本科论文--基于离散小波变换的图像数字水印

学士学位论文 摘 要 图像、音频、视频等作为信息的载体是人们进行信息交流的主要方式。作为数字产 品，它们凝结着创作者的劳动与智慧，合法所有者拥有这些数字多媒体产品的知识产权， 理应受到尊重和保护。如何有效地保护多媒体信息的版权成为信息安全领域的一个热门 问题。作为信息隐藏在计算机多媒体领域的一个重要应用，数字水印技术使得人们能够 在多媒体信息（如图像、声音、视频）中嵌入某些不可见的信息（水印）。数字水印技 术为多媒体版权保护提供了一个崭新的方法，近年来在国际上引起了人们极大的兴趣和 关注，得到广泛的研究和应用。 本文采用一种新的基于人类视觉特性的变换域数字水印 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ——基于离散小波变换 的图像数字水印。所嵌入的水印是一幅8比特的图像，利用图像的多分辨率分解技术，相同分辨率层次的数字水印嵌入到对应的相同分辨率层次的原始静态图像之中，使水印 对原始图像具有自适应性。水印图像经过插值运算分别得到高、中、低频信息，分别对 三部分进行置乱处理和位分解操作，将得到的位平面分别嵌入到原始图像三层小波变换 后的相对应分辨率层。 实验证明，该算法具有更好的透明性，嵌入的信息量和不可感知性也是传统水印无 法比拟的。 数字水印；离散小波变换；置乱处理；位分解 I 学士学位论文 Abstract As the carrier of information, image, audio, and video are the main means of information communication. And as digital products, they include originators’ work and wisdom. Thus their copyright, like the property right of the owners, should be respected and protected. How to protect multimedia data from violation has become an important issue in information security field. As one main application of information hiding technique to multimedia copyright protection, the digital watermarking technique,which embeds an invisible signal (watermark) to the original multimedia data (image,audio and video), has been proposed as a viable solution to the copyright protection and authentication of multimedia data in a networked environment since it makes it possible to identify the author, owner, distributor or authorized consumer of multimedia data. So it has drawn extensive attention in recent years and has been widely applicable Based on the characteristics of the human visual system (HVS) and image frequency domain, a new image digital watermarking approach is proposed in this paper. The imbedded watermark is a grey level picture. Utilizing multi-resolution ratio of image decomposed technology, we can imbed digital watermark in the primitive static picture of the same resolution ratio level so that the watermark is adapted to primitive image itself. After the operation of watermark picture inserted value, it will get three kinds of different frequency information(high、hit、 low). Then dealing with three parts separately with Arnold algorithm and decomposing them, we can get eight bit-levels and then imbed them into the primitive picture which switched by discrete wavelet transform (DWT) three times. The experiments prove that this algorithm is better than the traditional watermarking in transparency, the amount of information imbedded and intangible. Key Words: Digital Watermarking; Discrete Wavelet Transform; Deal with arbitrarily; Decompose in the location II 学士学位论文 目录 1 绪 论 .................................................................. 