高中数学不等式综合复习

不等式专题 一．不等式的基本性质 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义： （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）（对称性） （2）（传递性） （3）（加法单调性） （4）（同向不等式相加） （5）（异向不等式相减） （6） （7）（乘法单调性） （8）（同向不等式相乘） （异向不等式相除） （倒数关系） （11）（平方法则） （12）（开方法则） 二．一元二次不等式 1.不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法）.   步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论； 一元一次不等式的解法与解集形式 当时，, 即解集为           当 时 ，即解集为 ②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论. 一元二次不等式的解集             二次函数（）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R （2）分式不等式的解法：先移项通分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化，则 ＞0    <0   切忌去分母 （3）无理不等式：转化为有理不等式求解         （4）.指数不等式：转化为代数不等式 （5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式 应用分类讨论思想去绝对值；    应用数形思想； 应用化归思想等价转化 2：典型例题 例1. 求下列不等式的解集 （1）， （2） （3）的解集  例2 解下列不等式. （1） ，（2） 例3.解不等式 变式练习： 例4：解关于的不等式 （1），      （2） 变式练习： 1、    2、 3、 4、 例5.已知不等式的解集是，则不等式的解集        变式练习：若不等式的解集为,则不等式的解集为 __________. 例6.若一元二次不等式的解集是R则的取值范围是                  变式练习： 1已知关于x的不等式的解集为空集，求的取值范围。 2、若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围。 三.基本不等式及其应用 1.几个重要不等式 （1） （2）（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号） 极值定理：若则： 如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；  如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.     利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. （当仅当a=b=c时取等号） （当仅当a=b时取等号） （7） 2.几个著名不等式 （1）平均不等式：  如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号） 即：平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数（a、b为正数）： 特别地，（当a = b时，） 幂平均不等式： 注：例如：. 常用不等式的放缩法：① ② （2）柯西不等式： （3）不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有 则称f(x)为凸（或凹）函数. 3.不等式 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 的几种常用方法   比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 注：常用不等式的解法举例（x为正数）： ①        ② 类似于，③ 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋      （2）y＝x＋ 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知，求函数的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。 例：求函数的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.   （1） （2）  (3) 2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值. 条件求最值 1.若实数满足，则的最小值是          . 变式：若，求的最小值.并求x,y的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 2：已知，且，求的最小值。 变式： （1）若且，求的最小值 (2)已知且，求的最小值 技巧七、已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值. 技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值. 变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值. 变式: 求函数的最大值。 应用二：利用基本不等式证明不等式 1． 已知为两两不相等的实数，求证： 1） 正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 2） 已知a、b、c，且。求证： 应用三：基本不等式与恒成立问题 例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若 ，则的大小关系是      . 四．简单的线性规划 1、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点） 例、设变量x、y满足约束条件，则 ①的最大值为  　 ②则的最小值是    . ③的取值范围是    . 2 含参问题：（较难）   ①约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例、在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（） A.    B.     C.     D.   ②已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 例 已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为              。 3、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例 、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域, 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示该区域的不等式组是（） (A) (B)  (C)   (D) 4、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 例 已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为              。 5、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 例 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 6、研究线性规划中的整点最优解问题 例 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则的最大值是 综合检测 一． 选择题 1.已知那么的大小关系是(    )       2.下列各组不等式中,同解的是(    ) 与                与 与    与 3.不等式的解集是(    )                         4.不等式的解集是(    )               或           或 5.函数的定义域是(    )                         6.若与异号,则的取值范围是(    )                 或 7.下列命题中正确的是(    ) 的最小值是2    的最小值是2  的最小值是  的最大值是 8.不等式对于一切实数恒成立,则的取值范围是(    )                       9.现有含盐7%的食盐水200克,生产需要含盐在5%以上且6%以下的食盐水,设需要加入含盐4%的食盐水克,则的范围是(    )               10.若则下列结论中正确的是(    ) 不等式和均不能成立  不等式和均不能成立 不等式和均不能成立 不等式和均不能成立 11.若则的最小值和最大值分别是(    ) 0,16                            12.已知,则之间的大小关系为(    )                         二．填空题： 13.已知则与间大小关系是                14.不等式的解是                15.若成立,则的取值范围是                  16.设满足且则的最大值是              三．解答题： 17.已知与不等式同解,求的值. 18.设,且,求证: 19.若,求的最大值. 20.解不等式: 21.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求, 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为,则出厂价相应提高的比例为,同时预计年销售量增加的比例为.已知年利润=(出厂价－投入成本)年销售量.   （1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式;   （2）为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例应在什么范围内? 22.函数的定义域为[0,1],设且 证明: (1)(2); (3) 文档已经阅读完毕，请返回上一页！