小学数学“常见数量关系与问题解决”的教学研究与案例评析

小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 数学“常见数量关系与问题解决”的教学研究与案例评析 小学数学“常见数量关系与问题解决”的教学研究与案例评析 【课程简介】 《小学数学“常见数量关系与问题解决”的教学研究与案例评析》这门课程，针对“问题解决”这个核心词，重点帮助教师厘清了一些容易混淆基本概念。本课程主要由四个方面的内容:首先针对“问题、数学问题、问题解决”等基本概念进行辨析，同时对比了“问题解决与应用题”、“问题解决与应用问题”等概念的相同与不同之处，以及介绍了问题解决的基本模式，我国《数学课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ( 2011 版)》中对问题解决的相关要求等，希望能够首先帮助教师建立一个正确的关于问题解决的基本观念。第二部分的内容重在分析小学数学问题解决的教育价值，以加强教师对问题解决教学的重视。第三部分按照“基本数量关系”和“类型问题中的数量关系”两个线索梳理了小学常见的一些数量关系。第四部分在按照“应用问题”和“综合与实践”两个线索，列举了一些基本的教学策略，希望对教师的问题解决教学有所启示。另外，本课程中还重点分析了两个问题解决教学实例，一节课是指向基本数量关系的《买新书》，一节课是指向问题解决策略的《鸡兔同笼》，希望通过对这两个课例的分析，能帮助教师进一步明确问题解决教学的重点及具体的教学方法。 【学习要求】 希望各位教师在学习本门课程的时候，先浏览并思考下面这些问题，并在学习结束后尝试着回答这些问题。 1. 在学习这门课程之前，我怎样理解“问题解决”,现在我怎样理解, 2. 问题解决在小学数学课程与教学中的地位和作用的怎样的,《数学课程标准》中如何对问题解决是如何描述或规定的, 3. 你怎样理解数量关系,你能列举出多少小学数学教学中涉及到的数量关系,你觉得哪些个数量关系是最基本的, 4. 你是否有有过过去教学“算数应用题”的经验，你觉得过去的教学有哪些做法是可以在问题解决教学中值得继续使用的, 5. 在教学中，学生解决问题的思维过程和结果你更关注哪个,你是通过哪些方法来关注学生的解决问题思维过程的, 6. 回顾自己是问题解决教学过程，你最大的困惑是什么,或教学中最大的问题是什么,本门课程中所提出的教学策略是否对你有所启发, 在思考上述问题时，除了结合讲座中的观点和提供的教学策略，更希望各位教师能紧密联系自己的实际教学，以加深对问题解决课程理念、教材编写、教学策略的认识。 小学数学“常见数量关系与问题解决”的教学研究与案例评析 王艳玲(东北师大附小、高级教师) 在数学学习中，问题解决不仅能够帮助学生巩固、拓展所学的知识和技能，而且也有利于发展学生的实践能力、激发学生的探究和创新精神。从 1949 年以来，我国大陆地区的小学数学课程一直把小学算术应用题的教学放在重要位置上。但在 20 世纪中叶以后，小学数学应用题教学发生了重大变化。1980 年，美国提出“问题解决( problem solving )”的教学模式。要求将纯粹数学和应用数学的问题统一起来，形成统一的“问题解决”教学模式，认为解决非常 规的数学问题，培育创新精神，是数学教育的主要追求，应贯穿到数学教育的每一个环节中。这种趋势影响了各国的数学教学，问题解决已被看做数学学习活动的核心。在 2001 年我国制定《数学课程标准(实验稿)》中，为了使培养学生解决问题能力落到实处，单独设立了解决问题这一目标维度，应用题不再成为独立的教学内容，解决问题的要求被贯穿在四个基本的内容领域中。在《数学课程标准( 2011 版)》中这个做法得到延续，并更加明晰。 一、一些基本的观点 1. 问题与数学问题 根据《心理学大辞典》，问题是指“在给定状态与目标状态之间存在某些障碍，需要加以克服的任务情境”。数学问题是指对人具有智力挑战特征的、没有现成方法、程序或算法可以解决的情境，或者说数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情境状态。数学问题有三个特别显著的特点:一是障碍性，二是可接受性，三是探究性。 2 (问题解决、应用题、应用问题 (1) 问题解决 数学问题一般分为两类，一类是常规的，即背景简单、条件明确、答案唯一、解决常见的问题，习题和考试中多半是这类题目。另一类是非常规的问题，这类问题设置的情景相对比较复杂、条件隐含、答案开放，没有现成的解法可以套用，常称为“具有挑战性”的问题。 而对于什么是问题解决，到现在没有统一的解释。但是无论如何问题解决从什么角度去理解，有一个观点比较一致:所谓“问题解决”，专指解决“非常贵 问题”。目的是为了培养学生的探究意识和创新精神。 ( 2 )问题解决与应用题 问题解决不等于应用题。问题解决和应用题的区别如下:问题解决是学习的开始，不是单纯的应用;问题解决强调与现实紧密联系，有开放性;问题解决的形式:提出问题、体验、建构、形成创新意识;问题解决有交流和反思的空间。而解应用题的学习的终点，应用题人为编造的痕迹较为明显，是封闭的;应用题的教学形式:找类型，记结语，套公式，形成“条件反射”;“条件 + 体型 = 问题答案”构成了应用题的因素，学生在解题过程中无需反思或较少反思。 ( 3 )问题解决与应用问题 基于“问题解决”与“应用题”之间的“鸿沟”，有学者提出了“应用问题”的提法。与“问题解决”相比， 问题解决中的“问题”是更具有实际意义的问题，它与学生的实际生活密切相关，往往需要考虑现实生活中的诸多因素，具有综合性、开放性的特点。而应用问题中的“问题”，尽管提倡要符合学生实际，并力求具有一定的开放性，但总体上来说，问题已经经过了一定的简化，背景相对简单，其中蕴含的数量关系也往往是学生所熟悉的。因此学生所做的工作主要是分析出其中的数量关系，并联系所学的知识和方法加以解决。 3 (问题解决模式 ( 1 )波利亚数学问题解决四阶段模式 早在 1957 年，著名的数学教学家波利亚对数学问题解决的过程做了较为具体的分析和描述，他的研究构成了 20 世纪 80 年代以来数学问题解决研究的基础。波利亚把数学问题解决划分为如下四个阶段: 阶段一:理解问题。你在寻找什么,在该问题中有哪些信息已经给出,画出一个示意图。 阶段二:制定 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 。你知道类似的问题吗,你知道一个更容易的问题吗,你能重新表述该问题吗,尝试解决一个相关的问题，尝试解决问题的一部分。 阶段三:执行计划。执行解决的计划，检查每一步骤，你能够证明每一步都是正确的吗, 阶段四:回顾解答。检查算式和结果，你能用不同的方法得出答案吗,你能把这一结果用到另一个问题的解决上吗, ( 2 )新加坡小学数学问题解决四阶段模式 2000 年新加坡修订的《小学数学教学大纲》附录中给出了问题解决的基本模式，要求小学数学教师参照这一模式来实施问题解决的教学。该模式包含的问题解决的步骤是: 理解问题。包括:找出给出的信息;具体化这些信息;组织这些信息;连接这些信息。 设计计划(选择策略)。包括:描述、表达出它;运用图表和模型;做个系统的表格;寻找模式;退一步考虑;运用前后概念;猜测和检验;做个假设;换一种方式重述问题;简化问题;解决问题的一部分。 实施计划。包括:运用计算技能;运用几何技能;运用逻辑推理。 反思。包括:检验解答;改进所用方法;探寻其他方法;扩展该方法到其他问题上。 ( 3 )现代认知心理学中的问题解决模式 在现代认知心理学中，问题解决一直是一个异常活跃的研究领域，研究者提出的问题解决模式也层出不穷。概括起来，可以把数学问题解决相关的模式归纳为五个子过程: 发现问题——觉知问题的存在，其心理实质是察觉现有的状态与欲想的状态之间存在的差异。 界定和表征问题——确定地界定问题的性质、分析解决问题需要的条件以及已有条件、明确问题解决的最终目标等。 确定问题解决 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ——包括选择解题方法，确定具体的解题步骤这两个基本过程。 