单位球面中紧致超曲面的曲率结构与拓扑性质

单位球面中紧致超曲面的曲率结构与拓扑性质 单位球面中紧致超曲面的曲率结构与拓扑 性质 第36卷第6期 2007年12月 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 进展 ADVANCESINMATHEMATICS Vo1.36.NO.6 Dec.,2007 单位球面中紧致超曲面 的曲率结构与拓扑性质 舒世昌.朱天民. (1.成阳师范学院数学系,咸阳,陕西,712000;2.渭南师范学院数学系,渭南,陕西,714000) 摘要:设M是单位球面S(1)中的礼维(礼3)紧致连通定向超曲面,本文研究这种超 曲面的曲率结构与拓扑性质,利用Lawson和Simons关于稳定南维流的不存在性与同调群消失定 理,得到了曲率与拓扑的一个关系定理,从而对ChengQ.M.所提出的一个分类问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 从拓扑角度给 出了一个肯定回答,并且部分肯定回答了Cheng的另一个问题. 关键词:单位球面;超曲面;曲率结构;拓扑;同胚 MR(1991)主题分类:53C42;53C20/中图分类号:0186.12 文献标识码:A文章编号:1000—0917(2007)06—0728—09 1引言与定理 设是单位球面"(1)中的n维紧致超曲面,如果M的数量曲率n(扎一1)r是常数且 r21,s.Y.Cheng和Yau[j以及LiH.Z.【j分别利用M的截面曲率和第二基本形式模长平方所 满足的某些Pinching条件得到了两个重要的分类定理.可以看出,r?1在上述两个 分类定理的 证明中是必不可少的一个条件.然而对0<c<1,考虑标准浸入S--1(c)cRn,sl(_ 二二_)c R.,并做黎曼乘积浸入s(_二二_)×S,~-1(c)R×Rn,我们得到了S叶(1)中的一个数量 曲率n(n一1)r为常数的紧致超曲面s(_二_)×s一(c),且r=.n-2>1一要(参见[3]).因 此,可以看出在文献[1]和[2]的分类定理之外,还存在一些黎曼乘积s(_二=_)×Srt-1(c).由 于s(,,/1一C2)×S一(c)具有两个不同的主曲率,且数量曲率n(n一1)r为常数以及r>1一, 因此,Cheng[3J提出了下面一个有趣的问题: 问题1设是单位球面s叶(1)中具常数量曲率n(n一1)r的n维紧致超曲面,如果 r>1一罢,且M的第二基本形式模长平方S(n一1)业三+兰i寻.是否M等距于一 个全脐超曲面或M等距于黎曼乘积s(r=)×s一(c)?这里C2=—n--2,. 我们知道Clifford环面s(,)×s一(,/)是?(1)中紧致的极小超曲面,且r=n-2 和S=(n一1)n(r一--12+2+j寻:n.因此Cheng[3j又提出了如下的一个问题: 问题2设M是单位球面sn+(1)中具常数量曲率n(n一1)r(r=n=T-2)的n维紧致超曲 面,如果仅有两个不同主曲率且其中之一的重数是1重的,是否一定等距于Clifford环 面s(,//)×Sn-1(,//)? 收稿日期:2005—11—22 基金项目:陕两省自然科学基金资助项目(No.2003A02)和陕西省教育厅自然科学基金资助项目(No.03JK215) 一 mall:牛xysxsscYanoo.COrn.cn 6期舒世昌,朱天民:单位球面中紧致超曲面的曲率结构与拓扑性质729 Cheng在[3]中指出问题2是开的.对问题1,当r:n-2时,[3】中给出了一个肯定回 答,但对一般情况,问题1仍然是开的.最近Cheng[]在假定M具有无限基本群这个拓扑条 件下,对上述问题给出了一个部分肯定回答.Chenglj得到: 定理A设M是单位球面s+(1)中具无限基本群且数量曲率为n(n一1)r的n维紧致 超曲面,如果r嚣号且Sn一1).n—r--=.12)+2+而n可--2,则M等距于黎曼乘积S1(r=)× Sn-1(c),这里c.:n--2. 