养老金计划数学建模

养老金计划数学建模 重庆工商大学第六届大学生数学建模竞赛 暨2014年全国大学生数学建模选拔赛 论文题目: 养老金计划 参赛队员信息 相关学科平均成绩 高 线概计姓 名 学号 学院 联系电话 性别 宿舍 特 等 性率算 专业班级 长 数 代统机 学 数 计 数统学院 无 2012XXXXX 151XXXXXX X 李祥龙 男 X X X X 管理学院 建模 2012XXXXX 151XXXXXX X 丁月月 女 X X X X 管理学院 写作周影 2012XXXXX 138XXXXXX 女 X X X X X 2013年 6 月 5 日 traffic mode structure with the economic and social development and the accelerated process of urbanization, urban traffic congestion, ... Is too low, the lack of double track bypass road on the center between the groups in the same direction, between the groups transportation needs through the city centre, makes the structure and function 养老金计划的数学模型 摘要 中国正在跑步进入老龄化社会，养老金短缺问题受到了社会各界的广泛关注。经预测，到2039年,我国将出现不足两个纳税人供养一个养老金领取者的局面,这被称为“老龄社会危机时点”. 本文就养老金问题进行了讨论。假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，参加者20到60岁时工作阶段，他会每月存入一定的金额，60岁退休以后，每月初领取相等的退休金，一直领取20年。建立数学模型，计算参加者不同年龄阶段投入不同的金额，他所领取到的养老金是多少。我们把它分为了两个阶段，先是以年金的形式算出参加者从投入资金到60岁一月初时的本息和，再计算出了他从60岁到80岁领取养老金的公式，从而求出了他每月领取的养老金P. 然后利用Matlab编写程序，最终得出了结果，越早参加养老金计划，领取的养老金越多。从20岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为12205.7元;从35岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为5747.6元;从48岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为4644.4元. 最后，本文讨论了该模型的优缺点，并进行了进一步的推广与分析. 关键词:老龄化 养老金 年金 Matlab 一、问题重述 养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10?.参加者的责任是，未退休时(60岁以前)每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为: 20岁~29岁每月存入X元，30岁~39岁每月存入X元，40岁~49岁每月存入X123元，50岁~59岁每月存入X元.参加者的权利是，从退休(60岁)开始，每月初领取退4 P休金，一直领取20年.建立养老金计划的数学模型，并计算不同年龄的计划参加者的月退休金. 1、从20岁开始参加养老金计划，假设X=X=X=X=200元; 1234 1 2、从35岁开始参加养老金计划，假设X=200元，X=500元，X=1000元; 234 3、从48岁开始参加养老金计划，假设X=1000元，X=2000元. 34 二、问题分析 我们先对整个问题进行分析，建立一个适用于从任何年龄(20—59岁)开始参加养老金计划的数学模型，再分别代入数据，计算出从20岁开始参加养老金计划、从35岁开始参加养老金计划和从48岁开始参加养老金计划可以得到的养老金补助. 我们把参加者从开始参加养老金计划到80岁分为两个阶段。第一个阶段为缴纳养老金阶段，从参加养老金计划开始到60岁1月初，计算出所有月份缴纳的养老金到60岁1月初时的本息和S;第二阶段为领取养老金阶段，从60岁1月初到80岁12月初，利用上一个阶段求出的S计算出每月应当领取的养老金P，使得80岁最后一个月领取养老金后账户的余额为0. 三、模型假设 1、假设参加者能领取养老金的年龄恰好到80岁，不多不少. 2、假设年利率一直都为10%不会受外界的其他因素而变动. 3、假设参加者每月初都是按时缴纳相应的养老金，不会出现拖欠或间断的情况. 4、假设参加者80岁时，银行恰好能把参加者所缴纳的养老金的本息和全部返还给参加者，账户余额没有剩余. 5、假设参加者每月初都会按时去领取养老金，不会提前或延迟. 四、符号说明 符号 符号说明 某人开始参加养老金时的年龄，i为所处年龄段，i?{1,2,3,4}; ai?[20,29], ?[30,39], ?[40,49], ?[50,59] aaaa1234 x 第i个年龄段存钱时每个月要存的金额, 单位为元; i 在[20,29]年龄段存钱的计息次数; b 在[30,39]年龄段存钱的计息次数; c d 在[40,49]年龄段存钱的计息次数; the same direction, between the groups transportation needs through the city centre, makes the structure and functionnization, urban traffic congestion, ... Is too low, the lack of double track bypass road on the center between the groups in traffic mode structure with the economic and social development and the accelerated process of urba2 e 在[50,59]年龄段存钱的计息次数; B 在[20,29]年龄段存钱的存到60岁时的本息和,单位为元; 在[30,39]年龄段存钱的存到60岁时的本息和,单位为元; C 在[40,49]年龄段存钱的存到60岁时的本息和,单位为元; D E 在[50,59]年龄段存钱的存到60岁时的本息和,单位为元; 某人开始存钱到60岁存的钱的本息和, 单位为元; S p某人每月初领取退休金, 单位为元. 五、模型的建立 一、建立每个年龄段存入的金额到60岁时所产生的利息和的数学模型 分不同的年龄段求在该年龄段内每个月所存入的金额及到60岁时所产生的利息和. 由于人们是每个月的存钱，计算利率时也要用月利率，即10%/12. 