执行解题方案——将前面制定的解题策略与计划付诸实施，使问题达到目标状态。 评价问题解决的结果——主动对自己求解的过程和结果进行检验与评价，判断解题过程是否合理、结果是否正确。 4. 《数学课程标准( 2011 版)》中的问题解决 无论是 2001 年出版的《数学课程标准(实验稿)》，还是《数学课程标准( 2011 版)》中，都将问题解决作为贯穿我国数学课程的一条主线。 ( 1 )问题解决是理念 在《标准》中，将解决问题不仅仅看成是课程内容，更是一种贯穿始终的理念，鼓励学生体验从实际背景中抽象出数学问题——构建数学模型——求解模型——解释、应用和拓展的分析问题和解决问题的过程。 ( 2 )问题解决是目标 《数学课程标准( 2011 版)》中过程与方法目标分成:数学思考、问题解决。其中关于问题解决目标的具体描述如下: •初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。 •获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。 •学会与他人合作交流 •初步形成评价与反思的意识。 其中，创新意识和实践能力在《数学课程标准》的其他目标部分并没有出现，只是在问题解决的部分里出现。 ( 3 )问题解决是要求 《数学课程标准》中提到的“经历、体验、探索、尝试、表示、解释、反思„„”等动词，都伴随着问题解决，问题解决应渗透在每一个知识领域，渗透在数学教学的全过程中。 二、“问题解决”的教育价值 小学数学教学应该把培养学生解决问题能力作为重要任务，重视解决问题的价值。 1. 解决问题能力是学生数学素养的重要标志 PISA(经合组织进行的国际学生评价计划)对数学素养的解释是:“在当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的知 识，并理解数学在自然、社会生活中的地位的能力，做出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。数学素养包括若干运用数学能力的水平层次，从标准数学运算到数学思维能力和观察能力。它也要求学生理解和应用一定范围内的数学知识，例如:概率、变化率、增长率、空间与形状、定量推理、不定性和从属关系等。这些包括数学课程的特定范围，比如:算数、代数和几何。”在 PISA 设计的八个方面的数学素养中，至少有三个方面与解决问题能力有直接的关系。( 1 )数学思考。( 2 )建立模型。( 3 )提出问题和解决问题的技能。 2. 解决问题意识的提高使学生更能体会数学的价值 学生会从分析问题和解决问题的过程中，体会数学在现实中的应用，了解自己身边的数学问题，进而指导、理解和掌握数学知识能力的作用。有人把数学意识称之为“用数学家的眼光看世界”。别人可能根本不会注意到的东西，在他看来确实饶有趣味的数学。在别人看来并不是数学背景的事情，他们可以从中看出数学问题，并用数学的思考认识和分析这样的问题。数学教育的一个重要功能就在于培养学生的数学意识，是学生学会用数学的眼光看世界。 3. 促进对数学基本知识的理解和掌握 《数学课程标准》规定的数学学习的四个领域，尤其是前三个领域，对于具体的知识技能，每个领域有特定的学习内容，各自的目标与任务。但通过各个领域的学习，其在培养学生解决问题的意识与能力、培养学生的情感与态度等方面是一致的。在学习各个内容领域的过程中应当把问题解决当做重要的任务，同时，问题解决能力的提高也会促进学生对各个领域内容的理解和掌握。 4 (解决问题是发展学生的创新意识和实践能力的重要途径 数学问题的解决往往都不能直接依赖于已有的知识和方法，只有通过对已掌 握的知识和方法的重新组合并生成新的策略和方法才能实现。因此解决数学问题的过程又是一个创新的过程。这一过程促使学生寻求新的途径和方法，它不仅可以使学生获得初步的创新能力，而且可以让学生从小养成创新的意识和创新的思维习惯，为今后实现更高层次的创新奠定良好的基础。 三、“应用问题”中常见的数量关系分析 对数量关系的分析，指向于教材中的“应用问题”。 1. 基本的数量关系 ( 1 )四则运算: 加法:加数，加数,和 和,一个加数,另一个加数 减法:被减数,减数,差 被减数,差,减数 差，减数,被减数 乘法:因数 × 因数,积 积 ? 一个因数,另一个因数 除法:被除数 ? 除数,商 被除数 ? 商,除数 商 × 除数,被除数 ( 2 )运算定律: 加法交换律 a ， b , b ， a 加法结合律 a ， b ， c , (a ， b) ， c , a ， (b ， c) , (a ， c)+b 乘法交换律 ab , ba 乘法结合律 abc , (ab)c , a(bc) , (ac)b 乘法分配律 a(b ， c) , ab ， ac ( 3 )基本性质: 减法的运算性质: a , b , c , a , (b ， c) 除法的运算性质: a?b?c , a?(b×c) 商不变的性质: a?b , (a×x)?(b×x) , (a?x)?(b?x)(x?0) 分数的基本性质: 比的基本性质: a:b , (a×x):(b×x) , (a?x):(b?x)(x?0) 比例的基本性质:因为 a:b , c:d 所以 ad , bc 我国常规应用题的教学中，成绩一直都很好。但课程和教学往往集中在为了教学而教学上，在提出问题、发展问题、灵活地处理应用性问题上，比起欧美诸国的教学，还有很多不足。 2. 类型问题中的数量关系 除了一些基本的数量关系蕴含在数学学习的各部分内容之中，原来我们还惯常按照问题情境将问题分类开展教学，并进行专门的训练，强化这些类型问题的解题方法。但原来的课程和教学整体上较窄、较难、较偏。 以下是原有的课程中曾经出现过的数量关系:价格问题、行程问题、工程问题、利息问题、利润问题、折扣问题、百分数问题、产量问题、比例尺问题、分数问题。当然，有的教材还出现过植树、流水、盈亏、合倍、差倍、浓度、追及、平均数等问题类型。 就上面列出的数量关系来看，其实有很多本质上是相同的。在《数学课程标准( 2011 版)》修订过程中，明确了小学需要学习的两个基本数量关系:一个 是物理模型中的“路程、时间和速度”关系;一个是经济模型中的“总价、数量和单价”关系。这两个关系不仅仅在生活中有着广泛地应用，同时也是学生进一步学习(如学习微积分)的两个重要的基本模型。 四、教学策略 在实际教学中，教师们可以将问题解决作为数学课程的基本理念和要求，在教学时把握“应用问题”和“综合与实践”两个线索。“应用问题”重在对学生解决问题基本技能、基本数量关系、数学基本思想的认识，而“综合与实践”更多地指向非常规问题和开放性问题。 (一)“应用问题”教学策略 1 (关注对问题的设计 问题本身的设计对问题的解决有着至关重要的作用。一个有趣的、值得探究的问题不仅有助于激发学生的问题解决动机、学习兴趣，而且有助于学生获得良好的问题解决策略以及促进学生解决真实数学问题的能力。尽管教师所使用的教材中，绝大部分问题是教材编写者已经编好的，但这并不意味着教师不可以进行改造或重新编制问题。 2 (注重对于运算意义的理解 为了解决问题，学生需要首先学习在什么实际背景下应用四则运算来解决问题，即四则运算的实际背景或四则运算的意义。 ( 1 )理解运算的背景和意义 每种运算的本质意义，都产生于相对特定的实际背景，也运用于相对特定的 问题情境。确定“何种运算”的关键在于，两种数量的关联状态，“暗合”了哪种运算的“实际背景”。“以加法做合并或移入的模型;以减法做拿走、比较、移出或加法逆运算的模型;以乘法做大小的变化、交叉相乘或比率因子的使用模型;以除法做比、率、比率除法、大小变化除法或乘法的逆运算的模型”。(摘自詹姆斯? T ?费撰写《数量》一文)如“合并”“移入”，就是加法的实际背景。 学生在解决问题的过程中，要先在头脑中分析，这个情境对应了哪种运算，进而进行选择和运用。但由于现在教材的编写将运算的实际背景大多处理成“暗线”，所以需要教师对教材进行系统的梳理，找到实际背景，并不断扩充这条线索。 ( 2 )关注具体情境向运算意义的转化过程 以往我们在教学时往往采取“问题情境——问题类型——运算意义”的思路;这样容易出现概念化、思维模式固定化的问题。所以提倡“问题情境——经验、操作、画图——运算意义”的思路来进行教学，有助于学生更好地理解运算意义和问题实际意义。 ( 3 )鼓励学生建构自己对运算的理解 这里的总结和过去的“记关键词、套题型”是不一样的，不是要求用统一的程序化的语言来背诵运算意义。教师可以鼓励学生完成类似下面的任务，建构自己对于运算的理解。 ——举生活中不一样的例子，可以用加法、减法、乘法或除法来解决。 ——画图表示一个情境，可以用加法、减法、乘法或除法来解决 ——用自己的语言说说什么是加法、减法、乘法或除法 3. 关注对问题的表征和理解 “ 问题表征”是指解题者基于已有的知识经验，根据问题所提供的相关信息，构建属于自己的“问题表象”并被“短时记忆”的过程。主体“解决问题”时的数学思考，通常依赖头脑中“即时获得”并“短时记忆”的“问题表象”而展开。 ( 1 )读懂题目 新课程提倡运用图、文字、表格等多种形式呈现信息，这也给学生的阅读带来一定的困难。教师可以采取鼓励学生多读几遍，尝试完整地用自己的语言复述题意，采用情境表演等方式帮助学生理解。 ( 2 )有效地收集和选择信息 可以鼓励学生面对众多的信息，选择若干信息提出可以用数学解决的问题;可以鼓励学生回答，如果要解决某一问题，需要收集哪些信息;可以根据实际的问题情境，鼓励学生对问题进行选、判断或补充。 4 (关注对数量关系的分析 在分析数量关系上，过去有一些好的方法。可以借鉴传统“应用题”的教学经验，将“分析法”、“综合法”的思考方法“教”给学生。但问题在于很多教师往往“迫不及待”地将自己解题的方法或已经提炼出的方法告诉学生，导致学生再遇到问题时还是不会用。所以教师要留给学生独立思考、探索策略的时间，对分析数量关系的总结一定是建立在学生思考、探究和充分的交流基础上的。 另外，小学阶段需要学习的两个数量关系一般在小学四年级左右开始引入，但教师应注意他们在小学数学中的学习线索，包括第一学段的引入——正式学习——高年级的进一步认识。低年级虽然没有正式学习，但学生借助生活经验和对运算意义的理解，就能够理解如“飞机每分钟飞行 21 米 ， 60 分钟飞行多少米”的问题，这可为后面的学习奠定基础。另外，要注意这两个基本数量关系的变式。 5. 关注解决问题策略的学习 问题解决教学的价值不仅在于解决了具体的问题，更重要的是学生在这个过程中获得的发展，包括获得分析、解决问题的基本策略。解决问题的策略，是人们长期解决问题经验的总结，它对于解决特定问题有效，对于学生解决更多的非常规的、实际的问题时也将发挥作用。 小学数学中所涉及到的具体解题策略有以下几种:画图、简化题目、尝试和猜想、逆推、用方程解、用公式解等。学生的解决问题的策略不是先天形成的，而是在解决问题的过程中逐步形成和发展起来的。对于分析问题和解决问题策略的教学，应注意以下几个方面。 第一，教学中要重视对学生分析问题和解决问题策略的指导，适时地将“隐性”的策略“显性化”。如问题解决前，指导学生思考运用哪些策略;解决问题过程中，是否要调整策略;解决问题后，反思所使用的策略。 第二，学生所采用的策略，在教师的眼中也许是有优劣之分的，但在孩子的思考过程中并没有好坏之分，都反映出学生对问题的理解和所作出的努力。 第三，解决问题策略的教学应把解决问题的主动权教给学生，提供给学生更多的解释和评价他们自己的思维结果的权利。 第四，要注重策略的广泛运用。在解决问题的过程中，要引导学生有意识的使用所学过的策略解决问题。 6. 关注对解决问题过程和结果的检验 教学中应鼓励学生对解决问题的结果加以检验，一方面检验结果是否正确，另一方面考察问题的结果是否符合实际 ， 逐步形成评价和反思意识。事实上，验证结果的合理性需要两种基本的能力，首先需要对现实世界的数量及其关系有一定了解，如自行车的速度、汽车的速度等，这些是判断问题结果合理性的重要背景知识;其次能对结果的数量级有准确的估计。这种能力并不是通过大量的训练笔算就可以得到的，而是通过对位值的理解和对简单的数的运算的灵活运用而得到的。 常教学中，教师要有意引导学生将“所求答案”与“已知条件”相互“反串”，进行“二次解答”，从而确证原先解题的正确性。久而久之，学生便会在教师的“用心”引领下形成“代入检验”的策略习惯。 此外，为了发展学生的应用意识，还可以在解决问题之后，鼓励学生将应用问题的情境与真实生活联系起来，提出新的问题;并可以反思所使用的策略能否作为解决一类问题的重要方法，对不同策略进行比较，体会各自不同的特点与实用性等等。 (二)“综合与实践”教学策略 小学数学四个课程领域之一——综合与实践，就指向了哪些来自实际的、非常规的、条件开放的、结论不确定的问题。 《数学课程标准(2011 )》“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自 主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。 1. 设计好问题 对于“综合与实践”这个领域在实践上还是很不成熟，反映在教材的编写上，存在着对这个领域的内涵理解不一致、很多素材并不适合学生等现象，需要教师们积极研究，适当改进。教师可以因地制宜地收集、编制、改造适合学生使用的问题，同时鼓励学生自己发现和提出问题。 教师设计问题的时候，应注意以下一些基本原则: ——问题应能激起学生的兴趣及探索、创造的愿望。这样的问题来源于学生的现实，又是学生通过努力可以解决的。 ——问题应具有一定的新颖性。 ——问题应具有一定探索性和艰巨性 ——问题应具有一定的综合性 ——问题应具有一定的弹性和开放性。 ——问题应具有较为广泛的数学背景，具有连续学习探讨的可能性，并从中提出进一步需要研究的问题。 ——问题可以课内外结合。 2. 组织学生自主参与和合作探索 教师应作为学生的“参谋、同伴”参与到学生的解决问题活动中，作为他们 的建议者、欣赏者，为学生营造一个宽松、民主的环境，提供充分实践和思考的时间，鼓励他们探索解决问题的方法;组织交流自己的成果，对于学生的困难给予适当的帮助和指导。切不可简单地通过“示范”告诉学生应该怎么样，这会造成学生失去自主解决问题的机会。 3 (鼓励学生发展个性 学生要解决的问题多数是开放的，答案和解决过程都是不唯一的，因此教师应当尊重与鼓励学生富有个性和创造性的思考，并引导他们之间交流各自解决问题的方法，这对于培养学生的创新意识是非常重要的。 4 (引导学生及时反思活动过程 反思自己是如何分析问题的,运用了哪些解决问题的策略,遇到了哪些困难,这些困难是如何克服的,别人的想法对自己是否有启发,通过问题的研究自己有哪些收获等。 5 (合理评价学生的表现 对学生的评价要以过程性评估为主，主要评价两个方面:一是学生参与活动的积极程度，包括是否积极思考、探索积极问题的方法;是否能与同伴良好合作;能否主动解决困难等。 案例导读 【案例信息】 案例一名称: 北师大版 实验教材小学数学六年级上册《尝试与猜测——鸡兔同笼》 案例二名称: 北师大版 实验教材小学数学三年级上册《买新书》 【导读教师】 王艳玲(东北师大附小、小学高级教师) 【导读文本】 在前面的讲座中，主要针对问题解决的含义、教育价值等问题做了解读，并辨析了问题、问题解决、应用题、应用问题等概念，希望帮助各位老师厘清一些模糊的观念。在讲座中，我们将问题解决作为数学课程的基本理念和要求，整理为“应用问题”和“综合与实践”两个线索。“应用问题”融合在“数与代数、图形与几何、统计与概率”等领域之中，重在一些解决问题的基本技能、基本数量关系、基本思想的教学。而“综合与实践”指向开放性较强的、非常规的、指向实际生活的一些综合运用数学知识解决的问题。 为了帮助各位老师更好的理解关于问题解决的一些基本理念的前面讲座中所介绍的一些策略，我们选择了两个教学案例。一个是 以四则运算为实际背景的常见数量关系的教学， 是北师大版小学数学三年级上册第六单元——《除法》中第四节《买新书》的内容。另一个是老师们都比较熟悉的《鸡兔同笼》问题的教学，选自北师大版小学数学五年级上册《尝试与猜测》这一部分。