单位球中具有调和 Ricci 曲率超曲面

单位球中具有调和 Ricci 曲率超曲面 豆丁网论文:www.docin.com/week114 单位球中具有调和 Ricci 曲率超曲面 郭开文 天津工业大学理学院，天津 (300160) E-mail:guokaiwen04@126.com n n +1 n +1 摘 要:设 x : M ? S 为S 中Moebius 形式为零的无脐点超曲面，如果 M 具有调和 的 Ricci 曲率，本文对这种超曲面进行分类。 关键词:调和 Ricci 曲率;Moebius 第二基本形式;Moebius 等价 中图分类:O186.13 MR(2000)主 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 分类:53A30;53C21;53C40 1 引言和主要定理 m n n [1] n 设 x : M ? S 为 S 中无脐点子流形, 王长平在文 中给出 S 中 Moebius 子流形[ 2] n 几 何新框架;胡泽军和李海中在文 中对 S 中具有平行的 Moebius 第二基本形式的超曲面进 行分类，得到 +1 n n 定理 A:设 x : M ? S 为无脐点且具有平行的Moebius 第二基本形式的超曲面，则 x(M ) k n ?k 2 n+1 局部上 Moebius 等价于下列之一: (1)环面 S (a) × S (1 ? a ) ，(2) R 中 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 柱面 k n ?k k n ?k n+12 S (a) × H ( 中标准柱面 S × R 在映射σ 下的像 (3) CSS(p,q,a) (4) H 1 + a ) 在映射τ 下的像 [3] 在文 中作者求 Moebius 第二基本形式平方的 Laplace, 得到单位球中一类 Moebius 子 流形的性质，本文设 R为 Ricci 曲率，如果 R= R，称 M 具有调和 Ricci 曲率，我ij ij ,k ik , j 们 对这种超曲面进行研究，得到: n n +1 n+1 定理 B:设 x : M ? S 为S 中 Moebius 形式为零的无脐点超曲面，如果 M 具有调和 的 Ricci 曲率，则 x(M ) 为 Moebius 等价于下列之一: k n?k 2 n+1 k n ?k (2) 1 ? a )(1) 环面 S (a) × S (R 中标准柱面 S × R 在映射σ 下的像， k n ?k 2 n +1 (3) H 中标准柱面 S (a) × H (1 + a ) 在映射τ 下的像 nMoebius S 2 中子流形的不变量 n +2 在本节中定义 Moebius 不变量,给出子流形结构方程，具体参考文[1]，设 R 是(n+2) 1 维 Lorentzian 空间， X = ( x, x,...., x),Y = ( y, y,....., y) ， 0 1 n +1 0 1 n +1 (2.1) 定义 < X Y , >= x?y+ xy+ ...... + xy 0 0 1 1 n+1 n +1 m n n n+2 设 x : M ? S 是浸入在 S 中的无脐点子流形，作为 R中的位置向量，对应的位置向 1 m 2 量 Y, 定义为 2 2 (2.2) ( II ? mH ) Y = ρ (1, x), ρ = m ? 1 [1] m n n +2定理 2.1(文 ):两个子流形 x, x : M ? S 为 Moebius 等价的充分必要条件为存在 R 1 的变换T ? O(n + 1,1) ，使得它们对应的位置向量满足Y = YT 豆丁网论文:www.docin.com/week114 豆丁网论文:www.docin.com/week114 2 m n 由上述定理则 g =< dY dY , >= ρ dx ? dx 是 Moebius 不变量，称之为 x : M ? S 的 Moebius 度量。设 ? 为关于 Moebius 度量 g 的 Laplace 算子， 11 (2.3) 定义 ? N = ? ?Y< ?Y , ?Y > Y 22m m 2 (2.4) 则有 < ?Y ,Y >= m?,< ?Y , dY >= 0 ,< ?Y , ?Y >= 1 + m R (2.5) 〈Y，Y〉= 0，〈N，Y〉= 1，〈N，N〉= 0 m 设 (M , g ) 的局部标准正交基{E ,....., E ω,.....,ω},记Y= E(Y )},对偶基为{ m 1 mii 1 则由(2.3),(2.5) 得到 (2.6) < Y ,Y>=< Y, N >= 0,< Y,Y >= δ ,1 ? i, j ?m i i i jij n+2中的正交补空间，则沿 M 有正交分解 设 V 为子空间 Span{Y , N ,Y ,....,Y }在 R 1 m 1 n+2(2.7) R= Span, {Y N} ? Span{Y,....,Y} ? V 1 1 m 称 V 是 x 的 Moebius 法丛，设 V 的局部单位向量基底为{E, m + 1 ? α ?m + p = n} α n +2则 {Y , N ,Y, E} 构成 R中沿 M 的活动标架 ， 以下约 定 1 ?i , j, k , l..... ?m ; i α 1 m n , 浸入Y : M ? S 的结构方程为: m + 1 ? α , β ,..... ?m + p = n (2.8) dY = Yω?ii i (2.9) dN = ?Y+ φE ?ii ?