关于有理函数的部分分式展开

关于有理函数的部分分式展开 关于有理函数的部分分式展开 第l4卷第4期 2000年7月 常熟高专 JournalofChangshuCollege Vo1.14No.4 July2000 6/z/ 关于有理函数的部分分式展开 常建明 —____——, (常熟高等专科学校数学系,常熟215500) 摘要:有理函数是一类能求出原函数(甩初等函数表示)的重要函数类,其依据就是它有部分分 式展开.然而一般的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 教材上却只讲有这个展开而无证明,或只是一笔带过.本文提供一种展开 的方法.其根据是完奎初等的恒等变形及适量的多项式除法.它的计算量一般比使用待定系数法要 小许多 关键词:堕璺苎墼壹窆坌;笪垡篓. 中图分类号:01'7文献标识码:A文章编号:1oo8—279~i2000)04—0016—06 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,一般形式为 胁==等i嚣 其中,为非负整数,.bjto?i?n,0??)都是实常数且ct0?O.b0?O. 以下为方便起见,我们假设b.=1(否则分子,分母同除b0,即得这种情形)和m?1 为了要将尺()部分分式化,首先是将分母口()(在实数系范围内)分解因式而有 口()=+bl一+…+b = 量(—).量()(2) 其中'.,,--,均为自然数.口一;P一,Pf;q..,q均为实数并且 』 ?+2?一=m.'Lj1J}l 口z?(?,l?,,?)(3) (P,q.)?(,毋)(?』,l?,J?j) Pj一4<0,1??j 这一步,根据高等代数的理论知一般是没有捷径可走的.甚至是非常困难的,对特殊多项式的因式分解 有许多方法,我们这儿不讨论.以下我们就假定有理函数尺()的分母口()的分解(2)是已知的.于是我们 有如下熟知的结论. 定理:设P(),0(),尺()如上所定义,则必有 收藕日期:2000—05一嘴 作者简介:常建明,男.1964年生,耐教授 第4期常建明:关于有理函数的部分分式展开l7 c=砉耋+砉耋+Po(c 这里A(1?f?,1?5?^),,(1??,1??一)是实常数.而Po(x)是一个多项式 (deg(P0())=/7,一m?0)或零多项式(/7,一m<0). {主1:和式蓦称为相应于因的部分分式展开.而和式善为 相应于因式(+p+g,)的部分分式展开. 注2:根据定理,通常求部分分式展开时采用待定系数法,即通过解一组关于A,B,C……的线性方程组 来确定A,B,c…….这样的计算量非常大. 注3:定理中Po()实际上是多项式P()除以多项式口()所得的多项式商.即P() Po()(mod口())或P()=P0()口()+()(K()为次数小于degQ()的多项式).而(4)式右边的 部分分式实际上就是吉的部分分式展开.由于当<m时()=P().因此以下我们在证 明过程中就 假设n<m即degP()<degQ().此时Po();0. 利用数学归纳法,通过恒等变形,可给出定理(4)的一个证明.对口()的次数deg口 ()=m来实施数学 归纳法. (1)当m=1时结论显然成立. (2)当I"/1,=2时.:1.即P()=口0+口1,口()=+61+b2. i)若61一4b2<0,则结论已成立. ii)若61一4b2=0.则口():(+1bI),因而 m:=坐垫=+ 即结论也成立. iii)若6I2—462>0,则口():(一1)(一2),I. 2:— - bI~~—一 - 4b2 ,.1?.2. 因而 肌)=: … (一)? :f!—=—!—!—!—一!!!!!!!!1.L—nIif2JI—n2 竺?!!!?!! :— 生!=!! — n1—if2 故结论也成立. 现在我们设结论对degQ?m的自然数成立.我们要证明结论对deg口:m+1也成 立. 以下分两种情形 讨论. 1)口有一次因式,设一n为Q()的一个因式,则()=也是多项式并且deg石=m.由子 18常熟高专2000年 n)degPm=deg.则由归纳假设有理函数号有部分分式展开 = 砉耋+茎耋赫 于是 胁=器=,=骞宴袁+砉耋 现在我们需要下面的引理. 引理1若?,则 这是很显然的. 引理2若P一4q<0,则 1 一 南=等一口一卢一(一口)(一口) _ Ll十 一(,+px+g)(一口) (+P+n)c ?? '+px+q ! (毋)'( — 12(2 (+px+q)(一口)(+P+口) 1 口)(P+口) : 上一 !!! 一 .+px+g 推论:在引理2的条件下, 证 Bx+CA ._一1 x+pxgJ (+P+: ! (+px+q)(一口) 于是由引理2知结论成立. 现在再回到定理的证明 由引理1,当q?口时 由引理2 于是由(5) B+C '+px+q :—墨S—业墨一旦.+B口( +px+q)(一口)一+px+q(+Px+;— !! (x+)(—) 胁=骞耋?=l,一"J _二_二 :+罢!一 n+pq1 (5) + 骞薯+骞耋c 要?,复一1?2一一1?m一1.