1 1.1 数字水印的研究背景 ............................................... 1 1.2 数字水印技术简介 ................................................. 1 1.3 数字水印研究意义 ................................................. 2 1.4 数字水印的研究现状 ............................................... 2 1.4 数字水印的分类 ................................................... 3 1.5 数字水印的特点 ................................................... 5 1.6 数字图像水印的基本原理 ........................................... 5 2 数字水印算法基础 ...................................................... 7 2.1小波基本理论 ...................................................... 7 2.1.1 小波简介 ................................................... 7 2.1.2 小波及小波变换 ............................................. 8 2.1.3 多分辨分析 ................................................ 10 2.1.4 塔式分解 .................................................. 12 2.2 小波变在图像处理中的应用 ........................................ 15 3 基于小波变换的彩色图像数字水印算法 ................................... 18 3.1 水印的构成 ...................................................... 18 3.2 彩色图像特点及颜色空间转换 ...................................... 18 3.2.1 三基色原理 ................................................ 19 3.2.2 彩色理论 .................................................. 19 3.2.3 颜色空间转换 .............................................. 20 3.3 人类的视觉特性 .................................................. 20 3.3.1 视觉的生理学特性 .......................................... 21 3.3.2 人类视觉系统的心理特性 .................................... 21 3.4 彩色图像数字水印算法 ............................................ 22 3.4.1 小波变换域中水印嵌入的分析 ................................ 23 3.4.2 水印嵌入过程 .............................................. 25 3.4.3 水印抽取过程 .............................................. 27 3.5 实验及实验结果 .................................................. 27 3.5.1 水印嵌入实验 .............................................. 27 3.5.2 水印提取实验 .............................................. 28 4 开发平台 ............................................................. 29 4.1虚拟仪器概述 ..................................................... 29 4.1.1 什么是虚拟仪器 ............................................ 29 4.1.2 虚拟仪器的优点 ............................................ 