数学分析之多元函数的极限与连续

数学分析之多元函数的极限与连续 《数学分析》 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 第十六章 多元函数的极限与连续 教学目的:1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处～进而掌握多元函数研究问题的手法与特点,2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。 教学重点难点:本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性,难点是二元函数极限的讨论。 教学时数:16学时 ? 1 平面点集与多元函数 一. 平面点集:平面点集的表示:满足的条件}.余集. 1. 常见平面点集: ? 全平面和半平面 : , , , 等. ? 矩形域: , }. ? 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是 和. ? 角域: . ? 简单域: 型域和型域. 2. 邻域: 圆邻域和方邻域～圆邻域内有方邻域～方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 - 1 - 《数学分析》教案 的区别. 二. 点集拓扑的基本概念: 1. 内点、外点和界点:集合的全体内点集表示为, 边界表示为 .集合的内点, 外点, 界点不定 . 例1 确定集的内点、外点集和边 界 . 例2 为Dirichlet函数. 确定集的内点、外点和界点集 . 2. ( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 . 例3 . 确定集的聚点集 . 解 的聚点集. 3. ( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集: 时称为开集 , 的聚点集时称为闭集. 存在非 开非闭集.和空集为既开又闭集. 4. ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域:以上常见平面点集均为区 域 . 5. 有界集与无界集: 6. 点集的直径: 两点的距离. 7. 三角不等式: - 2 - 《数学分析》教案 ,或,. 三. 点列的极限: 设, . 定义 的定义 ( 用邻域语言 ) . 例4 , , . 例5 设为点集的一个聚点 . 则存在中的点列, 使 . 四. 中的完备性定理: 1. Cauchy收敛准则: 先证{}为Cauchy列和均为Cauchy列. 2. 闭集套定理: P116. 3. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass聚点原理. 4. 有限复盖定理: 五. 二元函数: 1. 二元函数的定义、记法、图象: 2. 定义域: 例6 求定义域: ?> ; ?> . - 3 - 《数学分析》教案 3. 二元函数求值: 例7 , 求 . 例8 , 求. 4. 三种特殊函数: ? 变量对称函数: ,例8中的函数变量对称. ? 变量分离型函数: .例如 , 等 . 但函数不是变量分离型函数 . ? 具有奇、偶性的函数: ? 2 二元函数的极限 一. 全面极限与相对极限: 全面极限亦称为二重极限. 1. 全面极限的定义: 亦可记为. 由的定义引入. 例1 用“”定义验证极限 . P94例1. 例2 用“”定义验证极限 . - 4 - 《数学分析》教案 例3 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 . ( 用极坐标变换 ) P94例2. 2. 相对极限及方向极限: 相对极限和方向极限的定义. 3. 全面极限与相对极限的关系: Th 1 ,对D的每一个子集E ,只要点是E的聚点 , 就有. 推论1 设, 是的聚点 . 若极限不存在 , 则极限也不存在 . 推论2 设, 是和的聚点. 若存在极限 ,, 但, 则极限不存在. 推论3 极限存在, 对D内任一点列, 但 ,数列收敛 . 通常为证明极限不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或 证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 全面极限存在 ( 以下例5 ). - 5 - 《数学分析》教案 例4 证明极限不存 在.( 考虑沿直线的方向极限 ). 全面极限具有与一元函数极限类似的运算性质. 例5 求下列极限: ?> ; ?> ; ?> ; ?> . 4( 极限的定义: 其他类型的非正常极限～ 无穷远点的情况. 例6 验证. 二. 累次极限: 1. 累次极限的定义: 定义. 例7 , 求在点的两个累次极限 . P97 例6. 例8 , 求在点的两个累次极限 . 例9 , 求在点的两个累次极限 . - 6 - 《数学分析》教案 2. 全面极限与累次极限的关系: ? 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例8 ) ? 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在. 例如函数 在点的情况 . ? 全面极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例如例9中的函数,全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在. ? 两个累次极限存在(甚至相等)全面极限存在 .( 参阅例7 ). 综上 , 全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系 . 但有以下确定关系. Th 2 若全面极限和累次极限(或另一 次序)都存在 , 则必相等. ( 证 ) P98. 推论1 全面极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等 . 系1给出了累次极限次序可换的一个充分条件. 