中考数学三角形有关真题

　　　 中考数学---三角形 一、选择题 1．（2010年上海）下列命题中，是真命题的为（ ） A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似 【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】涉及到真假命题的判定（能够判别真假的语句）以及相似形概念(对应边成比例对应角相等)或判定的理解，可以顺利得到 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 【答案】D 【涉及知识点】命题的判定以及相似形概念或判定定理 【点评】本题涉及到两个知识点，主要考查学生对命题的判定以及相似形概念或判定定理的掌握，由于属于常规题型，仍然属于送分题． 【推荐指数】★★★ 2．2010江苏泰州，7，3分）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 【分析】⑴假设以27cm为一边，把45cm截成两段，设这两段分别为xcm、ycm（x＜y）．则可得： ①或②（注：27cm不可能是最小边），由①解得x=18，y=22.5，符合题意；由②解得x= ，y= ，x+ y= + = =54＞45，不合题意，舍去． ⑵假设以45cm为一边，把27cm截成两段，设这两段分别为xcm、ycm（x＜y）．则可得： （注：只能是45是最大边），解得x=30，y= ，x+ y=30+37.5=67.5＞27，不合题意，舍去． 综合以上可知，截法只有一种． 【答案】B 【涉及知识点】相似三角形的判定 【点评】在判定三角形相似，未明确对应关系时，特别注意不要忘了分类，再根据不同的对应关系分别计算要求的线段． 【推荐指数】★★★★ 3．（2010四川宜宾，7，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ） A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 【分析】易证△BCD与△ABC相似，而周长比等于相似比，相似比等于对应边的比．△BCD与△ABC的相似比＝ ，且∠BCD ＝∠A=30°，所以sin∠BCD＝ ＝ 【答案】A 【涉及知识点】相似比 【点评】在相似三角形中，对应线段的比都等于相似比，对应线段包括，对应边，对应高、对应中线、对应周长等；面积比等于相似比的平方． 【推荐指数】★★★ 4．（2010山东烟台，3， 4分）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相同，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ） A B C D （第3题图） 【分析】选项A中，将里面的三角形任意一条边向两边延长与外面三角形的两边相交，利用平行线的性质可以得到内、外两三角形两个角对应相等，因此两三角形相似；B中，由于任意两个等边三角形相似，因此B中两三角形相似；同理C中两正方形相似；D中内、外两矩形对应边不成比例，故两矩形不相似. 【答案】D 【涉及知识点】相似 【点评】此题考查相似多边形的判定. 解题关键是掌握相似三角形及多边形的判定条件. 此题将一般的数学问题赋予新颖熟悉的背景，增加了亲切感. 【推荐指数】★★★ 5．（2010山东烟台，9，4分）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ） A．AB2=BC·BD B．AB2=AC·BD C．AB·AD=BD·BC D．AB·AD=AD·CD SHAPE \* MERGEFORMAT 【分析】因为△ABC∽△DBA，所以 ，所以AB2=BC·BD. 【答案】A 【涉及知识点】相似三角形 【点评】此题考查相似三角形的性质及比例的基本性质. 解题关键是找准对应边，正确写出比例式，并能灵活进行比例式与等积式的相互转化. 【推荐指数】★★ 6．（2010江苏淮安，14，3分）在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为 m． 【分析】根据图上距离：实际距离=比例尺，所以可以得到A、B间的实际距离=4.5×200=900cm=9m． 【答案】9 【涉及知识点】相似比 【点评】本题属于基础问题，主要考察的是比例尺=图上距离：实际距离． 【推荐指数】★ 7． （2010北京，3，4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB=3∶4，AE=6，则AC等于( ) A．3 B．4 C．6 D． 8 【分析】由DE∥BC可得 ，易得AC=8． 【答案】D 【涉及知识点】平行线分线段成比例定理、相似三角形． 【点评】这是一道简单的相似三角形考题，运算量也不大，保持了较好的信度． 【推荐指数】★★★ 8．（2010河南，4，3分）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③ ．其中正确的有【 】 SHAPE \* MERGEFORMAT （A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个 【分析】由D、E分别是边AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据中位线性质可知BC=2DE，BC//DE；由BC//DE，根据三角形判定条件可得△ADE∽△ABC；再根据相似三角形的性质可得 ． 【答案】A 【涉及知识点】中位线、相似三角形的判定及性质 【点评】本题考查了中位线的性质相似三角形的性质及判定．