30 4.1.3 虚拟仪器的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 方法 ........................................ 30 4.2 图形化编程语言 LabVIEW .......................................... 31 4.2.1 什么是LabVIEW ............................................. 31 4.2.2 LabVIEW软件的特点 ......................................... 31 III 学士学位论文 4.2.3 LabVIEW的调试与运行 ....................................... 32 4.3 MATLAB语言特点介绍 ............................................. 32 5 彩色图像数字水印系统的设计 ........................................... 34 5.1 系统的设计 ...................................................... 34 5.2 图像的读入模块 .................................................. 34 5.3 图像颜色空间转换模块 ............................................ 35 5.4 图像小波分解模块 ................................................ 36 5.5 水印嵌入模块 .................................................... 37 5.6 水印抽取模块 .................................................... 38 5.7 系统界面的设计 .................................................. 38 结 论 ................................................................... 40 致 谢 ................................................................... 42 参考文献 ................................................................ 43 附录A 英文原文 ......................................................... 45 附录B 汉语译文 ......................................................... 52 IV 学士学位论文 1 绪 论 1.1 数字水印的研究背景 随着多媒体信息技术和计算机网络的迅猛发展，互联网上的数字媒体应用正在呈爆 炸式的增长。由于数字信号易于编辑及方便、快捷、无失真的被复制，数字声音、文本、 图像和视频易于通过电子的（网络）或物理的（CD-ROM）低价高速的迅速传输和分配等，因此数字媒体有着一些模拟媒体不可比拟的优点，这些都为电子图书馆、在线服务 和电子商务等先进的多媒体服务提供了广阔的发展前景。然而快捷、准确廉价的数字传 输手段在为人们带来无限机遇的同时，随之而来却导致了数字产品的非法拷贝，恶意篡 改，再次传播和盗用。例如：多媒体作品的版权侵犯、软件和文件的非法拷贝、电子商 务中的非法盗用和篡改、网络中信息的非法截取和查看、设置黑客攻击等等。因此如何 在网络环境中实施有效的版权保护（Copyright Protection）和安全信息（Information Security）手段成为一个迫在眉睫的现实问题。 近年来，国际上开始提出并尝试一种新的关于信息安全的概念，开发设计出一种不 同与传统密码学的技术——信息隐藏技术。信息隐藏技术是研究一种如何将某一信息隐 藏于另一公开信息中，然后通过公开信息的传递来传递隐藏信息。由于含有隐藏信息的 媒体发布是公开的，而可能的检测者难以从公开信息中判断隐藏信息是否存在，更加难 以截获隐藏信息，从而达到保证信息安全的目的。 1.2 数字水印技术简介 [2]数字水印（digital watermarking）技术是信息隐藏技术之一，是信息隐藏技术形象 生动的应用。目前，人们公认的对于数字水印的定义是1999年Frank Hartun在 《Multimedia Watermarking Techniques》一文中给出的定义：数字水印是一种被嵌入到载体数据中，具有安全性（Security）、鲁棒性（Robustness）和不可见性(Imperceptibility) 的数字编码。 传统水印技术是在纸带成型过程中，利用网上成型技术，在纸页刚刚交织形成还带 有水分时，通过特殊工艺使湿纸页组织变位，形成各种标记和图案。在普通可见光源透 射的条件下，可以看到隐藏在纸张中的清晰的水印图案。这种技术被广泛应用于钞票、 1 学士学位论文 邮票、发票和证券等有价证券的防伪技术中。 数字水印技术是将水印标识信息，利用数字内嵌的方法隐藏在数字图像、声音、文 档、图书、视频等数字产品中，用以证明原创作者对其作品的所有权，并作为鉴定、起 诉非法侵权的证据，同时通过对水印的探测和分析保证数字信息的完整可靠性，从而成 为知识产权保护和数字多媒体防伪的有效手段。