推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 全面极限不存在 . 但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 全面极限不存在 . ? 3 二元函数的连续性 一( 二元函数的连续,相对连续,概念:由一元函数连续概念引入 . 1. 连续的定义: - 7 - 《数学分析》教案 定义 用邻域语言定义相对连续 . 全面连续 . 函数有定义的孤立点必为连续点 . 例1 证明函数在点沿方向连续 . 函数的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定义连续性 . 函数在区域上的连续性 . 2. 二元连续( 即全面连续 ) 和单元连续 : 定义 ( 单元连续 ) 二元连续与单元连续的关系: 参阅]P101 图16—9. 3. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连 续性. 仅证复合函数连续性. 二. 二元初等函数及其连续性: 二元初等函数 , 二元初等函数的连续性. 三. 一致连续性: 定义. 四. 有界闭区域上连续函数的性质: 1. 有界性与最值性. ( 证 ) - 8 - 《数学分析》教案 2. 一致连续性. ( 证 ) 3. 介值性与零点定理. ( 证 ) 第十七章 多元函数微分学 教学目的:1.理解多元函数微分学的概念～特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系,2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点:本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用,难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数:18学时 ? 1 可微性 一( 可微性与全微分: 1( 可微性: 由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2( 全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: - 9 - 《数学分析》教案 2. 偏导数的几何意义: P109 图案17—1. 3. 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5 . 求偏导数. 例6 . 求偏导数. 例7 . 求偏导数, 并求. . 求和. 例8 解 =, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . - 10 - 《数学分析》教案 , 不存在 . 三. 可微条件: 1. 必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10 考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . - 11 - 《数学分析》教案 2. 充分条件: Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在 点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 在点处连续, 点存在 , Th 3 若 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简 证,留为作业) - 12 - 《数学分析》教案 证 因此 , 即 , 在点可微 , . 但时, 有 , 不存在, 沿方向极限 沿方向 不存在 ; 又时, ,因此, 不存在 , 在点处不连 续. 由关于和对称,也在点处不连续 . 四. 中值定理: Th 4 设函数在点的某邻域内存在偏导数 . 若属于 该邻域 , 则存在和, , 使得 . ( 证 ) 例12 设在区域D内. 证明在D内. 五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系: - 13 - 《数学分析》教案 六. 可微性的几何意义与应用: 1( 可微性的几何意义: 切平面的定义. P113. Th 5 曲面在点存在不平行于轴的 切平面的充要条件是函数在点可微 . ( 证略 ) 2. 切平面的求法: 设函数在点可微 ～则曲面 在点处的切平面方程为 , 其中 , ～ 法线方向数为 ～ 法线方程为 . 例13 试求抛物面 在点处的切平面方程和法 线方程 . P115例6 3. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照 , 原理 . 例14 求的近似值. P115例7 例15 应用公式计算某三角形面积 . 现测得 ,. 若测量的误差为的误差为 . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116. - 14 - 《数学分析》教案 ? 2 复合函数微分法 简介二元复合函数 : . 以下列三种情况介绍复合线路图 ; , ; . 一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例. Th 设函数在点D可微 , 函数 在点可微 , 则复合函数 在点可微, 且 , . ( 证 ) P118 称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加 ～沿线乘”或“并联加 ～串联乘” ,来概括 . 对所谓“外三内二”、 “外二内三”、 “外一内二”等复合情况～用“并联加 ～串 联乘”的原则可写出相应的链导公式. - 15 - 《数学分析》教案 链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱. 对外元, 内元, 有 ～ . 外元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例1 . 求和. P120 例1 例2 , . 求和. 