三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，它平行于第三边且等于第三边的一半．平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．相似三角形对应边成比例． 【推荐指数】★★ 9．（2010年桂林市，6，3）如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE 与△ABC的面积比为（ ）． A． 1：2 B． 1：4 C． 2：1 D． 4：1 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质进行判断，应选B 【答案】B 【涉及知识点】相似三角形 【点评】本题是一道比较基础的题目之一，只要直接运用相似三角形的性质就可以解决问题了，考查同学们对基本性质的理解情况 【推荐指数】★ 10. (2010广西百色，12，3分)如图，△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线，若AD＝5，CD ＝3，DE ＝4，则BF的长为　　　　　　　 （ ） A． B． C． D． （第12题） 【分析】由△CDE∽△CAB， 得 ，所以 ，所以 ，AB＝ ．BF＝ 【答案】B 【涉及知识点】三角形的相似 中点 比例的基本性质 【点评】本题综合利用了三角形的相似、中点、比例的基本性质等，综合性较强，需要学生有比较强的分析问题、解决问题的能力。 【推荐指数】★★★★ 11．（2010福建漳州，2，3分）已知△ABC∽△DEF，且相似比AB∶DE＝1∶2，则△ABC与△DEF的周长之比为( ) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 【分析】相似三角形的周长比等于相似比，既然相似比为1：2，所以周长比之也应为1：2 【答案】A 【涉及知识点】相似三角形周长之比等于相似比 【点评】本题属于基础题，主要考查学生对相似三角形的性质掌握是否全面，考查知识点单一，掌握了本性质就可以得分，所以信度较好。 【推荐指数】★★ 12．（2010年南平市9，4）下列说法中，错误的是( ) A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似 C．矩形都相似 D．正方形都相似 【分析】等边三角形是三个角都相等，肯定是相似三角形，等腰直角三角形两个角对应相等也是相似形，正方形是四条边对应成比例，四个角都相等也相似，故选C 【答案】C 【涉及知识点】相似三角形、相似多边形 【点评】本题是一道概念判断题，解题的关键是理解好相似的概念，然后就可以判定了，重点考查同学们的分析问题、理解问题、解决问题的能力 【推荐指数】★★★ 二、填空题 1．(2010甘肃兰州,19, 4分)如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米,甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米. 【分析】设乙的影长为AD＝x米,由图形可知△ADE～△ACB,可得 ,AC＝x+1,BC＝1.8,DE＝1.5, ,解之得:x＝5,所以AC＝1+5＝6. 【答案】6. 【涉及知识点】相似三角形的性质,分式方程. 【点评】本题涉及的知识比较少,综合性比较强,题目比较简单,只要认真仔细一定能得到分数． 【推荐指数】★★★★ 2．精（2010山东临沂17，3分） 如图， ，添加一个条件使得 ∽ 【分析】本题由∠1=∠2，可知∠DAE=∠CAB，根据三角形相似的判定定理，再加上一对对应角相等或者相邻的两边成比例即可。 【答案】∠B=∠D, ∠C=∠E, 等 【涉及知识点】三角形相似的判定。 【点评】三角形的相似近几年一直作为重点在试卷中出现，做这类的题目，要掌握好三角形相似的判定 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，看题目中已有什么条件，还缺少什么条件。 【推荐指数】★★★★ 3．（2010江苏南通，12，3分）若△ABC∽△DEF， △ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为 ▲ ． 【分析】由相似三角形的性质直接获解. 【答案】1:2 【涉及知识点】相似三角形的性质. 【点评】本题是一道基础题，意在要求同学们掌握相似三角形的性质的运用. 【推荐指数】★ 4．（2010年上海）如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = __________. 【分析】运用两角相等证两个三角形相似，即ΔACD ∽ΔABC，再运用对应边成比例得到 顺利解得DB=3． 【答案】DB=3 【涉及知识点】相似三角形的判定与性质定理 【点评】本题涉及到相似三角形知识，主要考查了学生对相似三角形的判定与性质定理以及基本图形（比例中项性质的变A图）的掌握，有利于体现试题的信度及效度特点． 【推荐指数】★★★★ 5．（2010重庆潼南，12，4分） △ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 ． 【分析】相似三角形的周长比等于相似比． 【答案】3：4 【涉及知识点】相似三角形性质 【点评】本题考查相似三角形的性质，属于送分题． 【推荐指数】★★★ 6．2010安徽芜湖，13，5分）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则_______m． 