1、 20—29岁 当人们在20岁~29岁中的岁开始每月存入X元时，到60岁时该月金额的本息和为a11 (1+10%/12)的b次方乘X，b为该月月利率循环的次数。计算到29岁最后一个月a11所有月份循环的次数，则b从361到12× (29-+1)+360。故在该年龄段，60岁时所a1 产生的本息和一般模型为 72012,a1b(110%/12)，xB = (化简得之) ,1b,361 其中，20<=<29 a1 2、30—39岁 当人们在30岁~39岁中的岁开始每月存入X元时，到60岁该月金额的本息和为a22 (1+10%/12)的c次方乘X，c为该月月利率循环的次数。计算到39岁最后一个月a22所有月份循环的次数，则c从241到12×(39-+1)+240。故在该年龄段，60岁时所a2 3 产生的本息和一般模型为 72012,a2c(110%/12)，x C = (化简得之) ,2c,241 其中，30<=<39 a2 3、40—49岁 当人们在40岁~49岁中的岁开始每月存入X元时，到60岁该月金额的本息和为a33 (1+10%/12)的d次方乘X，d为该月月利率循环的次数。计算到49岁最后一个月a33 所有月份循环的次数，d从121到12×(49-+1)+120。故在该年龄段，60岁时所产生a3的本息和一般模型为 72012,a3dD = (化简得之) (110%/12)，x,3 d,121 其中，40<=<49 a3 4、50—59岁 当人们在50岁~59岁中的岁开始每月存入X元时，到60岁该月的金额的本息和为a44 (1+10%/12)的e次方乘X，e为该月月利率循环的次数。计算到59岁最后一个月a44 所有月份循环的次数，e从1到12×(59-+1)。故在该年龄段，60岁时所产生的本息a4和一般式为 72012,a4eE =(110%/12)，x (化简得之) ,4 e,1 其中，50<=<59 a4 二、计算参加者从参加养老计划开始到60岁一共所得金额 基础公式 S=B+C+D+E 求解得到模型为 the same direction, between the groups transportation needs through the city centre, makes the structure and functionnization, urban traffic congestion, ... Is too low, the lack of double track bypass road on the center between the groups in traffic mode structure with the economic and social development and the accelerated process of urba4 在20~29岁时参加养老金计划 72012,a3601240120cbde(110%/12)，x(110%/12)，x+++ (110%/12)，x,,(110%/12)，x21,,34241c,b,361d121,1e, 在30~39岁时参加养老金计划 720-12a1202402cde (110%/12)(110%/12)(110%/12)，，，xxx++,,,234,,,cde2411211 在40~49岁时参加养老金计划 72012,a1203de (110%/12)(110%/12)，，xx+,,34de,,1211 在50~59岁时参加养老金计划 72012,a4e (110%/12)，x,4e,1 三、求参加者每月初领取退休金金额 ，参加者到60岁时产生的本利息和为s，从退休(60岁)开始，每月初领取退休金P但余额仍然在产生利息.以此一边产利一边领p的模式领取20年，直到80岁的最后一个月账户余额为0，并以最后一个月账户余额为0的情形建立等式，求得p. 第一个月账户余额 sp, 第二个月账户余额 ()(110%/12)spp,，，, 0第三个,，，,，，，sp(110%/12)[(110%/12)(110%/12)] 月账户余额: [()(110%/12)]sppp,，，,, 220第,，，,，，，，sp(110%/12)[(110%/12)(110%/12)(110%/12)]， 四个月账户余额: {[()(110%/12)]}(110%/12)spppp,，，,,，，, 3320 ,，，,，，，，，sp(110%/12)[(110%/12)(110%/12)(110%/12)(110%/12)]，， ...... 5 由上述结果，我们可以演绎推理出更一般的情形 即第n个月账户余额为 nnn,,,1120由于sp，，,，，，(110%/12)[(110%/12)(110%/12)(110%/12)]，，，......第80岁的最后一个月，应为第240个月，故令n为240，联系此时账户余额为0建立平衡 2401240124020,,,0= sp，，,，，，，，，(110%/12)[(110%/12)(110%/12)......(110%/12)] 2392392380 = sp，，,，，，，，，(110%/12)[(110%/12)(110%/12)......(110%/12)] 解之得的模型为: p 239240p,，[(110%/12)s，，10%]/[12(110%/12),12] 六、模型的求解 问题一的求解 72012,a3601202401bcedp,[((110%/12)(110%/12)(110%/12)，，，xxx，，，(110%/12)，x),,,,1243ce,,2411b,361d121, 239240 (110%/12)，，，10%]/[12(110%/12),12] 7201220360120,，240bced,[((110%/12)(110%/12)(110%/12)，，，，，，，，，，200200200200)(110%/12)，,,,,ce,,2411b,361,121d 239240 (110%/12)，，，10%]/[12(110%/12),12] =12205.7 问题二的求解 720-12a1202402e239cdpxx,，，，[(110%/12)(110%/12)(110%/12)()10%]++(110%/12)，x，,,,423,,,e1cd241121 240 /[12(110%/12)，,12] 720-1235，120240239cde,，，，[(110%/12)(110%/12)(110%/12)()10%]，，，，200+500+(110%/12)1000，,,,1e,,,241121cd 240/[12(110%/12)，,12] =5747.6 the same direction, between the groups transportation needs through the city centre, makes the structure and functionnization, urban