这两节课的选择，对应了前面讲座中对“应用问题”，一个是探讨基本的数量关系的教学;一个是探索类型问题的教学。由于“综合与实践”教学课例受时间、场地、上课形式或学习方式多样化的制约，不容易展示出来，所以这里并没有给各位老师提供这方面的教学案例。 应该说，《买新书》和《鸡兔同笼》这两节课是 “应用问题”中比较有代表性的课。《买新书》一课是隐含了“教计算还是教解决问题”争执的代表;《鸡 兔同笼》一课是隐含了“求结果还是教策略”争执的代表。这些实际教学中暴露出争执也一直是 教师们共同关注的问题之一。就这两个课例而言， 《买新书》一课执教教师教学的重点在于怎样帮助学生分析问题和理解问题;《鸡兔同笼》一课执教教师的教学重点在于对用画图策略解决问题的渐渐深入。两节课的重点都非常明确，而且教师执教的过程中也紧紧围绕着重点设计教学任务，展开教学。这个重点也应该是各位教师观看案例时重点关注的问题。另外，各位老师都执教过这两节课，即便没有教过这两节课，但也都教过类似的“四则运算的数量关系、混合运算、多步应用题”和各版本教材中的类似“搭配、体育比赛中的数学、统筹、点阵„„”等关于解决问题策略的教学内容。所以老师们可以先回忆一下自己是怎样理解这些内容的重点难点，是如何开展教学的，有哪些独特的做法落实重点难点，然后再和这两个案例中的教学做对比，开展讨论，在比较和交流中积累更好的经验。 但必须指出的是，这两个课例都来自同一所学校，从课堂教学中更可以看到两节课有一些一致的做法，比如提供学习指南，倡导学生自主学习、合作学习等，这与该所学校提倡的“从给教师的教转向学生的学”的课堂教学改革有关，各位老师听课的时候可以吸收借鉴一些做法。另外，这两节课都是常规课，所以存在着很多的不足，比如《鸡兔同笼》问题，大家可以和参考资料中提供的《鸡兔同笼》的案例进行对比，批判地去辨析，吸收好的做法，商榷不足之处，以加深我们对问题解决教学的思考。 案例展示一 【案例信息】 案例名称:北师大版 实验教材小学数学六年级上册《尝试与猜测——鸡兔同笼》 讲课教师:王立生(东北师范大学附属小学，小学高级教师) 【教学设计】 教学目标: 1 (使学生经历尝试与猜测的过程，理解“鸡兔同笼”问题的数量关系，在探究的过程中提高学生分析问题解决问题的能力。 2 (学会用列表法解决问题，能 对数据进行再认识、再分析，优化列表的过程，渗透化繁为简的思想。 3 (在活动和学习中培养学生 的探究精神和合作意识，积累一定的数学活动经验。 教学重点 :学会用列表的方法解决问题，优化列表的过程。 教学难点: 如何优化列表过程。 教学准备: 多媒体和信纸 教学过程: 一、创设问题情境 师: 这是你们用的数学书吗,(出示北师大版数学书) 生:是的。 师:这是谁用的数学书,(出示 《孙子算经》) 生:这是古人用的数学书。 师:这书的内容可是非常古老的，大约有 1500 年的历史了。古人的数学书里写了些什么哪,想知道吗, 生:想。 师:第 23 页有这样一个经典问题，老师对个别文字处理了一下: “ 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何, 师:谁来给一读下。 生:„ 师:这道题可挺有意思，每句都是 6 个字的，像古诗一样。谁能像古人那样再读一遍。 生:读题。 师:什么意思,挺难懂～谁来给解释一下, 生:鸡兔在同一个笼子里，一共有 35 个头， 94 条腿，求鸡和兔各有多少只, 师:鸡兔同笼说明什么, 生:笼子里有鸡有兔。 师:谁知道这是什么问题, 生:鸡兔同笼问题。 师:你们在哪见过这样的问题, 生:我在课外班学过。 师: 1500 多年前的问题，现在还有人研究，说明这个问题一定挺有意思～这节课我们就来研究“鸡兔同笼”问题好不好,板书(鸡兔同笼) 为了研究方便，我们先来研究一个简单的鸡兔同笼问题。 设计意图 :从介绍数学书入手，使学生感到我国的数学文化是比较厚重的，利用他们的好奇心，激发他们求知的欲望。 二、引入新课 1 (独立尝试 出示问题 : 鸡兔同笼，一共有 14 条腿，可能有几只鸡,几只兔, 读题 : 谁来给读一下 学习指南: 请选择你自己喜欢的方法独立解决问题，思考清楚自己的方法准备全班交流。 2 (汇报交流。 师:谁愿意汇报一下自己的方法和结论,请到前面来说一说。(卡片放在实物投影仪上，人对着屏幕说) 生: 14 ? 4=3 (只)„„ 2 (条); 2 ? 2=1 (只)说明有 3 只兔子， 1 只鸡。(师板书 3 只兔子， 1 只鸡)。 师:这位同学非常理性地通过计算给定了兔子的只数，然后再算出鸡的只数。 师:谁和他做的是一样的,谁还有不同的方法, 生:我是先给定 1 只兔子，然后算出有几只鸡，再给定 2 只兔子，算出有几只鸡，再给定 3 只兔子，看有几只鸡。 兔 / 1 2 3 只 鸡 / 5 3 1 只 腿 / 14 14 14 条 师:他是怎么做出来的, 生:试的。(师板书“试”) 师:他是怎么试的, 生:先给定一个答案，然后算出另一个。(板书:给定) 师:他的方法我明白了，先给定一个答案，然后再算出另外一个答案，再给定一个答案，再算出另一个答案，直到找出所有答案后，列成了表格。 师:这是把什么过程列成表格了, 生:试的过程。 师:我们根据条件列成了几栏, 生:三栏。 师:这三栏分别是腿、鸡的只数和兔的只数 师:对比两种办法你有什么想法, 生:列表的方法更清楚，一目了然。 师:既然列表法有这么多好处，现在我们就用列表的方法来解决 1000 多年前的经典鸡兔同笼问题。 (出示:笼子里有鸡和兔，共有 20 个头， 54 条腿，鸡和兔各有多少只,) 设计意图 :通过解决只有 14 条腿的鸡兔同笼问题，对他们已有的知识经验产生撞击，促使他们想办法，给定个答案试一试，逐步尝试与猜测，解决问题，产生列表的需要，感受到列表是有效的策略。 三、自主探索与合作交流 1 (提出问题 师: 这个问题和刚才已经解决的问题题有什么区别, 生:给了总头数。 师: 20 个头什么意思, 生: 20 个头说明鸡兔一共有 20 只。 师:如果我们列表的话，根据条件应该列出哪几栏, 生:四栏:鸡、兔、头和腿。 师:如果让你给定一个答案，你给几只鸡, 师:老师给定 1 只鸡，会有几只兔子,(板书 1 ) 生: 19 只，(师板书) 师:怎么算出来的, 生: 20 减 1 。(在兔的上面板书“ 20 , ” ) 师:如果给定 2 只鸡，会有几只兔子, 生: 18 只兔子。(师板书) 师:哪个答案对呢,应该再看什么, 生:再看腿数是不是 54 。 师:第一组答案一共有多少条腿,怎么算, 生: 1 × 2+19 × 4=78 (师板书) 师:第二组答案一共有多少条腿,怎么算, 生: 2 × 2+18 × 4=76 (师板书) 师:哪组答案对呢, 生:都不对。 师:看来老师没有找到答案。好了这个任务就交给你们了。能找到吗, 生:能。 学习指南 :运用列表的方法，独立解决问题， 并与小组同学交流，想清楚 自己的方法，等待与全班交流。可以用老师的方法一个一个的试下去，也可以 用自己喜欢的数据去试。 2 (自主探索与合作交流 小组可以讨论一下自己的列表方法。 3 (汇报 师:谁来汇报一下自己的成果, 列表法 生 1 :我是这样列表的。( ? 板书:表格) 头 / 20 20 20 20 20 „„ 20 个 鸡 / 1 2 3 4 5 „„ 13 只 兔 / 19 18 17 16 15 „„ 7 只 腿 / 78 76 74 72 70 „„ 54 条 师:请说一说每次给定答案算腿总数的算式。(再板书两组算式) 生:。。。。。。 师:边填表，边板书算式，板书几个算式后，就只填表。 师:我们终于找到答案了，给了 13 个答案，才找到结果。你很了不起～ 谁是这样做的, 师:这些腿数都是一个一个算完再填的吗, 生:不是。 师:为什么, 生:鸡每增加一只，兔子的只数就减少一只，腿的总数就减少 2 只。鸡越多，腿越少。 设计意图 :通过逐一给定答案，使学生经历一个完整列表的过程，从中感受因鸡兔只数的变化，引起鸡兔腿总数的变化规律，理解鸡兔同笼的数量关系，渗透函数思想。 