【分析】因为AB∥CD，所以，△PAB∽△PCD，设AB与CD间的距离是x,根据相似三角形对应高的比等于相似比，所以 ． 【答案】1.8 【涉及知识点】相似三角形 【点评】本题考查了相似三角形的判断和性质相似三角形对应高的比等于相似比．此外，相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方。 【推荐指数】★★★ 7．（2010重庆，13，4分）已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2:3，则△ABC与△DEF的周长比为_____________． 【分析】相似比：两个三角形相似，则对应中线的比等于相似比，而周长的比也等于相似比． 【答案】2:3 【涉及知识点】相似比 【点评】在相似三角形中，对应线段的比都等于相似比，对应线段包括，对应边，对应高、对应中线、对应周长等；面积比等于相似比的平方． 【推荐指数】★★★ 8．（2010广东中山，10，4分）．如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形 ；把正方形 边长按原法延长一倍得到正方形 （如图（2））；以此下去，则正方形 的面积为 ． 【分析】首先由勾股定理求出正方形 的边长，接着求出其面积为5，用同样的方法求出正方形 的面积为25，并且发现面积成5倍速增长，所以正方形 的面积为625；或者由三角形相似求面积． 【答案】625 【涉及知识点】勾股定理，正方形的面积计，找规律的思想和方法 【点评】本题属于阅读理解题，主要考查了勾股定理，正方形的面积计算，以及找规律的思想和方法，具有一定的区分度． 9．（2010山东滨州，15，3分).如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为 【分析】考查相似三角形知识, △CMN∽△CAB, AB＝4MN＝4×38＝152m. 【答案】152 【涉及知识点】相似三角形,比例线段 【点评】利用相似三角形知识可以求线段的长． 【推荐指数】★★★ 10．（2010年甘肃，16，4）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为 米. 【分析】根据相似性的性质：身高：树高=人影：树影，建立方程解方程获得树的高度为9.6米． 【答案】9.6 【涉及知识点】相似形 【点评】本题属于主要考查学生对相似形概念的掌握是否全面，同一时间下人与树及各自的影子构成相似三角形，考查了学生的空间想象能力和逻辑推理能力，信度与效度指标设置合理． 【推荐指数】★★ 11．（2010陕西省，13,4）如图在△ABC中D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是 【分析】考虑相似三角形判定方法，由图可知，已经有一个公共角A对应相等了，所以只需在找到一个角相等或者夹这个角的两条边对应成比例就可以了. 【答案】∠ＡＣＤ＝∠Ｂ或者∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ或者 等等． 【涉及知识点】相似三角形的几种判定方法 【点评】本题是一道开放性试题，主要涉及相似三角形的判定方法，答案不唯一，有利于同学们发挥自己的思维，找出符合条件的答案，由于只要找一个条件，相对来说降低了题目的难度. 【推荐指数】★★★★ 12．（2010江苏镇江，10，2分）如图，在平行四边形ABCD中，CD＝10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且 ，则 ＝ ，BF＝ . SHAPE \* MERGEFORMAT 【分析】由已知条件易得△AFE∽△CDE， 为相似比，所以面积比为相似比的平方，即 ，由比例式 易得，AF＝4，所以BF＝6. 【答案】 ，6 【涉及知识点】相似三角形，面积比 【点评】相似三角形的判定，性质的应用均中初中阶段的重点内容，特别是面积比与相似比的关系，很容易出错． 【推荐指数】★★★★ 13．（2010福建三明，15，4分）如图是小玲 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 用手电来测量某古城墙高度的示意图。在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处。已知AB⊥BD，CD⊥BD。且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米。那么该古城墙CD的高度是______米。 【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB＝∠CPD，再由∠ABP＝∠CDP＝90°得到△ABP∽△CDP，得到 ＝ 代入数值求的CD＝8。 【答案】8 【涉及知识点】相似 【点评】本题是跨学科综合问题，利用了光学的知识与相似的知识结合，利用比例式求线段长度问题，难度中等． 【推荐指数】★★ 14．（2010四川达州，15，3分） 如图7，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有 （多选、错选不得分）. ①∠A+∠B=90° ② ③ ④ SHAPE \* MERGEFORMAT 【分析】要判断△ABC是直角三角形，可从两方面入手，一是从角度入手，由∠A+∠B=90°可得△ABC是直角三角形，由 得△ADC∽△CDB，从而可得∠ACD＋∠BCD＝∠ACB＝90°；二是从边入手，由 ，得△ABC是直角三角形 【答案】①②④ 【涉及知识点】相似三角形、解直角三角形、 【点评】本题充分的考查了直角三角形的判定，能很好的考查学生对知识的联系性． 