数字水印技术除具备信息隐藏技术的一般特点外，还有着其固有的特点及研究方法。例如，从信息安全的保密角度而言，隐藏 的信息如果被破坏掉，系统可以视为安全的，因为秘密信息并未泄漏；但是，在数字水 印系统中，隐藏信息的丢失意味着版权系统的丢失，从而失去了版权保护的功能，这一 系统就是失败的，数字水印技术为电子数据的版权保护提供了一个潜在的有效手段，引 起了国际学术界及企业界的广泛关注，它已经成为目前国际学术界研究的一个前沿热门 方向。 1.3 数字水印研究意义 信息媒体的数字化为信息的存储提供了极大的便利，同时也显著提高了信息表 达的效率与准确度。特别是随着计算机网络通信技术的发展，人们借助于计算机，数字 扫描仪，打印机等设备可以方便，迅捷的将数字信息传达到世界各地。水印技术可以使 通过网络传输的数据文件或作品受到保护，跟踪有恶意的个人或团体在没有得到作品所 有者的许可下拷贝和传播有版权的内容的侵权和盗版行为。因此在网络环境中实施有效的版权保护和信息安全手段成为一个迫在眉睫的现实问题。近几年发展的数字水印为版 权保护和信息安全等问题提供了一个潜在的解决方案，因而引起了国际学术界，工业界 和政府有关部门的广泛关注。 1.4 数字水印的研究现状 从公开发表的文献看，国际上在数字水印方面的研究刚开始不久，但由于有大公司 的介入和美国军方及财政部的支持，该技术研究的发展速度非常快。1998年以来，《IEEE 图像处理》、《IEEE会报》、《IEEE通信选题》、《IEEE 消费电子学》等许多国际重要期刊都组织了数字水印的技术专刊或专题新闻报道。 在美国，以麻省理工学院媒体实验室为代表的一批研究机构和企业已经申请了数字 水印方面的专利。1998年，美国政府报告中出现了第一份有关图像数据隐藏的AD报告。 2 学士学位论文 目前，已支持或开展数字水印研究的机构既有政府部门，也有大学和知名企业，它们包 括美国财政部、美国版权工作组、美国空军研究院、美国陆军研究实验室、德国国家信 息技术研究中心、日本NTT信息与通信系统研究中心、麻省理工学院、伊利诺斯大学、 明尼苏达大学、剑桥大学、瑞士洛桑联邦工学院、西班牙Vigo 大学、IBM公司Watson研究中心、微软公司剑桥研究院、朗讯公司贝尔实验室、CA公司、Sony公司、NEC研究所以及荷兰菲利浦公司等。 1996年5月30日～6月1日，在英国剑桥牛顿研究所召开了第一届国际信息隐藏 学术研讨会，至今已举办了三届。SPIE和IEEE的一些重要国际会议也开辟了相关的专 题。 我国学术界对数字水印技术的反应也非常快，已经有相当一批有实力的科研机构投 入到这一领域的研究中来。为了促进数字水印及其他信息隐藏技术的研究和应用，1999年12月，我国信息安全领域的何德全院士、周仲义院士、蔡吉人院士与有关应用研究 单位联合发起召开了我国第一届信息隐藏学术研讨会。2000年1 月，由国家“863”智能机专家组和中科院自动化所模式识别国家重点实验室组织召开了数字水印学术研讨会， 来自国家自然科学基金委员会、国家信息安全测评认证中心、中国科学院、北京邮电大 学、国防科技大学、清华大学、北方工业大学、上海交通大学、天津大学、中国科技大 学、北京大学、北京理工大学、中山大学、北京电子技术应用研究所等单位的专家学者 和研究人员深入讨论了数字水印的关键技术，报告了各自的研究成果。从这次会议反应 的情况上看，我国相关学术领域的研究与世界水平相差不远，而且有自己独特的研究思 路。 目前，已支持或开展数字水印研究的机构既有政府部门，也有大学和知名企业，它 们包括美国财政部、美国版权工作组、美国空军研究院、美国陆军研究实验室、德国国 家信息技术研究中心、日本NTT信息与通信系统研究中心、麻省理工学院、伊利诺斯 大学、明尼苏达大学、剑桥大学、瑞士洛桑联邦工学院、西班牙 Vigo大学、IBM公司Watson研究中心、微软公司剑桥研究院、朗讯公司贝尔实验室、 CA公司、Sony公司、NEC研究所以及荷兰菲利浦公司等。 1.4 数字水印的分类 [2]目前，水印技术发展迅速，新的算法层出不穷。一般说来，每种算法都具有一定 3 学士学位论文 的针对性，为了更好的理解这些算法，我们将从各个角度出发，系统地对水印算法进行 归类。 （1）按特性划分 按水印的特性可以将数字水印分为鲁棒水印(Robust Watermark)和易损水印(Fragile Watermark)两类。鲁棒水印主要用于数字作品中著作权信息的标识，如作者、作品序号 等，它要求嵌入的水印能够经受各种常用的编辑处理，如对图像来说，要求能抵御噪声 干扰、JPEG压缩等基本的处理过程:易损数字水印则主要用于完整性保护，它对信号的 改动很敏感，人们根据易损水印的状态就可以判断数据是否被篡改过。 （2）按检测过程划分 按水印的检测过程可以将数字水印划分为明文水印(Reception-with-original Watermark)和盲水印(Blind Watermark)。明文水印在检测过程中需要原始数据，而盲水印 的检测不依赖于原始数据。一般来说，明文水印的鲁棒性相对较强。 （3）按内容划分 按数字水印的内容可以将水印划分为有意义水印(Content-based Watermark)和无意义水印(Unmeaning Watermark)。有意义水印是指水印本身也是某个数字图像(如商标图像)或数字音频片段的编码等;无意义水印则只对应于一个序列号，如人们最常用的伪随 机序列。 （4）按用途划分 不同的应用需求造就了不同的水印技术。