定理B设M是单位球面s+(1)中具无限基本群的n维紧致超曲面,如果M的截面 曲率非负,则等距于黎曼乘积S(,//1一c.)×Sn--1(c),这里c.=n--2. 显然,定理A和定理B只对具无限基本群的超曲面M进行了分类,若M的基本群有限 时,M的分类如何,其拓扑性质如何,仍然是一个有趣的问题. 本文试图继续研究上述问题,我们利用Lawson和Simons关于稳定k维流的不存在性的一 个同调群消失定理证明了若M的基本群有限时,M微分同胚于一个球面空间型或M同胚于 一 个球面.从而给出问题1一个拓扑回答.对于问题2,我们证得问题2为真只要M的第二基 本形式是平行的,我们得到: 定理1设M是单位球面sn+(1)中的数量曲率为n(n—1)r的n(n3)维紧致连通定向 超曲面,如果r署且M的第二基本形式模长平方S(佗一1)n(r… - 1)+2+i,则(1) M的基本群有限,且n=3时,M微分同胚于一个球面空间型,n4时M同胚于一个球 面;或(2)M等距于黎曼乘积s()×Sn-1(c).这里c.:—n--2.. 定理2设M是单位球面s"+(1)中的n维紧致超曲面,如果M仅有两个不同主曲率且 其中一个的重数是1重的及M的第二基本形式平行,则M一定等距于黎曼乘积s(,/1_=二—)× Sn-1(c).这里c.:百n--2. 注在定理1中,我们并没有假定M的数量曲率n(n一1)r是常数.因此定理1较问题1 的结论更具有一般性.在定理2中,我们没有对数量曲率佗(他一1)r给予任何限制,只假定M 具有平行的第二基本形式,因此定理2也具有更_般的意义. 由定理2可得下列推论: 推论设M是单位球面"(1)中具常数量曲率n(n,1)r(r:n--2)的n维紧致超 曲面,如果M仅有两个不同主曲率,其中一个主曲率是1重的,则M等距于Clifford环面 s(?)×(?),只要M的第二基本形式是平行的. 可以看出,推论部分肯定回答了Cheng[3]所提出的问题2. 2公式与引理 设M是单位球面+(1)中的n维超曲面,在+(1)上选取局部规范正交标架场e,…, e+,使限制在M上,e,…,e张成M的切空间.设1,…,+是对偶标架场.约定指 标范围1A,B,C,…n+1;1i,J,k,…n.+(1)的结构方程为 A:一 ?O)ABAo)B,O)AB+O)BA=0,(2.1)B AB:一 ?O)ACAO)CB+?RABc.c八.,GC,D RABCD:(6AC6BD一6AD6BC), (2.2) (2.3) 730数学进展 这里RABCD是+(1)的曲率张量的分量,对于M我们有 由Cartan引理 n+1=0 … ?hijwj,^i J (2.4) (2.5) ^te+1和nH=?ihii,M的结构方程 M的第二基本形式和平均曲率分别记为B=?一 ?OJikA+0,(2.6) =一 ?^岫+寺?RijklOJkA031, .1 Rijkl(如l一l如)+(hikhjt一^"), 这里川是M的黎曼曲率张量的分量.由高斯公式有 n(n一1)rn(n一1)+佗H一, (2.7) (2.8) (2.9) 这里n(n一1)r是M的数量曲率,S?i, j^是M的第二基本形式模长平方.Codazzi方 程与Ricci恒等式分别为 hijk=hikj, hijkt—hijlk?^川+?^伽删 mm 这里^if的一阶和二阶共变导数定义如下: ?hijkwk=d^一?h幻一?hjkwki, ?h~jktwt=dhijk一?h~jlwtk一?hilkwlj一?htjkwti llll (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) 我们需要下列引理 引理1【)设:(a/j)是对称的n×n矩阵,n2,,J:1,2,…,n令A1=trA,A2= ?i,J(aij),则 ?(n)一1(n)嘉{佗(佗一1)2+(佗一2)fIv/nA2-(A1)2.