二重积分的一个数值计算公式

二重积分的一个数值计算公式 第5卷第1期 2006年3月 济源职业技术学院 JournalofJiyuanVocationalandTechnicalCollege V01.5No.1 Mar.20o6 二重积分的一个数值计算公式 马秀芬,王锐利 (济源职业技术学院基础部,河南济源454650) 摘要:利用有限元插值法给出了二重数值积分的又一种计算方法,并对该算法的误 差进行了估 计,结果表明该算法比传统算法节约25%的计算量. 关键词:数值积分;插值;有限元 中图分类号:Q241.3文献标识码:A文章编号:1672—0342(2006)0l一0024—03 二重数值积分在科学计算中起着重要作用, 一 些教科书上多采用化二重积分为累次积分,然 后借助于定积分已有的数值积分计算公式(如 simpson公式,gauss公式等)进行计算,L1而直接 在矩形上利用二元插值函数代替被积函数导出计 算公式的文献不多.笔者借助于矩形单元上8 自由度不完全二次插值导出一个数值积分公式, 其代数精确度为3,复化公式的收敛阶可达到O (h). 一 ,单元构造及二重积分的数值积分公式 设Q是边平行于坐标轴的多边形区域,J是 Q的一族平行于坐标轴的矩形剖分,有diam(K) ?h,VK?J,且网格满足正则假设. 11J . 口4a363 ^^ 口^,rl ^ ' 6l al,?''Z 在参考单元R=[一1,1]×[一1,1]上(如上图), 定义有限元(k,窆,p)如下, ?={u(a1),u(a2),u(a3),u(a4), L o d u n (f,.)0Hb), 0Hb,),dou n(f,)) p=span{1,考,11,考11,考,11,考11,考11} VU?H(K),存在唯一的分片多项式Iu,且口 iU可以表示成 一 = i E . u 一 (aIuEu(i)飚,11)+毫(b';)"()(1)..i)'Pi(考,11)+(;)'Pi+(考,11)(1)1IlI仃Il 其中, . (考,11)=1(1+一 考11一), (考,11)=1(1一一 考11+), , (考,11)=1(1++考11+) , (考,11)=1(1一 +考11一), 5 (考,11)=1(1+2"q一 11一2考11), (考,11)=一1(1— 2考一考+2), 7 (考,11)=一1(1— 2-q一11+2考11), . (考,11)=一1(1+2tl一 考一2), 为插值基函数. 对插值基函数在R积分,Ci=f』i(考,11) d考,可得: ,' Ci=1,C…=一三3,(i_1,2,3,4) 由此,可以导出二重积分计算公式: 』(考,11)d考』』iu(考,n)d~dnKK = i E. u 一 (ai)一3i-L"IOn f" 6i)(2) 收稿日期:2006—01—06 作者简介:马秀芬(1973一),女,河南濮阳人,济源职业技术学院基础部讲师,在读研 究生. 对于平行于坐标轴的一般矩形,K: 【xo—h1,xo+h1】X【Yo—h2,Yo+h2】,其顶点为 a1:(xo—h1,Yo—h2), a2:(xo+hl,Yo—h2), a3:(xo+h1,Yo+h2), a:(xo—h,Yo+h),边中点依次记为: b1,b2,b3,b4 在K上,定义 Iu?{1,x,Y,xy,x,Y,x2y,xy) 满足 Iu(ai) =u(ai),I(bi) = (bi),(i=1,2,3,4) 则I与I在坐标变换下是仿射等价的. ,…一……+hm2x0ILI专利用坐标变换 YYo+h二+n2 将K上的函数u(x,Y)变成K上的函数u(专,-i1), 利用(2),可得到一般单元K上的计算公式 IJudxdy~IJIudxdy = h1h2jJIud~d-q = h儿4 u A (aAi)一2h i h耋(bIIi)](3)=儿u(ai)一(i)](3)IJIU儿 在每一个矩形上应用公式(3),即得到相应的复 化积分公式. 二,误差估计 引理1上述数值积分公式(2)的代数精度 为3. 证明:公式(2)对P中的元素精确成立,只需 验证对考,成立即可. 容易算得,JJ专d~dxl=0, i飘一毫器(6_, ' JJd考d-q=0, i耋(i)一i43(60 引理2Vu?H(K),存在唯一的三次多项 式Pu?P3(K),使得Pu(ai)=u(ai), p d O n U(1~i)=a dn u(1~i),(i=1,2,3,4) 』』=』』安 』』等』嘉 证明:设= i 8 仅ii(考,)+仅,考+仅.', 将插值条件代人可唯一确定系数o【i,(i:1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10) 由引理1,引理2可得: f-『id毛=f』Pud~dn(4) 下面给出误差估计 定理:设n是边平行于坐标轴的多边形区 域,u?H(n),J是n的一族平行于坐标轴正 则剖分.记h为剖分的最大边长,则 f,~udxdy—K?f~iudxdye<chn(5) 证明:由于f,~udxdy一SJIudxdy ??…(u—Iu)dxdyl,KEJh' 利用坐标变换,插值定理可得: u—Iu)dxdyI =meas(K)…(—iu)d~dnl =meas(K)…(U一Pu)d~dnl <~Cmeas(K)I1U一I1o. ~ <Cmeas(K)IUll4. ~ <Cmeas(K)hIul4.K ~ <Chameas(K)丁1IuI4.K 代人(5)式,可得: I~udxdy—K?IJIudxdy ~ <Ch4 … meas(K)丁Iu4In hEJh ?ch(meas(K)丁(IuI2KJhKJh,x)丁EE''^ ?ChIuI4n 三,结束语 对矩形剖分,顶点,单元,边的比例关系为1: 1:2,因此数值积分公式的总体自由度为3N,而 复化simpson公式和复化gauss公式总体自由度 为4N,此复化公式比用复化simpson公式和具有 同样收敛阶的复化gauss公式节约了25%的计算 量.另外,我们进行收敛性 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 时,采用的是 sobolev空间插值理论和有限元方法技巧,对光滑 25 性较弱的函数u?h(Q)可得出收敛阶o(h),而 一 般教科书上对simpson累次公式进行估计时, 要估计出足够的收敛阶u?c(n).因此,用本 文的公式保持了同样的收敛阶,却节省25%的计 算量. 参考文献: [1]李红.数值分析[M].武汉:华中科技大学出版社, 2OU3. [2]徐萃薇.计算方法引论[M].北京:高等教育出版社, 1993. [3]王烈衡,许学军.有限元方法的数学基础[M].北京: 科学出版社,2004. [4]李开泰,黄艾香,黄庆怀.有限元方法及其应用[M]. 西安:西安交通大学出版社,1992. [责任编辑赵彩红] ANumericalFormulaofDoubleIntegration MAXiu—fen,WANGRui—li (BasicCoursesDepartmem,JiyuanVocationalandTechnicalCollege,Jiyuan454650,Hena n,ChinaJ Abstract:Anothercalculatingmethodofdoubleintegrationisgivenbymakinguseoffiniteele mentsinterpola— tion.theory,andtheerrorisestimated,whichshowsthattheamountofcalculationbythismeth odis25%less thanthatbythetraditionalmethod. Keywords:numericalintegration;interpolation;finiteelement 26