按水印的用途，我们可以将数字水印分为 篡改提示水印(Tamper Assessment)、票据认证水印(Bill Identification)、数据监视追踪水印(Data Monitoring and Tracking)、版权保护水印(Copyright Protection)和隐蔽通信水印(Covert Communication)等，它们对于鲁棒性的要求呈不断提高的趋势。 （5）按密码学划分 结合密码学的思想又可以把水印分为对称水印(Symmetrical Watermark)和非对称水印(Unsymmetrical Watermark)两类。当水印的嵌入和提取使用相同密钥时，即为对称水 印，也被称为公开水印(Public Watermark);当水印嵌入采用公钥，而提取时采用只有授权 方才有的私钥时，即为非对称水印，也称为私有水印(Private Watermark)。 （6）按载体数据的性质划分 按水印所附载的媒体，我们可以将数字水印划分为图像水印(Image Watermark),音频水印(Audio Watermark)、视频水印(Video Watermark)、文本水印(Text Document Watermark)以及用于三维网格模型的网格水印(3D Grid Watermark)等。随着数字技术的发展，会有 更多种类的数字媒体出现，同时也会产生相应的水印技术。 4 学士学位论文 （7）按水印隐藏的位置划分 按数字水印的隐藏位置，我们可以将其划分为空间域数字水印、变换域数字水印。 空间域数字水印(Spatial watermark)直接在信号空间上叠加水印信息，而变换域数字水 印、则可选择在不同的变换域实现水印的嵌入，如离散傅立叶变换域(DF1') ,离散余弦变换域(DCT)和离散小波变换域(DWT)等。随着数字水印技术的发展，各种水印算法层出 不穷，水印的隐藏位置也多种多样。应该说，只要构成一种信号变换，就有可能在其变 换空间上隐藏水印。 本文将重点研究数字水印中的不可见数字图像水印。 1.5 数字水印的特点 1.不可见性:水印应该是视觉上不可见的，即嵌入水印后图像的变化对观察者的视觉 系统来讲应该是不可察觉的。其存在不应该影响原始图像的视觉感知效果。 2.可检测性:利用一定的抽取方法，水印可被抽取出来，用来验证身份和版权保护。 3.鲁棒性:要求水印必须能够抵抗传输过程中可能受到的处理或变形，使得版权信息 最终能够被提取出来，以证明作品的所有权 4.保密性:水印结构和嵌入算法是秘密的，统计上是不可检测的。可以利用它来传输 一些重要文件和专用保密图像。 5.唯一性:用特定的算法，使所加入的水印具有唯一的确定性和不可取代性。 1.6 数字图像水印的基本原理 从信号处理的角度看，嵌入载体对象的水印信号可以视为在强背景下叠加一个弱信 号，由于人眼的视觉系统（Human Visual System---HVS）的分辨率受到一定的限制，只 要叠加的水印信号的强度低于水印视觉系统的对比门限，HVS就无法感知到信号的存在。因此对载体对象做一定的调整，有可能在不引起人的感知的情况下嵌入一些信息。 从数字通信的角度看，水印嵌入可理解为在一个宽带信道上用扩频通信技术传输一 个窄带信号。尽管水印信号具有一定的能量，但分布到信道中任一频率上的能量是难以 检测的。 另一方面，从数字通信的角度来看，水印嵌入过程可理解为在一个宽带信道(原始图像)上用扩频通信技术传输一个宽带信号(水印信号)，尽管水印信号具有一定能量，但 5 学士学位论文 分布到信道中任一频率上的能量是难以检测的，水印提取过程则是一个有噪信道中弱信 号的检测问题。 只有单纯的水印嵌入的过程不是一个完整的数字水印处理过程，水印提取或检测是 水印算法中另一个重要的步骤。只有从嵌入水印信号后的图像中提取出预期的水印信号 才能最终达到保护版权、保护完整性的目的。运用数字水印提取/检测算法，从含有水印的检测数据中提取水印或检测该信息中是否含有水印。 在水印提取/检测过程中，有可能需要原始图像或者原始水印信号的参与，也可能不 需要，这由所采用的水印提取/检测算法决定。在对水印图像提取水印信号以前，还需要 先对嵌入水印图像进行必要的预处理。本文研究的是需要原图的提取。 尽管水印有多种形式，但是基本的原理包括两个方面：嵌入水印和提取水印。嵌入水印 的基本模型： 水印嵌入算法 掩体对象 隐藏对象 水印信息 图1.1 水印嵌入框图 抽取水印的模型我们采取的是需要原始掩体对象的模型: 原始掩体对 象 水印提取算法 水印信息 隐藏对象 图1.2 水印提取框图 6 学士学位论文 2 数字水印算法基础 本课题主要研究的数字水印技术是应用在版权保护方面的非盲水印，即需要具有不 可感知性和鲁棒性两个特征，在水印的提取过程中需要原始数据；并且原始图像是针对 彩色图像，再变换域进行水印的嵌入和提取得，以下详细介绍这种数字水印的理论基础 根据数字水印隐藏的位置不同，水印算法分为空域算法和变换域算法，空域数字水 印算法是直接在信号空间上叠加水印信息，直接改变图像元素的值，一般是在图像元素 的亮度和色带中加入调制的水印信号。虽然简单直接可嵌入的信息量大、便于实现，但 水印的鲁棒性很弱，基本不具有抗攻击能力，因此不适应像版权保护和数字指纹这一类 需要强鲁棒性的应用，而只能用于构造隐蔽通信这类更关心安全性和传输信息量，但并 不强调水印信息的鲁棒性的应用体系，为了能够适应版权保护这一具有巨大市场前景应 用的需求，数字水印的研究方向转向追求鲁棒性水印的方向，基于变换域的水印算法应 运而生。变换域数字水印是充分利用数字图像的频域特征，将数字图像经某种频域变换 方法变换后，然后再将水印信息加到生成的频域矩阵中的方法。相对于在图像空域中加 入水印的算法，它有着许多优点，在变换域算法中我们常用的有离散小波变换（DWT）和离散傅立叶变换（DFT），在本课题中我们用到的是离散小波变换。 