【推荐指数】★★★★ 15．（2010山东德州14，4分）如图6，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m. SHAPE \* MERGEFORMAT 【分析】直角三角形被斜边上的高分成的两个小直角三角形都与原三角形相似，如图7.这个基本图形可称之为“母子三角形”，树高EH所在的两个“子三角形”相似，即Rt△ECH∽Rt△DEH，得 ＝2×8.或者利用勾股定理，得 消去 ，得 ，所以 . 【答案】4m. 【涉及知识点】勾股定理、相似三角形. 【点评】同一颗树在不同的时刻产生了不同的日照投影，两次日照的光线在互相垂直的条件下，结合树和地面垂直的常识，构成了基本图形中的“母子三角形”，将问题抽象到了这一步，学生往往选择勾股定理和相似作为解决问题的突破口. 所以本题具有较高的信度和效度，在运用勾股定理时，采用间接元列式带有一定的技巧性，因此也使本题具有了一定的区分度. 【推荐指数】★★★★★ 16．（2010年南平市17，3）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且AD= eq \f(1,3)AB，则△ADE的周长与△ABC的周长的比为__________. 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，又相似三角形的相似比为 eq \f(1,3)，所以△ADE的周长与△ABC的周长的比为 eq \f(1,3) 【答案】 eq \f(1,3) 【涉及知识点】相似三角形的性质 【点评】本题重点考查了平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．相似三角形对应边成比例． 【推荐指数】★★ 17．（2010嵊州，8，4分）如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F,C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD＝CF，则 。 【分析】由于射线AM，BN都垂直于线段AB，AM垂直于CD，所以四边形ABCD为矩形，所以AD=BC，又因为BE垂直于AC，所以△AEF∽△ACD，△AEF∽△CBF，所以 ， ，故 ，又因为AD=BC，CD=CF，所以 ，所以 ，所以 ，又因为AD=BC，CD=CF， ，所以 . 【答案】 【涉及知识点】相似三角形、一元二次方程、比例的性质、矩形的性质和判定 【点评】本题是一个综合性比较强的问题，它设计到了相似三角形的判定方法，矩形、一元二次方程等多个比较重要的知识点，属于难度比较大的问题． 【推荐指数】★★★★ 18．（2010永州市 5，3）如图，要使△ADB～△ABC，还需要增添的条件是_____________（写出一个即可）。 【分析】根据相似三角形的判定定理（1）两角对应相等两三角形相似，（2）两边对应成比例且夹角相等两三角形相似，（3）三边对应成比例两三角形相似。此题有个公共角 Ａ， 所以应该应用（1），（2）两个判定方法，可补充∠ADB＝∠ACB或∠ADB＝∠ABC或 . 【答案】∠ADB＝∠ACB或∠ADB＝∠ABC或 . 【涉及知识点】相似三角形的判定定理 【点评】本题考查相似三角形的判定定理，培养学生的逆向思维方式，属于条件开放题，中考中出现的频率较高，是一道好题 【推荐指数】★★★★ 三、解答题 1．（2010福建福州，21，13分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H． （1）求证：eq \f(AH,AD)＝eq \f(EF,BC)； （2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值； （3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式． 【分析】（1）因为AH是△AEF边EF上的高，AD是△ABC中BC边上的高，欲证eq \f(AH,AD)＝eq \f(EF,BC)，证△AEF∽△ABC即可；⑵ 矩形EFPQ的面积跟EF的长度有关，根据（1）中的结论可知，矩形EFPQ的面积是x的二次函数，然后利用二次函数的性质求面积值；（3）矩形EFFQ与△ABC重叠部分与运动时间有关，运动时间不同，重叠部分的形状不同，因此要分类讨论，根据不同情况求面积S． 【答案】解：（1）∵ 四边形EFPQ是矩形，∴ EF∥QP． ∴ △AEF∽△ABC． 又∵ AD⊥BC， ∴ AH⊥EF． ∴ eq \f(AH,AD)＝eq \f(EF,BC) （2）由（1）得eq \f(AH,8)＝eq \f(x,10)． AH＝eq \f(4,5)x． ∴ EQ＝HD＝AD－AH＝8－eq \f(4,5)x， ∴ S矩形EFPQ＝EF·EQ＝x (8－eq \f(4,5)x) ＝－eq \f(4,5)x2＋8 x＝－eq \f(4,5)（x－5）2＋20． ∵ －eq \f(4,5)＜0， ∴ 当x＝5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20． （3）如图1，由（2）得EF＝5，EQ＝4． ∴ ∠C＝45°， ∴ △FPC是等腰直角三角形． ∴ PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9． 分三种情况讨论： ① 如图2．当0≤t＜4时， 设EF、PF分别交AC于点M、N，则△MFN是等腰直角三角形．