师:对这名同学的毅力我是肃然起敬，他能一个不落的逐个给定答案，试出最后的正确答案，很了不起～都哪个小组想汇报这种方法，都哪个同学使用了这种方法,对这种方法你有什么感受, 生:太麻烦了。 师:谁试了几次就找到答案了, 生 2 :我是这样列的表(板书:表格) 头 / 20 20 20 20 20 个 鸡 / 1 10 15 14 13 只 兔 / 19 10 5 6 7 只 腿 / 78 60 50 52 54 条 师:这种列法挺奇怪，你是怎么想的, 生:先给 1 只鸡， 19 只兔，腿是 78 条，发现腿多了，这是因为鸡太少，所以，我便给 10 只鸡和 10 只兔，腿是 60 条，结果腿少了，说明鸡多了，但很接近了，减少鸡的只数，增加兔的只数，然后慢慢调出正确答案。 师:我明白了，他是在给定答案后，在试的过程中，边试边调整，从而减少了试的次数。 都哪个小组想汇报这种方法，都哪个同学使用了这种方法, 师:谁不是从 1 开始试的, 生 3 :我是这样列表的。(板书:表格) 头 / 个 20 20 20 20 鸡 / 只 10 15 14 13 兔 / 只 10 5 6 7 腿 / 条 60 50 52 54 两种动物先各给一半，发现腿多了，说明鸡少了;然后增加鸡的数量，鸡 15 只，兔子 5 只;腿少了，说明鸡多了，再往回调。最后就找到答案了。 四、小结收获 师:这三个都是列表，你喜欢哪种,为什么, 生:第一种，可以做到不重复不遗漏，但是比较烦琐;第二种和第三种都能比较迅速的找到答案，但是当条件不充分的时候，容易漏掉答案，就像只给 14 条腿一样的时候。 这三种方法各有优势，他们有什么共同之处呢, 师:我们是怎么验证我们给定的答案是否正确哪, 生:看腿的条数是不是得 54 师:我们看一下算式，有什么共同的特点, 生:都是乘 4 和乘 2 。(师板书 4 ， 2 ) 师:为什么, 生:因为兔子有 4 条腿，鸡有 2 条腿。 师:什么乘 4 ,什么乘 2 , 生:兔子的只数乘 4 ，鸡的只数乘 2 。 师:如果用 X 表示鸡的只数(在鸡的只数上板书字母)，兔子可以怎么表示哪,(指着表头上的 20 ,) 生: 2 × x +4 ×( 20 , x ) 师:等于多少呢, 生: 54 。 师:我们给定一个答案，试来试去，找到了答案也就找到了方程的解。 设计意图 :通过对不同列表方法的学习与评价，运用鸡兔同笼的数量关系和变化规律，逐步优化列表过程，向学生渗透化繁为简的思想。通过方程关系的确定，渗透函数思想。 师: 今天解决鸡兔同笼的方法和你们在课外学的方法一样吗, 生:不一样，以前用的是假设法，今天的是列表法。 生:以前都是列算式算出来的，今天是通过给定一个答案，试一试的办法试出来的, 五、历史渊源简介 对于鸡兔同笼问题，有着悠久的历史。 1. “ 鸡兔同笼 ” 问题出自我国古代数学名著《孙子算经》一书中。距今已有 1500 多年，原书记载是: “ 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何 , ” 其中的解法也是非常奇特。 94 ? 2=47 (只)，这时，鸡只有一条腿，兔也只有 2 条腿。 47 , 35=12 (只)，这就是兔子的只数。 35 , 12=23 (只) 这就是鸡的只数。 2 (鸡兔同笼问题传入日本以后，日本对鸡兔同笼问题也进行了研究，日本人称这样的问题为“龟鹤问题”。 六、巩固练习。 师:在实际生活中还有很多类似鸡兔同笼的问题，同学们有信心运用学到的知识来解决实际问题吗, 屋里有 3 条腿的桌子和 4 条腿的凳子共 14 个，一共有 51 条腿，桌子和凳子各有多少个, 桌子和凳子总数 / 桌子 / 个 凳子 / 个 腿 / 条 个 学习指南: 独立完成卡片，然后请教师检查。合格的同学完成发展卡，不合格的同学，学会以后完成补充卡。 七、发展提高 除了列表法，你还有什么方法可以解决这个鸡兔同笼问题，试着自己独立解决它，并与同学交流，到答案区自己核对答案。 【课后反思】 对于“尝试与猜测——鸡兔同笼”这节课，我进行教学设计时主要关注了以下几个方面。 第一，精心设计，明确思路。 第一部分是引入部分。使学生在文化的氛围中进入知识的学习，利用 14 条腿，使学生产生列表的需要，以及如何列表，并体验到列表是一个不错的解决问题的策略。第二部分是新授部分，使学生在列表解决问题的过程中如何利用表格解决问题，并对列表进行优化。 第二，渗透数学思想和方法，学出数学味道。 使学生获得一些基本数学思想，应该是我们数学教师的较高的追求。在逐一列表过程中，理解鸡兔同笼的数量关系，渗透了函数思想。在对列表学习和评价中，渗透了优化思想。通过尝试与猜测以及如何整理自己解决问题的过程，使学生获得一些必要的解题策略。 第三，从学生的实际出发，提高学生可持续发展能力。 这部分内容不是仅仅使学生学会鸡兔同笼问题，而是通过这种问题，使学生获得解决问题的策略，渗透数学思想，影响数学观念。假设法是特殊方法只对特殊问题有效，但是，并不是每个同学都能学会。我做过调查，大约有 45% 的学生学了这种方法;能够用方程的方法解决这个问题的学生就只有 16% ;使用列表法解决这个问题，是 100% 。基于此，从学生的身心水平来看，学习一种 解决问题的大策略——列表，是必要的，也是能够学会的策略。在学习过程中丰富儿童的数学活动经验，获得一些必要的数学思想方法，能在学习数学的道路上走地远一些。同时也鼓励学生在学会基本策略的同时，寻求其他策略方法，使不同的学生得到不同的发展。 案例展示二 【案例信息】 案例名称: 北师大版 实验教材小学数学三年级上册《买新书》 讲课教师: 石迎春(东北师范大学附属小学，小学高级教师) 【教学设计】 教学内容: 《义务教育课程标准实验教科书?数学》(北师大版)三年级上册第六单元《除法》第四节——买新书(连除和乘除混合运算)。 教学目标: 1 (理解连除或乘除应用问题中的数量关系，掌握解题思路，能够解决简单的两步应用问题;在解决实际问题的过程中理解连除、乘除混合运算的运算顺序，能够正确计算。 2 (在自主学习、合作探索中，经历用画图策略分析问题解决问题的过程，培养分析推理能力。 3 (在独立分析、解决问题的过程中，获得成功的体验，感受数学在实际生活中的应用。 教学重点: 掌握解题思路，提升分析能力。 教学难点: 理解数量关系。 教学流程: 一、创设情境、提出问题 1 (谈话引入，创设情境。 师:去过学校的图书阅览室吗,想不想去看一看,(欣赏阅览室的一组照片)。 师:阅览室里不仅有许多好看的图书，其中还藏着数学问题呢，想不想去研究一下啊～ 2 (出示主题图，提出问题。 师:谁能读一下题,(读 2 遍) 生:学校阅览室买来 480 本书，放在 2 个书架上，每个书架有 4 层，平均每层放了多少本书, 师:在这个问题中有几个已知的数学信息呢, 生:已知数学信息是买来 480 本书， 2 个书架，每个书架有 4 层。 师:这道题要求的什么, 生:要求的是平均每层放了多少本书。 二、学生自主解决问题 1. 用画图的方法理解题意。 师:我们这节课就要来解决这个问题，请看学习指南 1 。谁能读一下, 生: 学习指南 1 学习任务:理解题意 1. 用画图的方法表示题中的已知信息和问题。(图不 能太复杂) 2. 指着图默默想一想题中每一句话是什么意思。 (建议时间 3 分钟 ) 师:同学的手中都有这样的一张学习卡 1 ，在桌面上大家可以看一看，一 会儿我们就按照学习指南 1 的要求完成学习卡 1 ，如果有需要的话，可以和 你的同伴小声交流一下。 生:开始画图理解题意。 师巡视指导。 全班汇报。 师:谁能到前面和大家说一说你是怎么画的,你是怎么理解题中的每一句话 的, 生 1 :汇报。 师:都谁的画法和他一样,有没有补充,还有没有不一样的画法, 生 2 :汇报第二种画图的方法。 2. 探索解决问题的思路方法。 师:我们把题意弄明白之后，就要开始探索解决问题的思路和方法。请看学习指南 2 ，谁能读一下, 生: 学习指南 2 学习任务:探索解决问题的思路方法 1. 可以从已知信息开始分析，确定先求什么，再求什 么;也可以从问题开始分析，确定先求什么，再求什 么。 2. 用自己喜欢的方法列式计算。 3. 小组内互相交流，分享各自的想法。 (建议时间 5 分钟 ) 师:我们解决问题一般从这样几个角度入手。一种是从所给的数学信息开始，去思考哪两个信息是有关系的，能解决一个什么问题，解决的这个问题和我们最终要解决的问题之间又有什么联系，就这样一步一步的往下去想，一直到我们把问题解决。这种方法就是从已知信息入手去思考问题。另一种思路是从所 要解决的问题入手，去想我要解决这个问题，我都得需要哪些信息呢,哪些信息是已知的，题中直接给我的，哪些信息是未知的，题中没有直接给我们，而是需要我们进一步去思考，去求的。这种方法就是从所求问题入手去思考的。 师:都谁想从已知信息入手去思考问题,都谁想从问题入手呢,一会儿就用你们喜欢的策略解决问题。 师:请大家拿出学习卡 2 ，按照学习指南 2 的要求，把它完成。如果遇到困难了，可以求助你的同伴，也可以求助我。 3 (学生独立探索、列式解决。 教师巡视，给予相应的指导 4 (小组内交流、分享想法。 教师巡视，给予相应的指导 三、全班汇报、集体交流 1 (汇报“先求一个书架能放多少本书”的思路。 ?学生汇报 师:哪一个小组到前面来把你们的想法和大家说一说,这道题你是怎么想的, 生:要求平均每层有多少本书，我要先求出一个书架能放多少本书，再把一个书架中的书平均分成了 4 份，每份就是一层有多少本书。 师:你能不能结合你画的图，和大家详细的说一说, 师:都有哪些小组的想法和他们是一样的,谁能再说一说。 再找一个孩子到前面来和大家说一说。 师:这道题先求的是什么,再求的是什么, 师:怎样列式计算呢,谁能把这个分步算式改写成综合算式呢,第一步先算什么,再算什么, 生:? 480 ? 2 =240( 本 ) 240 ? 4 =60( 本 ) ? 480 ? 2 ? 4 ?老师讲解 师:这个解决问题的思路就是先从已知的数学信息入手，把 480 本书平均分给 2 个书架，先算一个书架放多少本书。然后再根据另一个数学信息“每个书架有 4 层”，再算出一个书架一层放几本书。我知道了其中一个书架每层放多少本书，那么另一个书架我也知道了。这种解决问题的思路其实是把 480 怎样，再怎样了, 生:平均分成 2 份，再平均分成 4 份，求其中的 1 份是多少。 2 (汇报“先求两个书架一共有多少层”的思路。 师:解决“平均每层放多少本书”还有其他不一样的想法吗, ?学生汇报 生:要求一层有多少本书，就要先求 2 个书架一共有多少层，然后再把 480 本书按照总层数来平均分，每一份就是一层有多少本书。 师:先求 2 个书架的层数，再求每层放的本数。 师:怎样列式计算呢,谁能把这个分步算式改写成综合算式呢,第一步先算什么,再算什么, 生:? 2 × 4=8( 层 ) 480 ? 8 =60( 本 ) ? 480 ?( 2 × 4 ) ?老师讲解 师:这种解决问题的方法就是从要求的问题入手。要想解决平均每层放多少本书，我们就得指导书的总数和书架的总层数。书的总数题中已经告诉我们是 480 本，而书架的总层数没有告诉我们，而是告诉我们有“ 2 个书架，每个书架有 4 层”。根据这两个数学信息，我们就可以先求出 2 个书架一共有多少层。再把 480 本书平均放在 8 层书架上。这种解决问题的思路是把 480 平均分成 8 份，只不过没有直接告诉是 8 份，需要我们先求出要分的份数。 五、小结 师:我们用了 2 种办法帮助图书馆的老师解决了“书架每层平均放多少本书”，板书:买新书。谁谁能答一下。板书:平均每层放 60 本书。 师:我们仔细观察一下，这 2 种方法有什么不同呢, 生 1 :先求的不同。 生 2 :第一种是把 480 平均分成 2 分，再分成 4 分。第二种是先求总分数，再把 480 平均分成 8 份， 师:我们这节课通过帮助阅览室老师摆放新书，学会了解决生活中的一些问 题的思路和方法。 六、巩固练习、形成能力 师:老师给大家带来一位新朋友，蜡笔小新，他去游泳池游泳 。谁能读一下题。 生:小军去游泳池游泳，他在泳道内游了 2 个来回，共游了 100 米 ，这个游泳池的泳道有多长, 师:我们下面就开始独立解决这个问题。请看学习指南。谁能读一下, 生:学习指南 学习任务:独立解决 ?读 2 遍题，把你认为重要的话，画下来，仔细想一想是什么意思。 ?画图说明已知信息和问题。 ?读懂题意之后确定解题思路。 ?列式计算。 师:按照学习指南 3 的要求，独立完成学习卡 3. 生:独立探索。 师:巡视指导。 汇报一:理解题意，分析“泳道”、“ 2 个来回”、“ 100 米”。 师:在这道题中，你认为哪句话很重要,你是怎么理解的呢,到前面给大家讲一讲吧。 生 1 :讲 2 个来回。 师:谁的想法和他是一样的,电脑演示。还有没有不明白的, 生 2 :讲泳道。 师:我补充一下共游了 100 米 是什么意思呢, 汇报二:对比中明确如何列式计算。 师:刚才大家都独立列式解决了这个问题。老师这里有 4 个小朋友，东东，西西，北北，南南。他们也做了这道题。 师:谁的想法和北北一样呢,谁的想法和南南一样,„„谁能说一说怎么错了,错在哪了, 师:刚才用的同学和南南一样，你现在还和他一样吗,嗯，改正过来。 七、总结 师:我们今天学习了连除和乘除混合 2 步计算的应用题，在解决这样问题的过程中，你都有哪些收获呢,师:关于解决问题的思路，方法，你有什么收获呢, 【课后反思】 数学应用题的解答实际上是一个数学知识实际应用的数学思维过程。解答应用题的基本过程包括:识别和理解阶段——分析阶段——建立数学模型阶段——实施解题计划阶段——评价阶段，这五个阶段一脉相承。小学数学应用题的教学要教给学生基本的解题过程和方法。其中如何“审题”、“分析问题”的推理方法，如何确定“已知信息”与“未知信息”之间的关系，这些具体的方法 需要老师提高重视。 1 (培养学生审题习惯 解答应用题的识别阶段要求学生仔细阅读，对应用题形成一个完整的印象，对其中的内容、重要的语句、数据、条件能够识别出来。理解阶段要求学生在头脑中对问题形成正确的表征，理解由应用题的起开始状态、目标状态，引起状态改变的算式和应用题的中间状态等因素所构成的问题空间，而达到这个目标的有效途径就是“审题”。 为了让学生细致地审题，弄明白题意，《发新书》教学中设计了这样几个 教学环节，一是在读题中，把认为重要的话或者是词读成重音，并用缩句的形式显示题意，找到已知的数学信息和要解决的数学问题。二是用画图的方法表示题中已知信息和要求的问题。教材中对这一部分的处理是直接给了2个4层的书架。而在本节课的设计中没有直接给学生这个直观的图，而是让学生画一画。学生在独立的思考探索中，会用多种的方式去把题中的信息表达出来，思维发展比较好的学生就会用“线段图”的方式把题中的数量关系表示的很清楚。这一环节看似麻烦，其实却是一个“数形结合”的过程。学生把“文字”转换成“图示”的过程，不仅加深了对题意的理解，同时也培养了学生分析问题的能力。 2 (教给学生常用的分析应用题的推理方法 在解题过程中，学生往往习惯于模仿教师和例题的解答方法，机械地去完成。因此，教给学生分析应用题的推理方法，帮助学生明确解题思路至关重要。综合法和分析法是常用的分析方法。 儿童学习数学，最初多是综合性思维，小学低年级也主要让学生分清条件中哪些是相关的哪些是无关的，从相关的已知条件入手。但是随着所学知识的不断增加，难度不断增大，数学教学中应该逐步引导学生由综合思维向分析思维发展，引导学生从问题出发，看解决这个问题需要什么条件，如这个条件是题中已知的，问题可以解决，如果这个条件是未知的，再去考虑解决这个条件需要哪些信息„„直到所需条件题中全部给出。分析性思维在解决一些复杂的问题更适用。 从三年级学生的知识基础方面考虑，在此之前学生接触的多是一步计算的解决问题，学生只需要选择加减乘除中的一种办法将两个数学信息联系起来就可以了，学生体会不到分析思维的方法在解决问题中的重要性，而到本课时学生已经接触了连加、连减、加减混合、连乘法的应用题，再加上这节课连除法和乘除混合，解决问题的基本类型已经全部出现，题中的数量关系更加复杂，学生对如何分析问题的方法求知若渴，因此，在《买新书》教学中，把两种方法同时呈现给学生。