旋转曲面、柱面和二次曲面
一、旋转曲面
定义 一条曲线C绕一条直线 l旋转所得的曲面称为旋转曲面。 l称为轴，C
称为母线。
设旋转轴为 轴，母线 在 平面上，其方程为 ，则旋转曲
面的方程为
z C yOz
0
0),(
x
zyf
0)z,( 22 yxf
z
。
坐标平面上的一条曲线绕该坐标面上的一条坐标轴旋转所得旋转曲面方程
的求法：在该曲线在坐标平面上的方程中，保留与旋转轴同名的变量不动，而把
另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根。
例 1 母线 绕 轴旋转所得的旋转曲面方程为
，这个曲面称为旋转抛物面。
0
2
:
2
x
pzy
C
pzyx 222
例 2 母线
0
1: 2
2
2
2
y
c
z
a
x
C 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
12
2
2
22
c
z
a
yx ，这个曲面称为旋转单叶双曲面；绕 x轴旋转所得旋转曲面方程
为 12
22
2
2
c
zy
a
x 这个曲面称为旋转双叶双曲面。
二、柱面
定义 一条直线 l沿着一条空间曲线 平行移动所形成的曲面称为柱面。l称
为母线， 称为准线。
C
C
定理 在空间直角坐标系中，只含两个元的三元方程所
表
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示的曲面是一个柱
面，它的母线平行于所缺元的同名坐标轴。
椭圆柱面： 12
2
2
2
b
y
a
x 双曲柱面： 12
2
2
2
b
y
a
x 抛物柱面： pxy 22
三、二次曲面
(1) 椭圆锥面： 22
2
2
2
z
b
y
a
x (2) 椭球面： 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
(3) 单叶双曲面： 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x (4) 双叶双曲面： 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
(5) 椭圆抛物面： z
b
y
a
x 2
2
2
2
(6) 双曲抛物面： z
b
y
a
x 2
2
2
2
浙公网安备 33021202002483