∴ FN＝MF＝t． ∴S＝S矩形EFPQ－SRt△MFN=20－eq \f(1,2)t2＝－eq \f(1,2)t2＋20； ②如图3，当4≤t<5时，则ME＝5－t，QC＝9－t． ∴ S＝S梯形EMCQ＝eq \f(1,2)[（5－t）＋（9－t ）]×4＝－4t＋28； ③如图4，当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC＝9－t． ∴ S＝S△KQC=eq \f(1,2) (9－t)2＝eq \f(1,2)( t－9)2． 第21题图2 第21题图3 第21题图4 综上所述：S与t的函数关系式为： S= 【涉及知识点】三角形相似 【点评】运用三角形相似解决动态问题是中考常见题型，这类问题有助于培养同学们的思维能力．这类问题通常运用分类讨论的数学思想，解答这类问题有一定的难度，需要经常性训练． 【推荐指数】★★★★ 2．2010浙江杭州，22，10分） 如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上． (1) 求证：△ABD∽△CAE； (2) 如果AC＝BD，AD＝ BD，设BD＝a，求BC的长． 【分析】(1)所给条件较易得出两个三角形的两边的比相等，主要证明夹角相等即可，根据BD∥AC，且B，A，E在同一条直线上，由平角的定义和三角形内角和得出(DBA = (CAE,然后得出△ABD∽△CAE．(2)由勾股定理的逆定理得出∠D＝∠E＝90°，然后计算出BE和CE的长度，即可求出BC的长． 【答案】(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴ (DBA = (CAE, 又∵ , ∴△ABD∽△CAE． (2)∵AB = 3AC = 3BD，AD =2 BD ， ∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2， ∴(D =90°, 由（1）得(E =(D = 90°, ∵ AE= BD , EC = AD = BD , AB = 3BD ， ∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2 = (3BD + BD )2 + ( BD)2 = BD2 = 12a2 , ∴ BC = a． 【涉及知识点】相似、勾股定理及逆定理 【点评】本题综合考查三角形相似和勾股定理及其逆定理两个方面的知识，在相似中关键根据已知条件得出证明相似需要的条件．在勾股定理及逆定理中，要有利用勾股定理及逆定理求三角形边长的经验． 【推荐指数】★★★★★ 3．（2010年浙江温州，24，14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB，过点E作EF⊥AC交射线于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的世界为t秒． （1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值； （3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经对称变换后的图形为A′C′．①当t＞ 时，连结C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；②当线段A′C′与射线BB1有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）． 【分析】 【答案】⑴在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝ ＝5，∵AD＝5t， CE＝3t，当AD＝AB时， 5t＝5，∴t＝1，∴AE＝AC＋CE＝3＋3t＝6，∴DE＝6－5＝1． ⑵EF＝BC＝4， G是EF中点，∴GE＝2．当AD 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 即可完成解答，第三小题给予区分度指标的要求，在二次函数中融入相似形的不确定性，引入对学生空间想象力和分类讨论，抓住直角的不变性，用夹直角的两边对应成比例求解即可获得答案． 【答案】解：（1）设该抛物线的解析式为 ， 由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知 . 即抛物线的解析式为 过A（－1，0）、B（3，0）， ∴ 解得 . ∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3． ∴ 顶点D的坐标为 . （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. 理由如下： 过点D分别作 轴、 轴的垂线，垂足分别为E、F. 在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ . 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ . 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ . ∴ ， 故△BCD为直角三角形. （3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）． 过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD， 求得符合条件的点为 ． 