1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)

英格教育文化有限公司http://www.e-l-e.net.cn 全新课标理念，优质课程资源 § 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2） 【学习目标】 1．掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则． 2．理解掌握复合函数的求导法则； 3．学会利用公式求一些函数的导数． 【学习重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则；复合函数的求导法则． 【学习难点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用；复合函数的求导法则的应用． 【课堂过程】 一、复习引入： 1．常见函数的导数公式： （1） (C为常数)； （2） ( )； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 2．导数的运算法则： 法则1 　 ． 法则2 , ． 法则3 ． 二、讲解新课： 1．复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数 与 复合而成的函数一般形式是 ，其中u称为中间变量． 2．求函数 的导数的两种方法与思路： 方法一： ； 方法二：将函数 看作是函数 和函数 复合函数，并分别求对应变量的导数如下： ， ，两个导数相乘，得 ， 从而有 对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求 yu′和 u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同． 3．复合函数的导数：设函数u= (x)在点x处有导数u′x= ′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且 或f′x( (x))=f′(u) ′(x)． 证明：设x有增量Δx，则对应的u，y分别有增量Δu，Δy，因为u=φ(x)在点x可导，所以u= (x)在点x处连续．因此当Δx→0时，Δu→0． 当Δu≠0时，由 ． 且 ． ∴ 即 (当Δu＝0时，也成立) 4．复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数． 5．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 三、讲解范例： 例1试说明下列函数是怎样复合而成的？ ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ． 解：⑴函数 由函数 和 复合而成； ⑵函数 由函数 和 复合而成； ⑶函数 由函数 和 复合而成； ⑷函数 由函数 、 和 复合而成． 说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等． 例2写出由下列函数复合而成的函数： ⑴ ， ；　　⑵ ， ． 解：⑴ ； ⑵ ． 例3求 的导数． 解：设 ， ，则　　　 EMBED Equation.3 　　　　 EMBED Equation.3 ． 注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数．有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导． 例4求f(x)=sinx2的导数． 解：令y=f(x)=sinu; u=x2∴ =(sinu)′u·(x2)x′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2 ∴f′(x)=2xcosx2 例5求y=sin2(2x+ )的导数． 分析：设u=sin(2x+ )时，求u′x，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+ ． 解：令y=u2，u=sin(2x+ )，再令u=sinv，v=2x+ ∴ =y′u(u′v·v′x)，∴y′x=y′u·u′v·v′x =(u2)′u·(sinv)′v·(2x+ )′x=2u·cosv·2=2sin(2x+ )cos(2x+ )·2 =4sin(2x+ )cos(2x+ )=2sin(4x+ )，即y′x=2sin(4x+ ) 例6求 的导数． 解：令y= ，u=ax2+bx+c，∴ =( )′u·(ax2+bx+c)′x= ·(2ax+b) = (ax2+bx+c) (2ax+b)= ，即y′x= 例7求y= 的导数． 解：令 ，∴ =( )′u·( )′x EMBED Equation.3 ．即y′x=－ 例8 求y=sin2 的导数． 解：令y=u2，u=sin ，再令u=sinv，v= ∴ ·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·( )′x =2u·cosv· =2sin ·cos · =－ ·sin ∴y′x=－ sin 例9 求函数y=(2x2－3) 的导数． 分析: y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导， 是复合函数，可以先算出 对x的导数． 解：令y=uv，u=2x2－3，v= , 令v= ，ω=1+x2 = (1+x2)′x = ∴y′x=(uv)′x=u′xv+uv′x =(2x2－3)′x· +(2x2－3)· =4x ，即y′x= ． 四、课堂练习： 1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)． (1)y=(5x－3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2－x2)3 (4)y=(2x3+x)2 解：(1)令y=u4，u=5x－3 ∴ =(u4)′u·(5x－3)′x=4u3·5=4(5x－3)3·5=20(5x－3)3 (2)令y=u5，u=2+3x ∴ =(u5)′u·(2+3x)′x=5u4·3=5(2+3x)4·3=15(2+3x)4 (3)令y=u3，u=2－x2 ∴ =(u3)′u·(2－x2)′x =3u2·(－2x)=3(2－x2)2(－2x)=－6x(2－x2)2 (4)令y=u2，u=2x3+x ∴ =(u2)′u·(2x3+x)′x =2u·(2·3x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x 2．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n∈N*) (1) y=sin nx (2)y= cos nx (3)y= tan nx (4)y=cot nx 解：(1)令y=sin u，u=nx =(sin u)′u·(nx)′x=cosu·n=n cos nx (2)令y=cosu，u=nx =(cos u)′u·(nx)′x=－sin u·n=－nsin nx (3)令y=tan u，u=nx =(tan u)′u·(nx)′x=( )′u·n = ·n= =n·sec2nx (4)令y=cot u，u=nx =(cot u)′u·(nx)′x=( )′u·n = ·n=－ ·n=－ =－ncsc2nx． 五、小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 六、课后作业：习题1.2A组6,7,8，B组 学习方法报社 第 5 页 共 5 页 _1124281505.unknown _1147378644.unknown _1152260211.unknown _1178751603.unknown _1178813209.unknown _1178814116.unknown _1178814167.unknown _1178815354.unknown _1178815402.unknown _1178814155.unknown _1178813414.unknown _1178813550.unknown _1178813268.unknown _1178813084.unknown _1178813107.unknown _1178812769.unknown _1178751095.unknown _1178751176.unknown _1152260247.unknown _1151419151.unknown _1152114697.unknown _1152116247.unknown _1151419877.unknown _1151420480.unknown _1151875304.unknown _1151875402.unknown _1151875554.unknown _1151875562.unknown _1151875465.unknown _1151875355.unknown _1151420865.unknown _1151420898.unknown _1151420497.unknown _1151419964.unknown _1151420416.unknown _1151420457.unknown _1151419993.unknown _1151419914.unknown _1151419954.unknown _1151419901.unknown _1151419785.unknown _1151419801.unknown _1151419864.unknown _1151419446.unknown _1151419514.unknown _1151419560.unknown _1151419474.unknown _1151419245.unknown _1147465637.unknown _1151419119.unknown _1151418359.unknown _1147379809.unknown _1124281635.unknown _1124281720.unknown _1124455277.unknown _1147378154.unknown _1147378155.unknown _1124455279.unknown _1147377436.unknown _1124455394.unknown _1124455278.unknown _1124281762.unknown _1124282081.unknown _1124282083.unknown _1124455208.unknown _1124282082.unknown _1124281749.unknown _1124281682.unknown _1124281704.unknown _1124281652.unknown _1124281530.unknown _1124281552.unknown _1124281513.unknown _1124281187.unknown _1124281388.unknown _1124281428.unknown _1124281439.unknown _1124281419.unknown _1124281329.unknown _1124281381.unknown _1124281319.unknown _1124281193.unknown _1124281083.unknown _1124281156.unknown _1124281158.unknown _1124281184.unknown _1124281157.unknown _1124281104.unknown _1124281131.unknown _1124281144.unknown _1124281090.unknown _1124281017.unknown _1124281051.unknown _1124281079.unknown _1124281042.unknown _1124280952.unknown _1124281001.unknown _1124280804.unknown