弱Henstock变差随机积分的收敛定理

弱Henstock变差随机积分的收敛定理 弱Henstock变差随机积分的收敛定理 第24卷第1期 2005年2月 兰州交通大学(自然科学版) JournalofLanzhouJiaotongUniversity(Natural,Sciences) V0L24No.1 Fe2005 文章编号:1001-4373(2005)01-O152-O2 弱Henstock变差随机积分的收敛定理 陈金淑,王军玺 (1.西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州7300702.兰州交通大学土木工程 甘肃兰州730070) 学院. 摘要:在讨论了随机积分可以用非一致Riemann和的方法刻画时所得积分(即WHVB积分)的基础上,通过定义 随机过程弱变差收敛的概念,得到了WHVB积分的平均收敛定理和一致收敛定理,并给出相应的证明. 关键词:随机积分;非一致的方法;Henstock逼近;收敛定理 中图分类号:O211.6文献标识码:A 1基本概念 设是定义在区间[0,1]上的正值函数,称 是指J?[e, 区间一点对(J,e)为belated一精细的, +()],其中,?E0,1],J一(口,是[0,1]的左 开右闭子区间;称有限区间一点集{(J,8):i一1, -.-n)是[0,1]的belated一精细的部分划分,是指 (j)J是[0,1]的不交的左开右闭子区间;(ij)Jc [8,8+(8).J. 称此方法为[0,1]的非一致划分. 定义1设:[0,1]xQ一(0,1)是关于? [0,1]和叫?Q的可测函数,称为局部停止过程, 是指对每一个?Eo,1-],+(,?)是停时. 空间(Q,F,{),P)上随机变量S(叫)称为停 时,是指对Vt?0,{叫?Q:S(叫)?t)?. 设S,T是两个停时,且S?T?1,即对V?? Q,S(叫)?丁(叫)?1.(S,7"3是随机区间,即 (S,7"3一{(f,co):S(叫)<t?丁)如果S(叫)< 丁(叫),S(叫)一t一丁(叫)如果S(叫)一丁(叫)) 设是局部停止过程,有限区间一点集{((Si, ],8):i一1,-"n)称为[0,1]的belated一精细 的部分随机划分指满足: (i)对Vi,(S,Ti]是随机区间,且对每一个叫 ?Q,(S(叫),)]:i一1,2…是[0,1]的不交左 开右闭子区间; (ij)每一个((S,],,)是belated一精细的, 即对每一个叫?Q,有(S(叫),(叫)]c[,,8+ (8,叫)](其中S,是停时). 收稿日期:2004-09-12 作者简介:陈金淑(1978一),女,甘肃武威人,硕士生 本文中(Q,F,{),P)指标准过滤空间,其中 {;f?[0,1])是F的递增一代数,X是右连左极 过程,且X(0,co)一0,过程U一{U:t?E0,1])称为 {)一适应的,指对Vt,U是F一可测的. 定义2设U是(Q,F,{),P)上的适应过程, 称"在E0,1]上关于过程X弱Hentock变差可积(记 作WHVB)到过程A:指对V,>0,存在[0,1]xQ 上局部停止过程,使对[0,1]的任意belated一精 细的部分随机划分D一{((s,],8):一1,2, …7"/},有 H E(I?{(x—Xs)一(A—A))I)?,=1 2主要结果及证明 定义3设A和A',7"/一1,2,…,是(Q,F, {),P)上随机过程,称A'在[n,上弱变差收敛 到过程A,指对Ve>0,存在正整数N及局部停止 过程(,叫),?[口,加,叫?Q,使对[口,的任意 belated一精细的部分随机划分D一{((S,], 8):i一1,2,…q),当7"/?N时,有 口 E(1?{(A一A)一(A—A))l)?, 定理1设M,',一1,2,…,是(Q,F,{), P)上的适应过程,使U'在[0,1]xQ上除一个 一 [0,1]上关于 零测集外一致收敛于",设U'在 L2鞅XWHVB可积,则U关于X在[0,1]上 WHVB可积且 rr lim(w)lU'dX一(w)l"dX 第1期陈金淑:弱t4enstock变差随机积分的收敛定理153 其中收敛为弱变差收敛. 证明因U在[O,1]xQ上一致收敛于U,所 以对V,>0,存在正整数N,当,l?N时,对V(e, ?)?[0,1]×Q,有 I(一(e,?)一(e,?)I< 于是当7'1,m?N时, I(一(e,?)一((e,?)I<2? 不妨设U关于X在[0,1]上WHVB可积到过 程A,则对每一个7'1,存在局部停止过程 (e,>0,使对[0,1]的任意belated一精细的 部分随机划分一{((S,T],e))有 E(I?{(x—Xs)一(A—A))I)?,/3 现对任意的e?[0,1],定义(e,co)>0,使 e+(,?)一min{~+(e,?),e+(e,?)) 则(e,?)是局部停止过程,设D一((S,T],是 [0,1]的任意belated一精细的部分随机划分,则 E(I?{(A一A)一(A一A))Iz)? D 3E(I?{(x—xs)一(A一A))12)+ 3E(I?{";(x—xs)一(A一A))I.)+ 3E(I?{(tt;")一")(x—xs))I)?,+D ,+3E(I?{("一)(Xr—Xs))I)?,+D ,+12d~(?(孵一聪))?2,+D 12e(E(X>1一E<X>o) 其中,<X>表示X的平方变差过程. 于是A的弱变差极限存在,不妨设为A,则对 以上及D,有 E(1?{(A一A)一(AT—As)}l)?,/3 D 目 E(I?{(xT—Xs)一(At—As))I)?D 3E(I?{(e一")(xT—Xs)}I)+D 3E(I?((x—Xs)一(A—A)I)+D 3E(I?{(A—A)一(A—As))I)?D 3E(I?{(一)(xT—Xs))I)+,+D ,?,+,+3,E(?(孵一怒))?2,+D 3,(E<X>1一E<X>o) 所以U关于XWHVB可积到A 定理2设U,U',,l一1,2,…,是(Q,F,{}, P)上的适应过程,使U在[0,1]×Q上除一个x 一 零测集外收敛于U,假定U在[0,1]上关于L鞅 XWHVB可积到过程A,则U在[0,1]上关于L 鞅XWHVB可积到过程A的充分必要条件是A'一 在[0,1]上弱变差收敛到过程A 证明必要性由文献[1]定理4.10可得. 