现行系统的转移矩阵

对线性系统状态转移矩阵的讨论 张正强。等 对线性系统状态转移矩阵的讨论 Discussion on State Transition Matrix of Linear Systems 绳 旅 主华 互亿 建 (曲阜师范大学电气信息与自动化学院，山东 日照 276826) 摘 要：状态转移矩阵是现代控制理论的重要概念，在线性控制系统的运动分析 中起着重要的作用。分别对连续时间线性时变系 统 、离散时间线性定常系统以及离散时间线性时变系统 的状态转移矩阵进行 了研究。根据常微分方程和差分方程解 的唯一性 ，得到 了判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，并求出了其对应的系统矩阵。实践证明了结论的正确性。 关键词：现代控制理论 线性时变系统 状态转移矩阵 离散时间 常微分 中图分类号 ：TP273 文献标志码：A Abstract：The state transition matrix is an important concept in modem control theory。and it plays a critical role in motion analysis for linear control systems．Th e state transition matrixes of continuous time linear time varying system，discrete time linear constant system。and discrete time linear time varying system are studied respectively． By using the uniqueness of solutions of ordinary differential equation and difference equation，sufficient condition for judging a matrix function to become the state transition matrix of certain linear system is obtained；and COITe— sponding system matrixes are resolved．Th e practice proves that the conclusion is correct． Keywords：Modern control theory Linear time varying system State transition matrix Discrete time Ordinary differential 0 引言 状态转移矩阵是现代控制理论的重要概念，在线性 控制系统的运动分析中起着重要的作用。文献[1—8] 对线性系统的状态转移矩阵(包括连续时间线性定常系 统、连续时间线性时变系统、离散时间线性定常系统、离 散时间线性时变系统)进行了详细而深入的介绍。值得 指出的是，以往的文献都是在系统矩阵已知的前提下， 讨论状态转移矩阵的性质、求解。然而，给定一个矩阵 函数，如何判断它是某一线性系统的状态转移矩阵，如 果是状态转移矩阵，如何求取其对应的系统矩阵，这是 我们必须解决的问题。 通常情况下，判断矩阵函数是某一连续时间线性 时不变系统的状态转移矩阵的充要条件会在之前的工 作中给出。 本文对连续时间线性时变系统、离散时间线性定 常系统、离散时间线性时变系统的状态转移矩阵进行 了进一步的研究。根据常微分方程和差分方程解的唯 一 性，得到了判断矩阵函数是某一线性系统状态转移 矩阵的充分条件，并求出了其对应的系统矩阵。 曲阜师范大学科研基金资助项 目(编号：XJ0626)。 修改稿收到 日期：2008—12—09。 第一作者张正强，男，1978年生，2003年毕业于曲阜师范大学自动化 研究所．获硕士学位；主要从事非线性系统控制方面的研究。 1 预备知识 考虑连续时间线性时变系统 、离散时间线性定常 系统和时变系统，它们的齐次状态方程分别为： 戈：A(t) (t0)= 0 t≥t0 (1) (k+1)=Gx(k) (k0)= 0 (k=ko，k。+1，k0+2，⋯) (2) (k+1)=G(k) (k) (k0)= o (k=k0，k0+1，k0+2，⋯) (3) 式中： 为 n维状态 ；A(t)、G、G(k)为n x n系统矩阵。 系统(1)～(3)的解分别为 ¨ ： (t)= (t，t0) ( )= (k—k0) 0=Gk-kox0 ( )= (k，k。) 。 式中： (￡，t。)、 (七一k。)、 (k，k。)分别为系统(1)～(3) 的状态转移矩阵。对于离散定常系统 ， (k—k。)与初 始时刻无关，一般地，取 =0，则 (j}一ko)变为 ( )。 为了给出判断矩阵函数是某一线性系统状态转移 矩阵的充分条件 ，需要用到下面的引理。 引理 1 状态转移矩阵 (t，t )是下列矩阵微分 方程初值问题的解 ，且解是唯一的口 ： (t，t0)=A(t) (t，t0) (to，t0)=I t≥t0(4) 引理2 状态转移矩阵 (k)是下列矩阵差分方 程初值问题的解 ： 8 PROCESS AUTOMATION INSTRUMENTATION VoL 30 No．9 September 2009 对线性系统状态转移矩阵的讨论 张正强。等 (k+1)=G (k) (0)=I k>10 (5) 引理 3 状态转移矩阵 (．i}，k。)是下列矩阵差分 方程初值问题的解 ： (k+l， )=G(k) ( ，k。) (ko，k0)：I J}≥ (6) 2 状态转移矩阵的判定 2．1 判定结果 定理 1 任意 n阶关于t，t。的矩阵函数 ￡，t。)，若 对任意t≥f。， t，t。)关于t可导，qt(t，t。)是可逆矩阵， t。，t。)=J，并且[ t，t。)]