一2(佗一1)(1)),(2_14) 等号成立当且仅当n2或者n>2时(n)具有形式 A1一n1)a,一(一/(2.15) 6期舒世昌,朱天民:单位球面中紧致超曲面的曲率结构与拓扑性质731 其中(na—A1)A10. 引理2[6j如果一个紧致黎曼流形M的Ricci曲率非负且在某些点处恒正,则这个 黎曼流 形存在一个度量使Ricci曲率在M上恒为正. 我们证明下面的一个代数引理. 引理3设A:(a)是对称的几x几矩阵,正整数P,q满足P+q=几,P,q2.设 ?P:1a.+?p+1art=A1,?1aii)=A2,则 (壹‰)(‰)嘉几五一2pq(A1gll厕.(2) 因此 证明由Cauchy-Schwarz不等式 由(2.17)有 : 旦f,Pq (~ass,)2_A()P一五 p i Al -- ,. ~/n- 42-(A1)2'P .+,(2.18) 再由(2.17)有 ()()n五nA(), 由(2.18)和(2.19)知 (.E.ass-A1()丝n五,+c坍lAl厕, 即引理3中(2.16)成立. 引理4It]设M是单位球面S"+(1)的佗维紧致子流形,B是M的第二基本形式,P,q 是满足P+q=n,P,q>1的正整数,如果对M上任何点和M的任何正交标架场{e,e) 有 B(e.,e)}一(e.,e),B(et,e,)))<Pq,(2.20) 则(M,z):日q(M,z):0,这里(M,z) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示M的s维具整系数的同调群. 注引理4对+(1)中任意余维数的子流形成立,显然当=1时对超曲面也是成立 \,,/ 毗 ? /,,\ l—g, 一.1 2 l—g 0j_ ? \,-?\‰l—p,1一?硝2/,?一,/"4g一 + 2 郎 0? I1 , ?科 ? 732数学进展36卷 3定理的证明 定理1的证明设是M上任一点的任意单位切向量,方向的Ricci曲率记为Ric(v,)? 选取局部正交标架场e一,e,使e:,由高斯公式(2.8)有 Ric():(他一1)+nHh一?^.(3?1) 扛:l 由引理l,若令.厂是满足.厂=S—nH的非负函数,则 唧,一.,]?(3_2) 令 Pg(f)…nHz一tStf—f.3,=他+一一.(3 由(2.9)有,=S—nH:【s一佗(r,1)1,再由(2.9),PH(f)可写为 ():n+付(r,1),n 他 - 2is一 他(r一1)卜n-2元_1)(r,1)+s]【s,n(T—1)](34) Ric(u,u)n-1P .(s)(3.5) 当S(他一1~,n(r-一 1)+2+丽n--2时,我们知道其等价于 {他r,n-2扎)+))_(3.6) 因为rrt--2,故r一1一,n(r,1)+2n--2,所以 n+n(r—1)一【s一礼(r,1)1 n+2(n-1)(r一n-2+1 :n+2(他,1)(r,1),n-1一 1)+21- :— n2-- 2(— n-1)+f他 佗 >—n2- 2(— n-1)一 l一>一——l一一 他 )(r-1)一 :o. 他n,2 (3.7) 显然,由(2.9)和f2=-~-'[s一他(r一1)】有礼(n一1)(r—1)+sO,s—n—1)0?因此 n-2 ,他(1)J之n-2lj(r,1)+sJ[s—n(r,1)J,(3.8) 即 Pr(S)0(3.9) 6期舒世昌,朱天民:单位球面中紧致超曲面的曲率结构与拓扑性质733 因此由(3.5)有Ric(v,V)0.当Ric(v,)0时,我们有下列四种情形: (i)对M上每一点及该点的任意单位切向量V,Ric(v,V)>0;或 (ii)对M上某些点及这些点的任意单位切向量V,Ric(v,V)>0;或 (iii)对M上每一点P,存在单位切向量V?M使得Ric(v,V)=0:或 (iv)对M上每一点及该点的任意单位切向量V,Ric(v,V)兰0. (1),若(i)或(ii)情形成立,此时可证M总是正Ricci曲率超曲面,因此由Myers的一个 经典定理知M的基本群有限.