α ααi (2.10) dY= ??YN E? ω+ ωY + ω i i ??i ij j iα αj α dE= ?φY ? ωE(2.11) +ωEαi?i α α ?αβ β i β α α = (2.12) α ? i iα j j i mα α n 分别称为 x : M ，φ = CωE ? S 的 ?ij ?i i αi , j i , j ,α i ,α Blaschake 张量，Moebius 形式，Moebius 第二基本形式。则有以下方程: (2.13) = (BC A?A ? BC )? ik jik , jij ij ,k α α α α k α (2.14) = (BA? BA)C? C ?ik kj kj ki i , j j ,iα α α α k αααα B = δ C ? δC (2.15) ? B ijij ,k ik , j ik j k α α α α (2.16)R = (BB? BB) + A δ+ A δ?A δ?A δ? ijkl ik jl il jk ik jl jl ik il jk jk il α α α + (n ? 2) A(2.17)R = ?BB+ tr ( A)δ? ij ik kj ij ij α 2 m ? 11 + m Rα 2 α (2.18) B= 0trA =(B) = ?ii ??ij i α i , j m2m (2.19) Aω= dA+ Aω+ Aω ? ij ,k kij ? ik kj ? kj kik k k 豆丁网论文:www.docin.com/week114 豆丁网论文:www.docin.com/week114 α α α α (2.20) = dB+ + BωBωBω+ Bωij ? ij βα ? ij ,k k ? ik kj ? kj ki β k k k β (2.21) = AR+ ARA?A ? tj tikl ? it tjkl ij ,kl ij ,lk t t (2.22) = + + BRBB RB? B? tj tikl ? it ? ij kl ij lkRα α α α α , , tjkl ij βαkl t t β α βα β (2.23) R= ( BB? B )B βαij ?jk ki kj kik 1 R为 M 的法化 Moebius 数量曲率。其中 R为 M 的曲率张量， R =? ijij ijkl 1) m(m ? i , j x(M ) 的 Moebius 不变量和 Euclidean 不变量之间的联系有以下方程给出 α α ?2 A(log ρ ) ? H h](log ρ ) ? e(log ρ )e = ?ρ [Hess ? ij ij ij i jα 1 2 2 ?2 α (2.24) ? ρ) ]δ ? 1 + [ ? log ρ (H ij?2 α α ?1 α α (2.25) B = ρ (h? H δ ) ij ij ij α ?2 α α α (2.26)C = ?ρ [H + (h? H )e (log ρ )]? δi ,i ij ij j j ~ ~ [ 4] m n mn 定理 2): 设为.2(文 x : M ? S 和 x : M ? S Moebius 等价的充分必要条件是存 ~m m 在微分同胚σ:M ? M，而且σ 保持 Moebius 度量 g, Moebius 形式φ ,Blaschke 张量A, Moebius 第二基本形式 B。 n 设 H 是 n 维双曲空间，具有常数截曲率 ? 1， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为 n n +1 2 2 2(2.27) H = {( y, y,....., y) ? L: ? y+ y+ ..... + y= ?1, y? 1} 0 1 n 0 1n0 n n n+1 设 S 表示 S ? R 的上半球面，即其中的第 1 个坐标大于 0，定义共形微分同胚 + n n n 如下: σ:R ? S \ {(?1,0)} 和τ : H ? S + n 2 1 ? u2un (2.28) , σ (u) = () ， u ? R 2 2 1 + u1 + u ' 1y 2 ' ' ' n y ? 