例3 , 求和. 例4 设函数可微 ..求、和. 例5 用链导公式计算下列一元函数的导数 : ?> ; ?> . P121例4 例6 设函数可微. 在极坐标变换下 , 证明 - 16 - 《数学分析》教案 . P120例2 例7 设函数可微 , . 求证 . 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 . 例8 . 利用全微分形式不变性求, 并由此导出和 .P122 例5 ? 3 方向导数和梯度 一( 方向导数: 1( 方向导数的定义: 定义 设三元函数在点的某邻域内有定义 . 为从点出发的射线 . 为上且含于内的任一点 , 以表示与两点间的距离 . 若极限 存在 , 则称此极限为函数在点沿方向的方向导数 , 记为或 、. - 17 - 《数学分析》教案 对二元函数在点, 可仿此定义方向导数 . 易见 , 、和 是三元函数在点分别沿轴正向、轴 轴正向的方向导数 . 正向和 例1 =. 求在点处沿方向的方 向导数,其中 ?> 为方向; ?> 为从点 到点的方向. 解 ?> 为方向的射线为. 即 . , . 因此 , ?> 从点到点的方向的方向数为 方向的射线为 . , ; . 因此 , - 18 - 《数学分析》教案 2. 方向导数的计算: Th 若函数在点可微 , 则在点处沿任一方向的 方向导数都存在 , 且 ++, 其中、和为的方向余弦. ( 证 ) P125 对二元函数, +, 其中和 是的方向角. 註 由++= =, , , , , 可见 , 为向量, , 在方向上的投影. 例2 ( 上述例1 ) 解 ?> 的方向余弦为=, =, =. =1 , =, =. 因此 , =++ =. - 19 - 《数学分析》教案 ?> 的方向余弦为 =, =, =. 因此 , =. 可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 . 例3 P126 . 二. 梯度 ( 陡度 ): 1. 梯度的定义: , , . |= . 易见 , 对可微函数, 方向导数是梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为 |. 其中是与夹角. 可见时取最大值 , 在的反方 向取最小值 . 3. 梯度的运算: - 20 - 《数学分析》教案 ?> . ?> (+) = +. ?> () = +. ?> . ?> () = . 证?> , . . ? 4 Taylor公式和极值问题 一、高阶偏导数: 1. 高阶偏导数的定义、记法: 例9 求二阶偏导数和. P128例1 例10 . 求二阶偏导数. P128例2 2. 关于混合偏导数: P129—131. - 21 - 《数学分析》教案 3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , P131-132 例11 . 求和. P132例3 4. 验证或化简偏微分方程: 例12 . 证明+ . ( Laplace 方程 ) 例13 将方程变为极坐标形式. 解 . , , , . , ; 因此, . 方程化简为 . 例14 试确定和, 利用线性变换 将方程 化为. - 22 - 《数学分析》教案 解 , . =+++= =+2+. =+++= =++. =++. 因此 , + (+ . 令 , 或 或 ……, 此时方程化简为. 二( 中值定理和泰肋公式: 凸区域 . - 23 - 《数学分析》教案 Th 1 设二元函数在凸区域DD的所有内点处可微 . 上连续 , 在 内任意两点, 存在, 使 则对DD . 证 令. 系 若函数在区域D上存在偏导数 , 且, 则是D上的常 值函数. 二. Taylor公式: Th 2 (Taylor公式) 若函数在点的某邻域内有直到 阶连续偏导数 , 则对内任一点,存在相应的 , 使 证 P134 例1 求函数在点的Taylor公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算 P135—136例4 . 三. 极值问题: 1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值. - 24 - 《数学分析》教案 例2 P136例5 2( 极值的必要条件:与一元函数比较 . Th 3 设为函数的极值点 . 则当和存在时 , 有 =. ( 证 ) 函数的驻点、不可导点 ～ 函数的可疑点 . 3. 极值的充分条件: 代数准备: 给出二元( 实 )二次型 . 其 矩阵为 . ?> 是正定的,顺序主子式全, 是半正定的,顺序主子式全 ; ?> 是负定的,, 其中为阶顺序主子式. 是半负定的, . ?> < 0时, 是不定的. - 25 - 《数学分析》教案 充分条件的讨论: 设函数在点某邻域有二阶连续偏导 数 . 由Taylor公式 , 有 ++ . 令 , , , 则当为驻点时, 有 .其中 . 可见式的符号由二次型完全 决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse矩阵. 于是由上述代数准备, 有 ?> , 为 ( 严格 ) 极小值点 ; ?> , 为 ( 严格 ) 极大值点 ; ?> 时, 不是极值点; ?> 时, 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上 , 有以下定理 . Th 4 设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数 , 是驻点 . 则 - 26 - 《数学分析》教案 ?> 时 , 为极小值点; ?> 时 , 为极大值点; ?> 时 , 不是极值点; ?> 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 例3—7 P138—140 例6—10 . 四( 函数的最值: 例8 求函数 在域D = 上的最值 . 解 令 解得驻点为. . 在边界上 , , 驻点为, ; 在边界上 , , 没有驻点; 在边界上 , , 驻点为, . - 27 - 《数学分析》教案 又. 于是 , . .[] - 28 -