事实上,若情形(i)成立,结论显然为真;若情形(ii)成立,即 对M上某些点Ric(v,V)>0.由引理2知在M上存在一个度量,使得Ricci曲率在M上恒为 正,因此,由Myers定理,M的基本群也是有限的. 当M的基本群有限时,若礼:3,定理1的证明可直接由如下的Hamilton定理IS】推出. Hamilton定理称一个紧致连通的具正Ricci曲率的3维黎曼流形微分同胚于一个球面空间型. 我们考虑当礼4的情形.对于满足条件P-4-q=礼,P,q>1的任意正整数,令 T=tr(h~j)=?+?=?(hii).,=?(^).. s=lt=pq-1i 因为P+q=札,P,q>1,故易得Pq=p(n—P):n+(P一1)n—p2Tt+(p一1)(p+2)一p2= 礼+一2)礼.因此一 2 薹t-----p.c,.+【2喜.c.+c3_1.s=l+ls=lt=p+l 利用引理3,(3.10)及仿照[9]中关于子流形情形的计算,对于超曲面我们有 ??(2lB(es~et)l.一(B(e,),B(et~et))) s=lt=p+1 = 2??(hst).一??" s=lt~p+l=lt=p+l = 2??().+(?)一(?) 2+,T2+ll(3.11) 一 2+倜l,//礼一. pqI一2nil2+坚三IHIx/nS-n2H2l70L,/qJ <2礼H.+1日I厕] :一 [礼-t-ItH2一—VIt(It三l?l,,,.]+pq,礼L一1)j 上式中最后一个严格不等式成立是因为当P?q时lP—ql=P—q:礼一2q<礼一2,当P<q 时,也有lP—ql:q—P=礼一2p<礼一2,且可>的缘故. 734数学进展 出(3.3)或(3.4).(3.11)可写为 ??(2t)f.,(B(e.),口(et)))(_PqP~(S)+Pq.(3.12)s--l仁p十1, 当S(%,1)杀+可而n-2时,可知(3.9)成立,故由(3.12) P他 ??(21B(et)}一(8(e),B(et)))<Pq.(3.13) 由引理4,对一切p,q>l,P+q:n.有(M,Z)=Hq(M,Z)=0.仿照(10]中的方法, 因为一2(M,Z)=0,由万有系数定理,日一(M,z)没有任何挠群,再由Poincare对偶定 理(M,z)也无挠群.由假设,因为M的基本群不1(M)有限,因此日1(M,Z)=0,所以M 是一个同调球.上述讨论可以应用到M的万有覆盖M.由于M是一个单连通的同调球,即 不1(M)=0,因此它还足一个同伦球.由已证明了的广义Poincare猜想(Smalen5,Freedman n=4),M同胚于一个球面,因此我们得到了一个被M覆盖的同伦球,再由D.Sjerve~?】的一 个覆盖定理有不1(M)=0,因此M同胚于一个球面. (2)若情形(iii)成立,l~px,fM上每一点P,存在一个单位切向量"?M使得Ric(v,")=0. 由(3.5)有()0,再由(3.9)有()0.故此时()=0,即(.厂)=0.因此, (3.2)以及引理l的(2.14)均成为等式.由于rt3,因此由引理l中(2.14)等号成立的条 件,当且仅当hll=h22=…=h一1一1,hijO(i?歹),且h=nH一(17,一1)h11.由于 Pr(s):0等价于S=(rt一1)n~r71)+2+_二,我们可证此时M不是全脐超曲面.事实 上,全脐当且仅当=—n(r—1)]=0,即S=n(r—1).但当rn-2时,总 有S=(n—1)+n而--2>(n—1)业>n(r—1),故M不能是全脐的.因此 h.几?h这说明M是仅有两个不同主曲率的超曲面,且其中一个主曲率是l重的.不失一 般性,令A=A1=…=A一i,=A,由(3.1)有 Ric(v,u)=(rt—1)+(1+?-?+An-1+An)一=(n—1)(1+)=0. 因此l+=0.再由(2.9)有 :一 一一下A4) (3.14)— 因此A.=,.=而n-2.同(4]中证法一样.