traffic congestion, ... Is too low, the lack of double track bypass road on the center between the groups in traffic mode structure with the economic and social development and the accelerated process of urba6 问题三的求解 72012,a1203de239240pxx,，，，[(110%/12)(110%/12)(110%/12)()10%]/[12(110%/12)+12]，，,,,34de,,1211 7201248120,，de239240,，，，[(110%/12)(110%/12)(110%/12)()10%]/[12(110%/12)，，,1000+200012]，，,,de,,1211 =4644.4 七、模型的优缺点讨论 1、 模型优点 (1) 给出一个年龄就可以计算出相应的月退休金,若运用到实际中，会带来很大的便利; (2) 因为等式是以最后一个月的账户金额为0建立的，所以按照我们计算的值，可以p 让参加者完全取出自己的本利和，最大限度的保障了自己的利益; (3) 建模的思路简单，原理易于让他人接受; (4) 编程简单易行，可以快速计算出值( p 2、 模型缺点: (1) 该模型是在假设的条件下建立的，所以有一定的局限性，比如若没有考虑到利率 的变化，参加者能领取养老金的年龄不可能恰好到80岁等; (2) 该模型只能以参加者的整数年龄计算，即参加者开始缴纳养老金是每个年龄阶段 1月初，而不能更加细致地表现出其他月份不为1甚至是天数不为1的情况.比如 某人是27岁8月6日参加养老计划的，而不是27岁1月1日，那么在模型中就 不能很方便地计算出值. p 八、模型改进与推广 (1)上述我们只是计算了参加者开始缴纳养老金是每个年龄阶段1月初的情况，我们可以将其改进成不是1月初的情况，进一步推广，将年利率变成日利率，还可以计算出不是月初而是某一天的情况，这样就能更接近实际情况. (2)在实际生活中，利率不是一成不变的，我们可以将利率的变动情况考虑进去，进一步推广成养老金的动态模型. 参考文献 7 [1] 王化成主编，财务管理(第三版)，北京:中国人民大学出版社，2010 [2] 姜启源 谢金星 邢文训 张立平编著，大学数学实验(第2版)，清华大学出版社,2010 附录 附录一:用MATLAB编程 (1) x=[200 200 200 200]; a=[20 30 40 50]; syms b c d e B= symsum(x(1).*(1+0.1/12)^b,b,361,720-12.*a(1)); % 20岁~29岁中的岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额的本息和; a1 C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)^c,c,241,720-12.*a(2)); % 30岁~39岁中的岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额的本息和; a2 D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)^d,d,121,720-12.*a(3)); % 40岁~49岁中的岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额的本息和; a3 E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)^e,e,1,720-12.*a(4)); % 50岁~59岁中的岁开始每月存入X4元时，到60岁该月的金额的本息和; a4 S=B+C+D+E; % 从开始存钱到60岁时，总共产生本息和; S=vpa(S); % 将计算结果化成小数; p=[(1+0.1/12)^(239)*0.1]/[12*(1+0.1/12)^(240)-12]*S % 每月初领取退休金。 运行结果: p =12205.747361515939831504737414689 the same direction, between the groups transportation needs through the city centre, makes the structure and functionnization, urban traffic congestion, ... Is too low, the lack of double track bypass road on the center between the groups in traffic mode structure with the economic and social development and the accelerated process of urba8 (2) x=[0 200 500 1000]; a=[20 35 40 50]; B= symsum(x(1).*(1+0.1/12)^b,b,361,720-12.*a(1)); C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)^c,c,241,720-12.*a(2)); D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)^d,d,121,720-12.*a(3)); E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)^e,e,1,720-12.*a(4)); S=B+C+D+E; S=vpa(S); p=[(1+0.1/12)^(239)*0.1]/[12*(1+0.1/12)^(240)-12]*S 运行结果: p =5747.6671888650846543896949163785 (3) x=[0 0 1000 2000]; a=[20 30 48 50]; B= symsum(x(1).*(1+0.1/12)^b,b,361,720-12.*a(1)); C= symsum(x(2).*(1+0.1/12)^c,c,241,720-12.*a(2)); D= symsum(x(3).*(1+0.1/12)^d,d,121,720-12.*a(3)); E= symsum(x(4).*(1+0.1/12)^e,e,1,720-12.*a(4)); S=B+C+D+E; S=vpa(S); p=[(1+0.1/12)^(239)*0.1]/[12*(1+0.1/12)^(240)-12]*S 运行结果: p =4644.4837248332347384601281888253 9