。其中有六本书～书名分别是A～B～。C～D～E～F～他们每人至少读过其中的一本书。已知赵～钱～孙～李～周分别读过其中的2～2～4～3～5本书，而书A～B～C～D.～E分别被小组中的1～4～2～2～2位同学读过。那么吴同学读过几本书,书F被小组中的几位同学读过, 4、甲盒中有2011枚白棋子和2012枚黑棋子～乙盒中有足够多的黑棋子。现在每次从甲盒中任取2枚棋子放在外面。如果被取出的2枚棋子是同颜色的～就从乙盒中取1枚黑棋子放入甲盒中,如果取出的2枚棋子不是同色的～便将那枚白棋子再放回到甲盒中去。这样经过4021次取、放之后～甲盒中还剩下几枚棋子,它们是什么颜色, 5、某工程～由甲、乙两队承包～12天可以完成～需支付18000元,由乙、丙两队承包～15天可以完成～需支付15000元,由甲、丙两队承包～18天可以完成～需支付12000元。在保证30天内完成的前提下～选择哪个队单独承包费用最少, 23 六年级奥数-新 6、用手洗衣服时要打好肥皂～揉搓得很充分了～再拧一拧～当然不可能全拧干～假设使劲拧干后，衣服上留有1千克带污物的水。现在有清水18千克～假设每次用来漂洗的水都用整千克数,假设每次漂洗结束时:～污物能均匀分布在水中,问: (1)如果分成2次漂洗后～污物的残留量至少是漂洗前的几分之?, 1,2)要使污物的残留量小于漂洗前的～至少要漂洗几次,请给出符合条件300 的一种漂洗 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 和理由。 7、如图12～小刚在圆周上放了1枚黑子和2010枚白子～从黑子开始～按顺时针方向～每隔一枚～取走一枚～即留下奇数号棋子～取走偶数号棋子～若黑子初始位置是第2011号～则最后剩下的棋子最初是第多少号, 8、某班一次考试有52人参加～共有5道题～每道题做错的人数如右表所示～又知道每人至少做对一道题～仅做对一道题的有7人～5道题全做对的有6人～仅做对2道题和仅做对弓道题的人数一样多～那么做对4道题的有 人。 l 题号 ' 1 2 3 4 5 做错的人4 6 10 '239 数 0 9、在1～2～3～4～…～这100个数中取出两个数～使这两个数的和能被4整除～最多有 种不同的取法。 24 六年级奥数-新 10、在图10的乘法算式中～每个口表示一个数字～～则计算所得的乘积是 。 11、某些数除以11余上～除以13余3～除以15余13～那么这些数中最小的数是 。 22212、在自然数中～1=1～2=4～3=9～„～数1～4～9～„称为完全平方数。若自然数是一个完全平方数～则这样的N有 个。 25