只与t有关，则 t，t。)是某 一 连续时间线性时变系统的状态转移矩阵，且与之对应 的系统矩阵为[ t，t。)]妒 (t，t。)，t。为系统的初始时刻 (这里对t的导数是指二元函数 t，t )对 t的偏导数)。 令A(t)=[ (t，t。)] (t，t。)，由定理条件知 A(t)是关于 t的矩阵，与 t。无关，即： t，t0)=A(t) t，t0) t0，t0)=I (7) 根据式 (4)、式 (7)，由引理 1得 (t，t )= (t，t。)，故 t，t。)是某一连续时间线性时变系统的 状态转移矩阵，A(t)是与之对应的系统矩阵。 定理 2 任意 n阶关于k的矩阵函数 k)，若对任 意 ≥0， )可逆， 0)=j，并且 ．j}+1) (k)是常 数矩阵，则 )是某一离散时间线性定常系统的状态转 移矩阵，且与之对应的系统矩阵为 +1)缈 (k)。 令G= k+1) (k)，由定理条件知 G是常数 矩阵，即： k+1)=G k) 0)=I (8) 与连续时间线性时不变系统的情况类似，注意到 状态转移矩阵 (k)即矩阵方程(5)的解是唯一的，故 qt(k)是某一离散时间线性时不变系统的状态转移矩 阵，G是与之对应的系统矩阵。 定理3 任意 n阶关于 k，k 的矩阵函数 妒(k， k。)，若对任意k≥．i}。， k，k。)可逆，[妒(k+1，k。)]× 缈 (k，k。)只与 k有关，并且 妒(k。， 。)=I，则 妒(k， k。)是某一离散时间线性时变系统的状态转移矩阵，且 与之对应的系统矩阵为[缈(k+l，k。)]妒 (k，k。)，k。 为系统的初始时刻。 令G(k)=[缈(k+1，k。)]缈 (k，k。)，由定理条 件可知 G(k)是关于 k的矩阵，与 k。无关 ，即： k+1，k。)=G(k) k，k。) k。，k。)=I (9) 2．2 讨论 定理 l～3给出了判定矩阵函数是某一线性系统 状态转移矩阵的充分条件，也给出了计算其对应的系 《自动化仪表》第3o卷第9期 2009年9月 统矩阵的公式。由状态转移矩阵的性质可知 ¨ ，对 连续系统 ，定理 1的条件也是必要的；但对于离散系 统，由于状态转移矩阵不能保证必为非奇异口 ，所以定 理2和定理 3的条件不是必要的。但对于连续时间线 性系统的时间离散化系统，无论其为时不变或时变系 统，状态转移矩阵必为非奇异 ，此时定理 2和定理 3 的条件是充分必要的。 定理 1～3给出的条件是非常容易验证的，可使用 比较流行的 Matlab工具进行验证 ，因而这些充分条件 是有效的。 2．3 举例 例 1 判断下列矩阵 (t，t )是否是某一连续时 间线性时变系统的状态转移矩阵，如果是，求与之对应 的系统矩阵A(t)。 t,to) 【0．5t2_0_5 2 l J (1O) qt(t,to)= t- 2_0 to + ． 1 5 ：?】 (11) 式(10)中，对任意 t≥￡。， (t，t。)对 t可导、可逆， t0，t0)=J，且用 Matlab计算得： c，f0)】 (f，c0)=【 】 (12) 由定理 1可知，式(10)中的 (t，t。)是状态转移 矩阵，与之对应的系统矩阵即为上式。 式(11)中，对任意 t≥t。，缈(t，t。)对 t可导、可逆， to，t0)=I，但用 Matlab计算得： ：『南 。1(13 l c_ o j 由于定理 1的条件是充分必要的，故 (t，t )不 是某一连续时间线性时变系统的状态转移矩阵。 例2 判断下列矩阵 (k)是否是某一离散时间 线性定常系统的状态转移矩阵，如果是，求与之对应的 系统矩阵 G。 k)=÷ × 『 4(-0．2) 一(一Q 8) 5(一Q2) 一5(一a 8) 1 【一Q8(一Q2) +Q 8(一Q 8) 一(一Q2) +4(一Q 8) J 对任意 k≥0， (k)可逆， (0)=j，且用 Matlab 计算得 ： 『0 1 1 “ l一砉 一tj (下转第 13页) 双霍尔元件组合模型设计与应用研究 邱召运 sTART： MOV SP，#70H SETB EXO SETB ITO SETB EA LP： cALL DISPLAY ∥主程序调显示 JMP LP ∥主程序循环 lNT-0： PUSH ACC ∥Out 计数中断子程序 PUSH PSW JB P3．3，Ul ∥测试 Out2转向电平 CALL DEC — C ∥Out：低电平调减法运算 jMP lJ2 U1： CALL ADD _ C ∥Out2高电平调加法运算 U2： P0P PSW POP ACC RErrI DISPLAY： ⋯ ⋯ RET ADD — C： MOV A，30H ADD A．#01H DA A MOV 30H．A JNC ADD—R MOV A，31H ∥显示子程序(略) ∥双 BCD加法子程序 ADDC A，#00H DA A M0V 31H．A ADD — R： RET DEC — C： MOV A，30H ∥双BCD减法子程序 ADD A，#99H DA A MOV 30H，A DEC — R： RET END 3 结束语 开关 型 与开 关 型霍 尔 电路 构 成 的重叠 组 合 (DOC)模型，能够识别磁体的极性；开关型与锁存型 霍尔电路构成的平铺组合(DFC)模型，能够识别转向。 基于 DOC设计的双霍尔旋转编码器，具有零点和顺序 点绝对位置输出的特点，能够实现多点位置取样；基于 DFC设计的可逆计数传感器 ，能够直接输出转向和转 数信号。这2种组合模型，仅由2个霍尔元件构成，不 用信号处理电路支持，直接输出可用信息，电路简单实 用，不仅具有霍尔传感器的优点，还拓展了其应用 范围。 参考文献 [1]温殿忠，赵晓锋，张振辉．传感器原理及其应用[M]．哈尔滨：黑 龙江大学出版社。2008：15—60． [2]白韶红．集成霍尔传感器的发展[J]．自动化仪表，2003，24(3)： 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