我们考虑对应于主曲率A的主曲率向量 空间的相应分布的积分子流形,由于A的重数大于l,我们知道主曲率A在这个积分子流形上 是常数[12j.因此,由A.=业兰和.:n=-可2,我们可得数量曲率n(n—1)r和主曲率 均为常数.所以,M是等参的,又S=(n一1,/n(r-, 1)+2+而n-2. 故M等距于黎曼乘积 (廊)×S(c).其中c.:百n-2. (3)若情形(iv)成立,即对M上的一切点Ric(v,u)三0.显然,此时有数量曲率n(n一1)r三0, 即r三0.这与假设r2n-2矛盾,因此情形(iv)是不可能发生的.综上所述,定理1证毕. 定理2的证明因为M仅有两个不同主曲率,且其中之一的重数是1重的,不失一般陛, 令A:A1:…=An-1,=A.由(2.9)我们有(3.14)成立.另一方面,因为M的第二基本 形式平行,即 ^巧凫:0.(3.151 舒世昌,朱天民:单位球面中紧致超曲面的曲率结构与拓扑性质735 选取局部正交标架场使得hq:t订.由(2.6)第二式有矗:0,在(2.12)牛令i:J,由(3.15) 和(2.12)我们有0=dAi一2?khikcoki:dAi,因此九是常数.再由(2.12)得 因此,当?时, 0:~iOJij+Aj=(—J) 由(2.7)和(3.17),当t?时 :0 .=一Eco~kA+1 (3.16) (3.17) (3.18) 0,则由(3.16)九=%:,这与九?矛盾.所以?.iRijklWkA 若对某一奄,?0,钉? = 0,因此,当t?时 Ri=0 由(3.19)及高斯公式(2.8)得1+九:0(九?).即1+:0.再结合(3.14) A=杀,=而n--2.因此我们有S=(扎一1)+=(扎,1)杀+n--2, 用与定理1末尾相同的证明方法可得M等距于黎曼乘积S1(_二=)×Sn-1(c),c.=n:-2.. 理2证毕. 参考文献 [1]1ChengS.Y.andYau,S.T.,Hypersurfaceswithconstantscalarcurvature,Math.Ann.,197 7,225:195—204. [2]2LiH.Z.,Hypersurfaceswithconstantscalarcurvatureinspaceforms,Math.Ann.,1996,3 05:665—672. 【3jCher~gQ.M.,HypersurfacesinaunitsphereS叶(1)withconstantscalarcurvature,J.ofLondonMath. 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(1.Dept.oIMath.,XianyangTeachersUniversity,XianyangShaan~712000,P.R.China;2 Dept.oIMath.,WeinanTeachers'University,Weinan,Shaanxi,71400o,P.R.China) Abstract:LetMben—dimensionalcompactconnectedorientedhypersurfacesinaunit sphereS(1).Thispaperstudiesthecurvaturestructureandtopologicalpropertyofthese hypersurfaces.ByingtheLawson—Simonsformulaforthenonexistenceofstable后一 currents. whichenablesUStoeliminatethehomologygroupsweobtainsomethoremsoncurvatureand thetopology,whichgiveatopologicalanswertotheChengQ.M.'Sproblems. Keywords:unitsphere;hypersurface;curvaturestructure;topology;homeomorphic