教学中设计了这样两个环节: 一是在指导探索解决问题的思路方法环节中，直接教给学生两种分析问题的推理方法。 师:我们解决问题一般从这样几个角度去思考。一种是从题目中的已知数学信息出发，去思考哪两个信息是有关系的，是什么样的关系，可以解决一个什么问题。然后把所求出的数量作为一个新的已知信息，再与其他的已知条件搭配，看一看又可以解决什么新问题。这样逐步的推导，一步一步往下去想，直 到求出题目要求的问题。这种思考的方法就是从已知信息入手去思考问题。 另一种思路是从所要解答的问题入手，去想我要解决这个问题，我都得需要哪些信息呢,然后到题中去找，哪些信息是已知的，题中直接给我的，哪些信息是未知的，题中没有直接给我们，而是需要我们再找出解答这个未知信息需要的条件，这样逐步推导，直到所找得条件在题目中都是已知的为止。这种思考方法就是从所求问题入手去寻找数学信息。 师:都谁想从已知信息入手去思考问题,都谁想从问题入手呢,一会儿就用你们喜欢的策略解决问题。 二是在学生解题思路和方法汇报的过程中，结合学生的陈述，用动画的形式把两种分析问题的推理过程呈现出来。让学生对“综合”和“分析”有更直观的感受。 3 (加强数量关系的分析与训练 在正确理解题意的前提下，着重分析应用题的数量关系。数量关系是指应用 题中已知数量与已知数量，已知数量与未知数量之间的关系。只有搞清楚数量关系，才能根据四则运算的意义恰当的选择算法，把数学问题转化成数学式子，通过计算进行解答。在实际教学中首先要让学生掌握基本的数量关系。其次，要重视应用题教学中的分析与说理过程。这是因为不仅要通过数量关系的分析找出解答的方法，同时计算过程本身也反映了解题的算理。所以要重视教给学生联系运算意义，把应用题中叙述的情节语言转换成数学运算，在理解的基础上用学生自己的语言叙述。对每一道题的算法，教师都要认真引导学生说理，使学生能够将数量关系从应用题的情节中抽象出来纳入到已有的概念中去。 在《买新书》这一课中，设计了这样的环节来加强对数量关系的分析与训练。 师:按照这样的思路去思考，这道题先求的是什么,再求的是什么, 生:先求每个书架放书的本数，再求每层放书的本数。 师:解决每个书架放书的本数，要用到哪些已知信息,这两个数学信息之间是什么关系, 生:要用到“ 480 本书， 2 个书架”这 2 个数学信息，它们之间是除法的关系。 师:怎么列算式,为什么用除法,你是怎么想的, 生:? 480 ? 2 =240( 本 ) 。因为求每个书架放书的本数，其实就是把 480 平均分成 2 份，求其中一份是多少，所以用除法。 生:根据刚才求出来的一个书架放书 240 本，每个书架有 4 层，就能求出每层放书的本数。 240 ? 4 =60( 本 ) 这个过程其实就是把 240 平均分成 4 份，求其中的一份是多少。 学生解决实际问题能力的培养不是一朝一夕的事情，需要教师进行系统的设计和规划。而且教师的关注点不仅仅是解题策略上的指导，其中学生的认知水平，学生的数学认知结构等等都需要教师进行系统的研究。 案例评析一 【评析教师】 王艳玲(东北师范大学附属小学，小学高级教师) 付娜(东北师范大学附属小学，小学高级教师) 【评析文本】 一、教材内容分析 “鸡兔同笼”问题在多个版本的数学教材中对此都进行了编排。 苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略，教学要求是，让学生在解决问题的过程中初步体会用“替换”的策略理解题意，分析数量关系，感受“替换”策略的应用价值和解题步骤。 人教版在六年级上册“数学广角”中详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用，教学要求是，了解“鸡兔同笼”问题，在解决“鸡兔同笼”问题的活动中，尝试通过列表举例、画图分析、尝试计算、列方程等方法解决鸡兔的数量关系问题。重在多种方法、多角度、多策略解决问题。体会解决问题策略的多样化。 北师大版在五年级上册“尝试与猜测”中 安排了“鸡兔同笼”问题，且把它归类于尝试与猜测这个大课题之下，其用意就是要学生通过对日常生活中的 现象进行观察与思考，并从中发现一些特殊的规律。教材借助于“鸡兔同笼”这个载体，让学生经历列表，尝试和不断调整数据的过程。从中体会解决问题的一般策略 —— 列表。围绕 “ 鸡兔同笼 ” 使学生展开讨论，应用假设的数学思想 ，学生可以应用逐一尝试法，跳跃尝试法，取中尝试法等来解决问题。 从对三个版本教材编写的对比可以发现，无论是哪个版本都是注重掌握解决问题的策略，而不是问题本身。解决“鸡兔同笼”问题的策略本身就很多，解决问题过程中蕴含丰富的数学思想，因此，以鸡兔同笼问题做为背景，注重解决问题的策略才是课程内容安排的初衷。 二、对教学过程的分析 这节课教师设定了如下的教学目标:?使学生经历尝试与猜测的过程，理解“鸡兔同笼”问题的数量关系，在探究的过程中提高学生分析问题解决的能力。?学会用列表法解决问题，能对数据进行再认识、再分析，优化列表的过程，渗透化繁为简的思想。?在活动和学习中培养学生的探究精神和合作意识，积累一定的数学活动经验。从这个教学目标和教学视频中可以看到，本节课就是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历构建表格、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略——列表。这节课的突出之处至少有以下两个方面: 1 (关注策略的形成 列表的策略在平时教学或是学生解决问题中其实也有意无意经常用到，也就是这些策略早就孕伏在学生身边，是有一定经验可借鉴的。所以本节课在学生第一次尝试解决问题时就有运用列表的方法解决的。教师抓住了学生的经验加以利用。 师:这是把什么过程列成表格了, 生:试的过程。 师:我们根据条件列成了几栏, 师:这三栏分别是腿、鸡的只数和兔的只数, 师:对比两种办法你有什么想法, 生:列表的方法更清楚，一目了然。 师:既然列表法有这么多好处，我们就用列表的方法来解决 1000 多年前的经典鸡兔同笼问题。 这一 段就是 老师在有意的以列表策略为解决问题的出发点和支撑点，明确了要本节课不是要解决鸡兔同笼问题，而是要用列表尝试的方法，感受怎样用列表的策略解决问题。老师还提出了这样的问题: 师:如果我们列表的话，根据条件应该列出哪几栏, 师:如果让你给定一个答案，你给几只鸡, 师:当给定一只鸡，会有几只兔, 师:哪个答案对呢,应该看什么, 师:看来老师没有找到答案，这个任务就交给你们了，能找到正确答案吗, 从这几个问题中可以看到老师 是让学生在亲身经历的解题过程中获得对解题策略的意识和感受。引导学生体会怎样列表整理信息，唤起学生的经验，再引导学生顺利理解题意。教师注意结合具体的例题，通过观察、操作、交流等活动，帮助学生初步体验所要学习策略的主要含义和操作步骤。教学时也注意 了多让学生讲解决问题的分析思路，采用实践探究、合作交流等学习方式解决问题，体会解题的策略，教师恰当地引导、点拨，不包办代替学生的思维过程或将策略以定论灌给学生。通过呈现学生不同的列表策略，在学生学会列表的基础上优化列表解决问题的策略，也渗透化繁为简的思想。 2 (关注对策略的感悟 这节课教学实际上是这样几个大的环节: ?在策略引入阶段学生进行汇报交流。 ?策略体验阶段，自主探索与合作交流、汇报。 ?策略形成归纳阶段，讨论小结。 ?巩固练习。 对策略的学习要重视体验，就是要学生在解决问题中体验将信息整理或是调整、根据其它信息与其的关系进行尝试列举这样的过程，体验运用这样的策略逐步找到合适的答案的过程。这个过程非常重要。在这节课中学生是通过自主探索，经历了这样的过程的，进而对策略有不同的感悟，形成了不同的解决方法。每一个学生在自主探索这个过程中，会呈现出不同的方法，有的一一列举;有的居中列举;有的会在列举中发现一定的规律、并对策略进行调整，感受因鸡兔只数的变化，引起鸡兔腿总数的变化规律;有的边试边调整从而减少试的次数。 在学生经过自主探索对策略已经有一定的认识后，教师引导学生对用策略解决问题的过程进行了必要的总结，明确解决问题的策略。