根据归纳假设,它们均可部分分式化,于是由(6)知R() 也可部分分式化.再来看degP:m的情形.一 6)degP=m=d.g删 PP 一 征 一口 坐 一 一一一 ?? + 第4期常建明:关于有理函数的部分分式展开19 m:士?=+. 由.),.可部分分式化,于是()也可部分分式化. ?)p没有一次因式,即Q只有二次因式,degQ:m+1为偶数,设2+px+q(P一4q<O) 为Q的一 个因式.则()=也是多项式且deg=m一1?由于degP<deg口,故degP?同?一 n)degPm一1=deg.则由归纳假设有理函数专有部分分式展开, 一 ,兰! ()一(++) (注意因无一次因式,圜此譬{的部分分式展开是上述形式).0() ,==' 一?——丛! 一(++)(++口) 为了把分母的次数降下来,我们再引用下述结论. 引理3i)若P?r,则有 — 卫L:一??_旦+?上( ++q)(++)一+px+q.++ 其中n:即口满足口+pa+q=口+m+.一 P lj)若P=r,q?5,则有 ++q)(++)一一2+px+q++s 证明:当P?,,记=口++q=口+m+?0.则(8)式左端等于 ^f下L'+px+q)-=蛊嚣一等J一口一(+g)(一n)(+肛+5)(—n) 于是由引理2知, ?式左端=()_一(一) 一?已?—旦一 ' . Jrp.Jr0.4-4-s 当P=r且q?时,结论(9)是显然的 推论:若(p,q)?(r,5),则 堡! (px+q)(++) B+C (7) (8) (9) +.(10) +W+5 证:当P?r时,由引理3j)知 业:一坐善土+( +p+q)(++)一+px+q' 20常熟高专2000拒 由于 同样 (Bx+C)(+p+)=Bx+(p8+B+c)x+(p+口)C =B(.px+口)+(aB+C)+(P+d)C (如+C)(+r+d)=B(,++s)+(d8+C)x+(r+d)C—Bs 于是(10)式成立,其中B=_二 当P=r而g?时,结论由引理3ji)立得. 现在回到定理的证明. 由I理3的推论当(,9j)?(p,q)时 Bx+Ca (.)(+p+q): 当x'+p+qJ+px+q 于是据(7)式 Rc,=骞娄{+骞砉矗 后者?号下函数分母的次数=2(,一1)+2=2t?2一?m一1.据归纳假设,?号下函 数均可部分分式 化. 6)若degP=m或m一1.则P()=(^+)()+(),deg~()<m一1. 于是肌,==+南. 由a)P可部分分式化. 于是R()也可部分分式化.定理至此证毕. 注意,在定理的证明过程中使用的引理113,起着非常重要的作用,实际上在对具体 的有理函数进行部 分分式化时,通过它们都可以实现,而且计算量一般而言比结定系数法要小许多, 尤其是在分母的二次不可 约因式较多时 t~l[tJ:试把显(:毛}}专端部分分式化 解:记P():2x一x+4x+9一10 Q()=(一2)(+2)(一+1) 我们先计算()=的部分分式. 记1:(+2)(一*+1)(): 一 …:{( 1,11\11 —16\一2+2J4(+2) ):? 一16 根据引理2,有 1 2)( 1/1一1+2\ 2+1l一2一2一+1J 1l1+1 了.___一了.? 1二_1『二1而I1一12Jf一一1 第4期常建明:关于有理函数的部分分式展开 于是有 于是 lll 一7+2—7 1l1 了' 一 3 :.—一 f.一.(=)1了'一了I了.一了'_二J :.—_十. 上一 . =了.面'一面. ).一1. l1l一3一 砸'砸' . 15l5一8— 2—8'.丽'丽' 一一 1127lll1 4—87一面'币一2—8.而' 由于P()g48rood(一2) P()28mod(x+2) P()%一83一138rood((+2)) 一 83x,138=一83(+2)+28 2—l3 ' 一 +1 — 7 27 ? 28一.(一83):2 P()E11一13rood(X2一+1) (1lx一13)(2x一13)一147x+147mod(X2一+1) 卜+一一 2一+Zf'l,' 参考文献 [I]华东师太薮学录墙.敷学分析(第二版. 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf )[M].北京:高等教育出版社,I99I.2 OnthepartialfractionexpansionofrationalInclio璐 CHANGJian-ming (DepartmentofMathematics,ChongshuCollege,Ch萨hu215500) A鼍act:Inthi吕陋,.stlIIttlIereexistsapartialoffractionexpansionf0reachrationalfunctmby咖of completelyelementaryidonticalsubstitution. Keywords:rationalfunction;partialfractionexpansion;idenlicsub sti,ution P(x)-螭(附d"一2))衰示P(x)被x一2嫁.求为螭.其余类似 一 一