充分性)设U关于X在[0,1]上WHVB可积到 A,由文献[1]引理4.5,不妨设U'在[0,1]×Q上 点点收敛于H,因ll(关于X在[0,1]上WI-tVB可 积到过程A,则对每一个,存在局部停止过程 (e,?)>0,使对[0,1]的任意belated一精细的 部分随机划分一{((S,丁],p}有 E(I?{"(Xr—Xs)一(A一A')}l)?,/3 而U关于XWHVB可积到A,则存在局部停止 过程(e,?)>0,使对[0,1]的任意belated&一精 细的部分随机划分D一{((S,丁],e)}有 E(I?{u~(Xr—Xs)一(At—As)}l)?,/3 又""在[0,1]×Q上点点收敛于",于是对任 意的(e,?)?[0,1]×Q,存在自然数N—N(e,?), 当,l?N时有 lU'(e,&,)一"(e,&,)l<?, 现对每个玎?N定义(e,?)>0,使 e+(e,?)一min{,e+(e,?),e+(e,?)) 则(e,?)是局部停止过程,设D一((S,丁],是 [0.1]的任意belated一精细的部分随机划分,则 E(I{(A一A)一(AT—As))l)? D 3E(I?{(Xr—Xs)一(A一A))I)+D 3E(I?{";,|)(Xr—Xs)一u~(Xr—Xs)}I)+D 3E(I?((Xr—Xs)一(At--As)}l)?D ,+3E(I?{(";,|)一).(Xr—Xs)}1)+,? D 2,+3E(I?(Xr—Xs))? D 2,+3,(E<X>1一E<X>o) 所以A在[0,1]上弱变差收敛到过程A 至此,给出了WHVB积分的平均收敛定理和一 致收敛定理. (下转第158页) 158兰州交通大学(自然科学版)第24卷 I-2-1 [3] [4] [5] [6] 薛燕,呆思忠,彭爱东.非对称取代脲的合成与应用 [J].有机化学,2002,22(8):529—535. 翟秀红,王瑾玲,郁铭,等.N,N一双(3一氯苯基)脲的 合成,结构及生物活性[J].化学研究与应用,1999,11 (6):650-652. 李再峰,罗富英.14个N-取代苯基-N,_[6一(2一取代苯并 噻唑)基]脲类化合物合成与结构表征[J].有机化学, 2001,21(4):317-321. 王立坤,李正名.具有生物活性的脲类化合物的合成研 究[J].化学 通报 工作完成情况通报公司开除员工通报员工辞退通报事故处理决定的通报监督检查情况通报 ,1992,54(1):32—37. ArrietaA,PalomoCAnewmethodofpreparingN. N一disubstitutedarylureasusingphenylN一pheny一 [73 [8-1 [93 lphosphoramidoazidatereagent[J].TetrahedronLett, 1981,22(18):1729—1732. BateyRA,SanthakumarV,Yoshina—IshiiC,etaL Anefficientnewprotocolfortheformationofunsym- metricaltri—andtetrasubstitutedureas[J].Tetrahed- ronLett,1998,39(35):6267—6270. 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Keywords:unsymmetricallysubstitutedurea;Curtiusrearrangement;isocyanates;synthesi s .'止.'止.'止.'止.'也.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止?'止.'止.'止.'止.' 止.'止.'止.'止.'也.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止.'止 (上接第153页) 参考文献: [1] E2] TohTL,ChewTSTheRiemannapproachtOsto— chasticintegrationusingnon—uniformmeshes[J-1.J. MathAna1.Appl,2003,(280):133—147. 黄志远.随机分析学基础[M].北京:科学院出版社, 2001. [33丁传松,李秉彝.广义黎曼积分[M].北京:科学出版 社,1989. [4]YehJ.Martingalesandstochasticanalysis[-M-1.w0rld ScientificPublishingCo.Pte.Ltd,1995. ConvergenceTheoremsofWHVBStochasticIntegral ChenJinshu,WangJunxi (1.SchoolofMathematicsandInformationScince,No~hwestNormalUniversity,Lanzhou730070,China 2.SchoolofCivilEngineering,LanzhouJiaotongUniversity,1.anzhou730070,China) Abstract:Inpaper[1],theautherhasprovedthatthestochasticintegralcanbedefinedbyRiemannSap— proachusingnon-uniformmeshes,i.e.WHVBstochasticintegra1.Inthispaper,wegivethedefinitionof weakvariationallyconvergeandprovetheaverageconvergencetheoremanduniformconvergencetheorem 0fWHVBstochasticintegra1. Keywords:stochasticintegral;non-uniformmeshes;Henstocksapproach;convergencetheorem