教师提出了这样的问题:本课学习的是什么策略,怎样用这样的策略,运用这种策略解决问题一般 会有哪几个步骤,你是怎样思考的,运用这种策略解决问题有什么优势,„„对于策略的含义并不需要学生准确叙述，重点归纳对策略如何运用和策略的作用。在学生讲出自己对列表策略的感悟后，教师对鸡兔同笼问题的历史背景做以简介，激发学生的学习兴趣。 策略的应用阶段是加深对策略的感悟，这个阶段是在学生初步掌握策略基本操作步骤的基础上，进一步熟练运用策略解决一些实际问题，使学生能够在变化的问题情境中顺利地运用策略，达到策略内化。这节课的最后“巩固练习”环节就是对列表策略的应用，并在应用中达到反思、加深理解的作用。 案例评析二 【评析教师】 王艳玲(东北师范大学附属小学，小学高级教师) 付娜(东北师范大学附属小学，小学高级教师) 【评析文本】 《买新书》一课是北师大版小学数学三年级上册第六单元——《除法》中第四节的内容，是在学生学习并掌握了两位数除以一位数和三位数除以一位数的除法之后学习的连除和乘除混合运算。教材呈现“买新书”这一情境，是在让学生在解决“平均每层放多少本书”这一实际问题的过程中理解连除、乘除混合两步实际应用题中的数量关系，同时还要掌握连除、乘除混合试题的运算顺序。 这是一个十分典型的以四则混合运算为实际背景，但却十分注重理解运算意 义的教学内容。以往的教学中，教师容易把教学内容固化，认为运算教学就讲运算，讲运算的方法、步骤，再辅以大量的计算练习达到熟练;而应用题教学就讲应用题的解题方法、步骤，再概括出该类型题的模型，形成公式化的解决方法，辅以同类型的大量应用题，运用模型达到正确解决问题的目的。而现在，解决问题贯彻数学学习的始终。这节课中教材的编写线索，是将运算的实际背景做为“暗线”，需要教师对教材进行系统的梳理，找到实际背景，将这条内隐的“暗线”明朗化清晰化，所以执教教师在教学时，是将解决问题、分析数量关系做为运算的背景，和运算教学相辅相承。所以这节课教师设计了比较清晰的教学环节:出示主题图、提出问题——学生自主解决问题(用画图的方法理解题意、探索解决问题的思路方法、独立探索列式解决、组内交流分享想法)——汇报讲解。 结合这节课可以来分析如何进行解决问题的教学: 1 (如何读懂题目 教师提供了贴近学生生活实际背景的主题图，再通过文字的形式呈现信息。用图和文字呈现信息各有特点:用图来呈现信息，信息是隐藏在图中的，不同的学生在图中获取信息的能力不同，教师要对读图进行一定指导，学生有一定的积累才能提高从图中获取信息的能力;而文字呈现信息比较抽象思维、枯燥。本节课教师将两种形式结合来出示题目，可以根据学生的理解情况灵活的帮助学生理解题目。 教师在教学中提到让学生“读两遍”、“多读几遍”，并有一些针对读题的指导: “读两遍题，把你认为重要的话，画下来，仔细想一想是什么意思”等，引导分析关键词在题中的具体含义。 有一些老师在教学中容易忽视读题这一环 节，让学生自己读一读就开始尝试解决。读题、理解题意这个过程是非常重要的，直接关系到学生解决问题的过程与结果，如果每节课中都在这个环节发展学生的观察能力、想象能力、理解能力，可以促进学生分析能力推理能力，从而提高学生问题解决的能力。 2 、如何分析数量关系，丰富对运算的理解 ( 1 )理解题意 在分析数量关系上，执教的老师并没有直接带领学生去分析，而是让学生通过画图的方法去理解题意，而且教师并没有停留在只用示意图来表示信息就可以了，而是引导学生汇报交流怎样画。 学生在独立的思考探索中，会用多种的方式把题中的信息表达出来，思维发展比较好的学生就会用“线段图”把题中的数量关系表示得很清楚。即使画示意图呈现信息有困难的学生会经历“自已独立思考(未果)、与同伴交流(问一问)、听同学的思考方法(听一听)、听同伴的理解(想一想)”这几个环节，学会表示信息的方法。这一环节看似麻烦，其实却是一个“数形结合”的过程，把“抽象”的数量关系“形象”化。学生把“文字”转换成“图示”的过程，不仅加深了对题意的理解，同时也培养了学生分析问题的能力。 ( 2 )探索解决问题的思路和方法 这节课中教师十分注重对解决问题的思路和方法的辨析。教师提供了学习指南，提供了分析、思考问题的一些基本步骤;同 时 老师讲述了解决问题的一般方法:综合法和分析法，有意识的去教给学生两种分析问题的推理方法。 这一过程教师的意图和思路是十分清晰的，不过也有可改进的空间，比如教师在教学中有两段解释分析法和综合法的语言，这些话比较长且抽象，对于三 年级学生理解起来是有难度的。“已知信息?哪两个信息是有关系?什么样的关系?能解决什么问题?求出的量作新的已知信息，再搭配?再一步一步想，直到解决”这是一个多么复杂的过程～学生听明白都比较困难，更不用说按这样的思路去解决问题。当然执教的教师也考虑到这个问题，所以在讲解时用幻灯片，用问题、图示的方法辅以自己的讲解语言。但这提醒我们，教师了解本节课的重难点是什么固然很重要，但更要研究学生如何能接受和理解。教师如果能把这段推理性很强讲述换成用举例的方式说明，尤其是学生曾经解决过的问题，可以唤起学生的经验来给这段话进行注释，也使这段话形象化。同样用画图、动手操作的方法，也可以帮助学生去理解数量之间的关系。 3 (如何组织汇报交流 这个环节执教的教师提过下面的问题: 师:哪一个小组到前面来把你们的想法和大家说一说,你是怎么想的, 师:你能不能结合你画的图，和大家详细的说一说, 师:都有哪些小组的想法和他们是一样的,谁能再说一说。 师:这道题先求的是什么,再求的是什么, 师:怎样列式计算呢,谁能把这个分步版式改写成综合算式呢,第一步先算什么,再算什么, 师:我们用了 2 种方法帮助图书馆老师解决了“书架每层平均放多少本书”，我们仔细观察一下，这 2 种方法有什么不同呢, „„ 执教的教师很注重学生的表达和说理。学生独立探索之后，先让学生在小组 内互相交流、分享想法，再组织学生全班汇报、集体交流。 对于一个分析方法汇报后，会了解哪些同学的方法和汇报的同学是一样的，还要求其它同学再说一说。 学生大量的说理的过程就是数量分析的过程，就是促使学生分析能力、推理能力提高的过程。在课堂教学中有的老师往往抓住正确的思路和方法，迫不急待地将正确方法进行提炼告诉学生，或是马上去评价这个同学的方法有多好，而忽略了大多数，忽略了每名学生分析能力、推理能力、表述能力的培养，日久天长形成一部分学生会想不会说、一部分学生因为不用去说就不用去想、一部分学生总要和别人说得一样„„因此在教学中不但要给学生思考的空间，问题本身也最好有一定的开放性，另外也要给学生探索的时间和表达的机会，促使学生将思考过程清晰的表达出来。 在交流汇报的过程中，老师的评价、同伴的评价是尤为重要的。在课堂中也很多学生的想法和做法是不同的，还会有一部分学生出现错误，这都是正常且非常合理的现象。老师对于不同的想法、错误的想法更应关注，辅导和点拨，通过有效的学习活动，比如:动手实践一下，看看结果和想象的是否相同,能发现什么问题,可以怎样进行调整,引导学生进行思考，以加深对问题的理解。 思考与活动 1(追踪一个或几个学生进行问题解决的过程，问题解决之后对这个学生进行访谈，了解其思维过程、问题解决过程中所采用的策略、遇到的困难等。将学生的问题解决过程与波利亚的问题解决四阶段进行对照，检视自己问题解决教学中的优点及不足。 2(在你自己的教学示范中，你经常使用画图的策略来分析、解决问题吗, 你的学生能够经常自觉地使用画图的策略来分析、解决问题吗, 3. 以长、正方体的认识、体积、表面积等知识为背景，设计一个开放的问题解决活动(如讲座中提到的“设计杯琴”)，请你的学生尝试解决，并 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 、交流自己的解决过程。教师分析、评价学生问题解决的情况。 4. 各个版本的小学数学教材在进行混合运算(认识小括号)的教学时，基本上都是以一个问题作为依托来，将小括号、混合运算的顺序等知识融入到问题解决过程中。请以混合运算为内容，设计一个教学案例，并说明如何来关注学生的问题解决能力提高。 5. 关于问题解决的教学，你还有哪些好的经验和做法,与大家互相交流一下。 6. 尝试设计一个实践与应用活动，指导学生开展此活动，活动结束后反思设计和教学中的优点和不足。