1, ? y + y ?y = ?1 y = ( y ,...., y) ? R (2.29)τ (u) = ( , ),0 0 1 n yy 0 0 n n n 利用σ ,τ 可将R , H 中子流形看成 S 子流形 3 举例 kk +1 2 2 k m?k m+1考虑 : S M ? R ,= S (a) × S (b) ? S a + b = 设 x a ,k1 1 豆丁网论文:www.docin.com/week114 豆丁网论文:www.docin.com/week114 m?k +1k ?k m?k m +1 mx: S? R (a) × S(b) ? S， x = ax+ bx: S 2 1 2 则有 < x, x>= 1, < x, dx>= (3.1) < x, x>= 1, < x, dx>= 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 豆丁网论文:www.docin.com/week114 豆丁网论文:www.docin.com/week114 k m ?k 选取{ e, e,...., e}为 TS (b) 的局 1 2 k ax (a) 的局部标准正交基,{ e,....., e}为 TS 2 k +1 m bx 1 k m?k (b)) 的局部标准正交基, 设 部标准正交基, 则{ e,....., e, e,......, e} 为 T(S +1 1 k k m x (a) × S { θ,....,θ ,θ ,.....,θ }为其对偶基, 1 k k +1 m ) = θe, (1 ?i ?k )d (bx) = θ e , (k + 1 ?则有 d (ax(3.2) j ?m ) 1 ?i i 2 ?j j ij m 2 2 2 2 2(3.3) x 的第一基本形式 I= dx ? dx = a dx + b dx =θ 1 2 ? ii =1 m +1 设 e= bx ? ax由 < e, x >= 0得 e? TS m+1 +1 mx m +1 2 1 因 < e, dx >=< bx? ax, adx+ bdx>=0 (3.4) m+1 2 1 1 2 k m?km?k (b) ， (b) 中标准法向量。 则 e垂直于 Se为 S(a) × S (a) × Sk m+1 m+1 kmm b a II = ? < de, dx >= ?(3.5) x 的第二基本形式m+1 h θ θ + θ = θ?? j i a i=1 2 2 b? ij i j i , j =1b j=k +1 a= λδ ， 则设 hλ= ...... = λ= ? ， λ= ...... = λ= (3.6) i ij ijk m 1 k +1 ab 2 2 (m ? k)a ? kb1 = (3.7)h ? ii H = mab i m 224 4 kb (m ? k )a kb + (m ? k )a 2 (4.8) S = h=+= ? ij 22 2 2 b a a b i , j m (m ? k )k 2 2 22 2 (a + b ) (3.9)ρ =(S ? mH ) =2 2 m ? 1 (m ? 1)a b ? k )k 2 2 2 2(m 2 (3.10)(a + b ) θ g = ρ dx ? dx =?i 2 2(m ? 1)a b i 2 2 a + b (m ? k )k (3.11) θ设 ω= ii m ? 1 ab 2 则有 Moebius 度量 (3.12) g = ω ?ii 由(2.24), (2.25)，(2.26) 得到 Moebius 不变量 φ= 0(3.13) C = 0 i ?1B= ρ (h? Hδ ) = bδ (3.14) ijij ij i ij k ? 1m ? 1m m ? k (3.15) = b= ....... = b b= ..... = b= ? 1 kk +1 m m m m ? 1 m ? k 1 ?22 (3.16) ? 1)δ ? 2hH ] = aδ 设 A= ? ρ [(H IJ ij i ij 2 ij 2 2 2 m ?1 豆丁网论文:www.docin.com/week114 豆丁网论文:www.docin.com/week114 (3.17) = ?则有 a= ..... = a=? k)? m b ][(m 1 k 2 ? k)2mk(m 豆丁网论文:www.docin.com/week114 豆丁网论文:www.docin.com/week114 m ? 12 2 2 2 (3.18) a= ..... = a=(m ? k ? m b ) k +1 m 2 2m k (m ? k ) 4 定理的证明 n n +1 n +1 设 x : M ? S 为S 中Moebius 形式为零的无脐点超曲面，如果 M 具有调和的 Ricci曲率，即 则 R=const R= R ij ,k ik , j 则 R(4.1) ij ,k = ?BB? BB+ (n ? 