2.1小波基本理论 2.1.1 小波简介 传统的信号分析理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier作为一种全局性的变换，具有一定的局限性。于是在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改造，小波分析因此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样条分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域特别是在信号处理，图像 处理，以及众多分线性科学领域，它被认为是继Fourier之后的又一有效的视频分析方法。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，它具有多分辨率分 析（Multiresolution Analysis）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能 力，是一种窗口大小固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分 7 学士学位论文 析方法。在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高 的时间分辨率和较低的时间分辨率，和适合探测正常信号中夹带的瞬间反常现象并展示 其成分。所以，被誉为分析的显微镜，利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断 具有良好的效果。 小波分析与Fourier分析的基本区别在于：Fourier分析只考虑时域与频域之间的一对一的映射，它以单个变量（时间或频域） 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 表示信号：小波分析则利用联合时间— 尺度分析非平稳信号。小波分析与时频分析的区别在于：时频分析在时频平面上表示非 平稳信号，小波分析虽然也在二维平面上表示非平稳信号，但不是在时频平面上，而是 在所谓的时间—尺度平面上。 2.1.2 小波及小波变换 小波、小波分析，是小波应用的基础，我们给出定义如下： 小波函数定义：函数称为母小波函数，如果它满足如下允许条件： ,()t 2，,,,() ( 2.1 ) Cd,,,，,,,0, 或相应的等价条件： ，,,()0tdt, （2.2） ,,, 其中,,()是,()t的傅立叶变换。 式（2.1）说明,()t具有一定震荡性，即它包含着某种频率特性。对满足（2.1）或(2.2) ,()t的母小波函数作伸缩、平移得 ： 1tb,,2,,()()ta, （2.3） ab.a ,()taR,,{0}式中,为平移因子；,为尺度因子；称为小波基函数，简称小波。 bR,ab.式(2.3)中变量a反映函数的尺度(或宽度)，变量b检测沿t轴的平移位置。一般情况下， ,()t,()t母小波函数的能量集中在原点，小波函数的能量集中在b点。 ab. 22ftLR()(),LR(),()tft()小波变换定义：设信号（为平方可积函数），为母小波函数，则的连续小波变换（CWT）为： 8 学士学位论文 1 (2.4) tb,,2(,)(,)(),()()(),,WabCWTabfttftadt,,,,,fab.,Ra ,()t其中表示的复共轭。 ,()t 逆变换定义： 1，,，,1tbdadb,,2ftWa()(),, (2.5) (,)2fab,,0,,Caa, C其中常数由式（2.1）确定. , 由CWT的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换。同傅立叶 Wab(,)变换相似，我们称为小波变换系数。由于小波基不同于傅立叶基，因此小波变f 换与傅立叶变换有许多不同之处。小波变换对函数在小波基上的展开具有多分辨率ft()的特性，这种特性正是通过放缩因子a和平移因子b来得到的。根据a,b的不同可以得 到小波变换下不同时、频宽度的信息，从而实现对信号f(t)的局部化分析。而在实际应用中，尤其是在数字信号处理领域里，为了实际计算的需要，常常要使用离散形式的小 波变换，也就是将函数的积分形式展开为级数和的形式。下面我们给出离散小波形ft() 式和离散小波变换。 ,()t离散小波是通过把小波函数中的参数a,b 离散化得到的，参数ab,的离散形ab, 式为： m (2.6) aabnbamnZ,,,,,0,00 ,()t定义：若是满足（2.1）式的小波母函数，并可以用下式表示 ,m2,m,,()(),,taaxnbmnZ,,, （2.7） mn,000 ,()tab称为离散小波（Discrete Wavelet）。特别地，当=2且=1时，就可以得到mn,00 二进小波（Dyadic Wavelet）: ,,mm2()2(2),,txnmnZ,,,,, ( 2.8 ) mn, 二进小波是满足可容性条件的小波，它具有很多优良特性，是离散小波中最常用的一种 形式。函数f (t)的离散小波变换，即在小波基上将其展开为小波级数和的形式。