过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD， 求得符合条件的点为P2（9，0）． ∴符合条件的点有三个：O（0，0）， ，P2（9，0）. 【涉及知识点】二次函数、直角三角形、相似形 【点评】本题坡度设置合理，以二次函数为载体，分别考查学生求解二次函数解析式和顶点坐标、论证直角三角形、和利用相似形来确定点的坐标，考查知识点较多，综合度也较合理，信度效度指标合理，区分度明显，较好体现二期课改对于学生学习过程性目标的考查． 【推荐指数】★★★★★ 12．（2010云南昆明，24，9分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O. （1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE； （2）设（1）中的相似比为 ，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当 = 1时，是 ；②当 = 2时，是 ；③当 = 3时，是 . 并证明 = 2时的结论. SHAPE \* MERGEFORMAT 【答案】（1）证明：∵AD∥BC ∴∠OBP = ∠ODE 在△BOP和△DOE中 ∠OBP = ∠ODE ∠BOP = ∠DOE ∴△BOP∽△DOE (有两个角对应相等的两三角形相似) （2）① 平行四边形 ② 直角梯形 ③ 等腰梯形 证明：∵k = 2时， ∴ BP = 2DE = AD 又∵AD︰BC = 2︰3 BC = AD PC = BC - BP = AD - AD = AD = ED ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形 ∵∠DCB = 90° ∴四边形PCDE是矩形 ∴ ∠EPB = 90° 又∵ 在直角梯形ABCD中,AD∥BC, AB与DC不平行 ∴ AE∥BP, AB与EP不平行,四边形ABPE是直角梯形 【涉及知识点】相似三角形、特殊四边形的性质与判定 【点评】本题以直角梯形边上的动点为背景，考查相似三角形的判定作为解题的起点，虽然起点不高，但是综合应用了梯形、直角梯形、等腰梯形、平行四边形、矩形等四边形的性质与判定，培养了综合分析问题和解决问题的能力． 【推荐指数】★★★★★ 13．（2010湖北随州，20，6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD ＝AB·AE. 求证：DE是⊙O的切线. 【分析】欲证DE是⊙O的切线，由于点D是⊙O的一点，只需连接DO，证DO⊥DE；另一方面，由AD ＝AB·AE和点P为△ABC的内心不难得出△BAD∽△DAE. 【答案】证明：连结DC，DO，并延长DO交⊙O于F，连结AF. ∵DF是直径， ∴∠DAF=90°， ∵点P为△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠DAE， ∵AD ＝AB·AE，即 ， ∴△BAD∽△DAE， ∴∠ADB＝∠E.　 又∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠E， ∴BC∥DE， ∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC， 又∵∠CAF＝∠CDF， ∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝90°， 故DE是⊙O的切线. 【涉及知识点】相似三角形的判定与性质，圆周角的性质，切线的判定. 【点评】本题的难点是如何恰当地添设辅助线，将题中的条件与结论沟通起来，尽管辅助线很常见，但考虑到本题解答综合了圆中许多重要知识点，仍有一定的区分度. 【推荐指数】★★★★ 14．（2010浙江省舟三，22,10）(本题10分)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上． SHAPE \* MERGEFORMAT (1)　判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (2)　P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上 的7个格点，请在这7个格点中选取3个 点作为三角形的顶点，使构成的三角形与 △ABC相似(要求写出2个符合条件的三角 形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)． SHAPE \* MERGEFORMAT 【分析】（1）要判断是否相似，我们可以利用相似的判定定理：对应边成比例。这样的话我们就要先求出三角形的各条边，因为三角形的顶点都放在格点上且每个小正方形的边长都为1，显然我们可以利用勾股定理马上求出，然后再去判断对应边是否成比例。(2)这是道探索题，要探索之前我们可以先求出任意两点的距离，再去根据对应边成比例去构造三角形即可。 【答案】(1)　△ABC和△DEF相似． 根据勾股定理，得　 ， ，BC=5 ； ， ， ． ∵　 ， ∴　△ABC∽△DEF． (2)　答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可． △P2P5D，△P4P5F，△P2P4D， △P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD． 【涉及知识点】勾股定理和相似三角形 【点评】本题是个综合体，它将勾股定理和相似三角形