第三节 反函数的导数 复合函数的求导法则

第三节 反函数的导数 复合函数的求导法则 第三节 反函数的导数 复合函数的求导法则 一、反函数的导数 y,f(x)设是直接函数，是它的反函数.由反函数的，，x,,y 连续性定理，如果在区间内单调且连续，那么它的I，，x,,yy ,,，，I,xx,,y,y,Iy,f(x)反函数在对应区间也是单调连续的. xy 定理1 (反函数的求导法则)如果函数在某区，，x,,y ,y,f(x)内单调、可导且，那么它的反函数在对应间I，，,y,0y 1,，，fx,区间内也可导，且. Ix,，，,y 简单地说就是:反函数的导数等于直接函数导数的倒 数. y,f(x),,,，,,xxxxI0,证 任取，给以增量.由的xI,x，，xx 单调性可知 ， ，，，，,y,fx，,x,fx,0于是有 ,y1, . ,x,x ,y y,f(x),y,0,x,0由的连续性，当时，必有. ,x,,,lim0y,,而在点y可导且，即，则 ，，，，x,,y,y,0，，,,y0,y ,y11limlim,,， ,,,,xy00,x,,,xy，， ,y 1,y,f(x)，，fx,这就是说，在点可导，且有成立.由于是xx,，，,y y,f(x)区间内任意取定的一点，所以在内可导，且IIxx 1,，，fx,. ,，，,y x例1 求指数函数 的导数. y,a，，a,0且a,1 x解 yaxR,,为y,，,0,的反函数，且xy,log,xy,log，，，，aa 在0,，,内单调、可导，又 ，， 1,,xy,,,log0 ， ，，ayaln 111x,yyaaa,,,,,lnln所以 ， ,1,xlogy，，ayaln ,xxaaa,ln即 . ，， ,xxee,特别地，时，. a,e，， yx,arcsin例2 求函数和的导数. yx,arccos ,,,,xyy,sin,,,, 解 为的反函数，，，y,arcsinx,,1,x,1,,22,, ,,,,xy,sin,,在区间内单调、可导，且 ,,22,, ,,xyy,,,sincos0， ，， 11111,y,,,所以， ,,,22,xycos1sin1,,yxsiny，， 1,arcsinx,即 . ，，21,x 1,类似方法可求得 arccosx,,. ，，21,x y,arctanxy,arccotx例3 求和的导数. ,,,,xyy,tan,,,,y,arctanx 解 ，为的反函数，，，x,,,,，,,,22,, ,,,,,,xy,tan在区间内单调、可导，且 ,,22,, 2,,， xyy,,,tansec0，， 11111,所以， y,,,,,， 222,,xyyxsec1tan1，，tany，， 1,即 . arctanx,，，21，x 1,类似方法可求得 . arcxcot,,，，21，x 二、复合函数的求导法则 在前面，我们应用导数的四则运算法则和一些基本初等函数的导数公式求出了一些比较复杂的初等函数的导数.但是对于像 33xx ，lntanx， ecos21，x 这样的函数，我们还不知道它们是否可导，可导的话如何求它们的导数.下面我们将给出复合函数的求导法则来解决这些问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 . 定理2 (复合函数的求导法则)如果函数在点，，u,,xx y,f(u)可导，而函数在对应的点可导，则复合函数，，y,f,,,xu dydydu,,,也在点处可导，且其导数为或. ,xfxfux,,,，，，，，，，，,,，，dxdudx y,f(u),x证 当自变量有增量时，对应的函数与，，u,,xx ,y的增量分别为和. ,u ,ydyy,f(u)由于可导，即存在，于是根据极限与无lim,,,u0,udu穷小的关系，有 ,ydy， ,,，,udu其中是时的无穷小.以乘以上式两边得 ,u,0,u, dy ,,,，,,yuudu用除上式两边，得 ,x,0 ,,,ydyuu . ,,，,,,xduxx 因为在点可导，又根据函数在某点可导必在该，，u,,xx 点连续，可知在点处是连续的，所以 ，，u,,xx ,udulimlim0,,,,，且当时，，从而. ,x,0,u,0lim,,,,,xu00,,x0,xdx ,,,ydyuudyuudydu,,，，limlim,,，所以 ， limlimlim,,，,,,,,,,xx00,,,,,,xxx000,,,xduxxduxxdudx,,，， dydydu即 ,dxdudx ,,,或记为 . fxfux,,,，，，，，，，，,,，， 上述定理说明，复合函数的导数等于已知函数对中间变 量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 显然，上述法则也可用于多次复合的情形.例如，设 uv,,vx,,，，都可导，则 ，，y,fu，，，， dydydudv， ,dxdudvdx ,，，,,,或记为 . fxfuvx,,,,,，，，，，，，，，，,,，， dy3例1 已知，求. ，，y,2x，1dx 33解 可看作复合而成，因此 ，，y,2x，1yuux,,，,21 ,dydydu,2322. ,,,,，,,,,，uxuux21326621，，，，，，dxdudx 2,,f(x),x，1例2 设，求，. ，，，，f0f1 1222f(x),x，1 解 可看作复合而成，因此 yuux,,，,1 ,1,,,dydyduxx122， ,,,,，,,,,uxx12，，,,2dxdudx2uux，1,, 1,,，，，，f0,0,f1,. 2 3dyx例3 ，求. ye,dx 33xuux, 解 可看作与复合而成， ye,ye, ,3dydyduuux322. 33,,,,,,,exexxe，，，，dxdudx 运算比较熟练以后，就不必再写出中间变量，只要分析 清楚函数的复合关系，做到心中有数，就可以直接求出复合 函数的导数. 1dy2ytan例4 ，求. ,xdx ,,,,2，，dy1111111,,,,,,,,22 解 ,,,,tantan2tantan2tansec ,,,,,,,,,,dxxxxxxxx,,,,,,,,,,，， 111211,,22,,,,2tansecsectan. ,,22xxxxxx,, dyx例5 ，求. ye,lncos()dx x,sine，，dy1,,,xxxxx，，，，解 . ,,,,,lncos()cos()tan()eeeee，，xx，，，，dxcos()cos()ee dy2y,ln(x，x，1)例6 ，求. dx ,,dy122，，解 ,，，,，，ln(1)1xxxx，，2，，dxxx，，1 ,，，12 ,，，11x,,，，2xx，，1，， ,,12x ,，1,,22xxx，，，121,, 2111xx，，. ,,,222xxxx，，，，111 下面来看一个实际问题. 32/minm例7 若水以的速度灌入高为，底面半径为10m5m 的圆锥型水槽中(图2-5)，问当水深时，水位的上升速6m度为多少, 解 如图2-5所示，设在时间为时，水槽中水的体积为t，水面的半径为，水槽中水的深度为. Vyx dV3由题意有，. ,2/minmdt x5112, 且有，即. ,,xy,Vxyy1023 13因此 ， ,,Vy12 dydV4dVdy12,将上式求导得 ，即. ,,y2,dtydtdtdt4 dV3ym,6将及代入上式得 ,2/minmdt dy422， ， ,,,0.071/minm，，,,dt，369所以，当水深6m时，水位上升速度为0.071/minm. 5m 10cm y