定义： 2fklZ()(),ft()fk(),()t设信号取离散值，，，为母小波函数，kZ, mm2,,()2(2)kkn,,mnkZ,,,fk()，，则的离散小波变换（DWT）为： ,ab mm （2.9） 2DWTmnfkkfkkn(,)(),()2()(2),,,,,,,,k 9 学士学位论文 逆离散小波变换为： (2.10) fkDWTmnk()(,)(),,,,mn,mn 对众多的小波我们可以根据不同的分类 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 对其进行分类，根据小波函数本身,()t ,()t可以把它分为单小波和多重小波;根据框架理论可以把分为正交小波，半正交小波mn,和非正交小波。框架是对 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 正交基的推广，下面给出小波框架的定义。 定义：满足下述条件的离散小波称为框架 222 （2.11） AftfttBft()(),()(),,,,,,mn,mn,20,()(),,,,,ABftLR 其中，。 ,()t把A,B称为框架边界（Frame Bounds）,在（2.11）中，当A=B时称为紧框架，特mn,别是当A=B=1时构成一组正交基。 正交小波和正交小波基在小波、小波分析理论中占有非常重要的地位，下面给出正交小 波和正交小波基的概念。 22,()()tLR,{(),}()tmnZLR,,,定义：设小波母函数，若函数族 满足以下条件： ,mn ,,,,,,,,,(,)(,),,,,jmknjkmnZ （2.12） jkmn,, 2LR()则称,()t构成的正交小波。 22,()()tLR,LR()定义：小波母函数满足（2.12）式，若函数族构成的{(),},tmnZ,mn, 2LR()一组正交基，则称该函数族为的正交小波基。 2.1.3 多分辨分析 2LR()不论是连续小波变换还是离散小波变换，能够得到空间的一组正交基是非常 22LR()lR()重要的，这样我们就可以把空间中的函数与中的数列对应起来。小波分析能 2LR()够为提供一个结构简单并且具有良好局部性质的正交基，为此我们从多分辨分析 开始。 22LR()LR() 我们称中的一系列闭子空间{ }构成的一个多分辨分 VmZ,m 析(MRA )，如果满足以下条件: VV,1）单调性: ； (2.13) mZ,mm，1 2VVLR,,{0};()2）逼近性: ； (2.14) mm,,mZmZ ,()xV,V3 ) Riesz基存在性:存在使得{}构成子空间的Riesz基。 ,()xnnZ,,00 10 学士学位论文 4)伸缩性: ; (2.15) fxVfxVmZ()(2);,,,,mm，1 jj，15)平移不变性: ; (2.16) ,,(2)(2)xVxkV,,,,jj，1 满足以上条件的函数称为尺度函数，由经伸缩、平移得到的子空 ,()x,()x 2LR()间族{}称为由生成的的一个多分辨分析(MRA)。 ,()xVmZ,m V 上述条件（3）是非常重要的，它说明如果{}是子空间的Riesz基，,()xnnZ,,0 V但不一定就是子空间的正交基。但是，我们有以下定理保证规范正交基的存在性。 0 2LR()定理1如果{}是的一个多分辨分析，则存在唯一的一个尺度函数并,()xVmZ,m 2,()()xLR,且有。 定理2如果是由MRA产生的一个尺度函数，记是脉冲向应 ,()xH(), 1x的离散Fourier变换， ,,,,,,hnxn()(),()22 ,,m,2Hhne()(),, (2.17) 2 则，H(),满足下列两个性质: 1性质1 (2.18) HhnO(0)1,()(),,2n22性质2 HH()()1,,,，，, (2.19) , 反之，如果H(),,()x满足上述两个性质，且对 都有则可以H()0,,,,[0,],2通过下式求得。 ,^,,,()(),H (2.20) j,2^j,1 ,,(),()x其中，是的Fourier变换。 H(),(2.11)式又被称为精确重构条件，把满足式(2.11)的称为共轭滤波器。 2LR()定理3 如果 {}是的一个多分辨分析，,()x是由MRA产生的一个尺度函VmZ,m H(),,()x数，是相应的共扼滤波器，令函数的Fourier变换 ^^,,,,,()()(),G为 （2.21） 22 ,,i,,2其中 GeH()(),，,22 jj2W,,()2(2)xxn,,令，则是的规范正交基，构成{()},xnZ,{(),},xjnZ,j,jnjn,jn,2VVW,,LR()的规范正交基，其中。 jjj，1 V由于有以上三个定理作保证，子空间的正交基一定存在，规范正交基也必定存在，k 11 学士学位论文 并且可以通过尺度函数获得。由此我们能够看出尺度函数的重要性，在实际应,()x,()x用中尺度函数不容易直接求得，一般可由(2.20)式先求出尺度函数的Fourier变,()x,()x ^ V换形式，再通过反变换求得。在下面给出子空间的规范正交基的概念。 ,()xkkk222定义：设如果是正交的，即满足： ,(),,nVLRnLRxxn,,,,,,();()();()2(2),,,kkn, （2.22） ,,,,,,,,,,(),()(,)nlnl V则称构成的一组规范正交基。 {()},,,,nnZk 上面我们介绍了一维情况下的多分辨分析，在数字图像处理中要用到二维多分辨分 析，我们可以把它推广到二维或更高维空间中去。 2.1.4 塔式分解 非平称信号的频率是随着时间变化的，分为慢变和快变两部分。慢变部分对应着信 号的低频部分，代表信号的主题轮廓，而快变部分对应信号的高频部分，表示信号的细 节，与此相似，图像也分解为两个部分:低频部分和高频部分，他们分别相对于图像的轮 廓边缘和细部纹理。著名的塔式算法，其基本思想是将原整幅图像fxy(,)视为一个分辨 0,jAfAf率为21,的离散逼近，它可以分解为一个较低(粗)分辨率2的逼近与若干个j0 ,jDf2高分辨率，（0