周期性函数分解的傅里叶级数
周期电压、电流等都可以用一个周期函数
表
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示,即式中T是周期函数的周期,且
如果给定的周期函数在有限的区间内,只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值,那么就可以展开成一个收敛的级数(三角级数)
设给定的周期函数,则可展开成
上式中的系数,可按下列公式计算:
这些公式的对导,主要的依据是利用三角函数的定积分的特点。
设m.n是任意整数,则下列定积分成立:
,
,
,
,
这种特点陈为三角函数的正交性质。
案例来说,如果要确定系数,把式(1)两边各乘以,并对两边取定积分,有
以上式右边来看,利用三角函数定积分的公式,不难看出最后只剩下包括的一项,故有:
所以
特此结束推广到,有
同理,如果用去乘以式(1)的两边后再取积分,则可求得
至于,可以对式(1)两边就一个周期求定积分,得
从而有,故是在一个周期内的平均值。
2.方波的傅里叶级数展开式:
给定一个周期性信号,其波形如图所示,对一个周期性方波(矩形波)
求此信号,的傅里叶级数展开式
的表达式是
,
,
按式(2),可求得所需要的个数,即
,表示恒定分量为零,因为代表在一个周期内的波形
上下面积的代数平均值,因此当波形上下面积相等时,即为零。
当k为偶数时,
所以
当k是奇数时,
所以
由此求得,
如果取上列展开式的三项,分别画出各自的曲线再相加,就
可得到如图所示的合成曲线。
傅里叶级数是一个无穷级数,因此把一个非正弦周期函数分
解为傅里叶级数后,从理论上讲,必须取无穷多项方能准确地
代表原函数。从实际运算来看,必须取有限的项数,因此就产
生了误差问
题
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。截取项数的多少,视要求而定。这里涉及到级数收敛的快慢问题。或者说,就是相续项数的比值大小的问题,如果级数收敛很快,只取级数前几项就够了,五次谐波一般可以略去。而像图1所示的矩形波(方波)其收敛速度比较慢。例如取或,则
当取无穷项时,将得到,这是准确值。但如果取到11次谐波,算出的结果约为0.95。