2) ? il ,k lj ? il lj ,k A ij ,kl l R(4.2) = ?BB? BB+ (n ? 2) Aik , j ? il , j lk ? il lk , j ik , jl l 由(2.14)和(2.15)得到 BA(4.3) = B,= A ij ,kij ,kik , j ik , j 由(4.4),(4.5)和(4.6) 得到 (4.4) = ?BB+ BB0 = R? R ? il , j lk ? il ,k ljij ,k ik , j l l (4.5) 则有 (B ? B)B= 0 jj kk ij ,k k 1 ?a ?k + 1 ?s ?n ?B ,设 B= ..... = B， ; k +1k +1 11 kk (4.6) 则 B= 0 ，1 ?i ?n ， B= 0 ia ,s as 则有 0 = Bω= dB+ Bω+ Bω ? as ,i i as ? is ia ? aiisi i i = Bω+ Bω= (B? B)ω(4.7) ssaa as asss aa as (4.8) ω= 0则有 1 ?a ?k ，k + 1 ?s ?n 时， as 1 (4.9) ? ω则有 ? RR= 0 ? ω = dω ? ω ω= 0 ， ? ?ai asij jasisasij i 2 ii , j 由(2.23) 得 (4.10) 0 = R= (BB? BB) + Aδ + Aδ ?A δ ?A δ asij ai sj aj si aisj sj ai aj si siaj 特别 (4.11) 0 = R= BB+ A+ A asas aa ss aa ss n ? 12 B= 由 设 B= λ ， B= µ ? ijaa ss B= 0 得到 i , j ?ii i n 1 n ? 1(n ? k )(n ? 1) (4.12) ，µ = ? ?λ = ? nn ? k nk 由 ω= 0 得到 as (3.13) 0 = Aω = dA+ Aω+ Aω = dA+ ( A?A )ω ? sα , j jsα ? sj αj ? αj jssα ss αα sαj j j A(3.14) = A= 0由于 A? A， 则 sα , jsj ,α ss αα 特别 ，A= A= 0A= constA= 0 得到 A= const sα ,ααα ,s aa ss ,αss 2 2km?k m+1 = S (a) × S(b) ? Sa + b 与 M = 1 中 Moebius 度量 g, Moebius 形式 φ, a ,k Blaschke 张量 A 和 Moebius 第二基本形式 B 相同，则完成定理 B 的证明。 豆丁网论文:www.docin.com/week114 豆丁网论文:www.docin.com/week114 参考文献 n [1] Wang.C.P.: Moebius geometry of submanifolds in S ,Manuscripta Math.96.517—534(1998) n +1 [2]胡泽军 李海中:S 中具有平行Moebius 第二基本形式的超曲面分类，中国科学 A 2004 :34(1)28-39 [3] Zhen Guo，Kaiwen Guo, Moebius characterization of some submanifolds in the unit sphere，Results in Math. Vol 49.No.3-4(2006):219-236 n [4] Zejun.HU. Haizhong.LI.: Submanifolds with constant Moebius scalar curvatue in S ,Manuscripta Math.2003 111(3):287--302 n [5] Liu H L,Wang C P ,Zhao G S, Moebius isotropic submanifolds in S ,Tohoku Math J, 2001,53: 553-569 n +1 two principal with [6] Li.H, Liu H.L. Wang C.P., Zhao G.S.:Moebius isoparametric hypersurfaces in S curvature,Manuscripta Math .112,1-13(2003) n S Results Math. [7] Guo.Z. ,LI.H., Wang.C.P.: The second variation formula for Willmore submanifolds in 40.205—225(2001) n [8] Liu H L,Wang C .P. ,Zhao G. 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