数字信号处理第三章

3.1离散傅里叶变换的定义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例第3章离散傅里叶变换(DFT)3.1离散傅里叶变换的定义3.1.1DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则x(n)的N点离散傅里叶变换定义为:X(k)的离散傅里叶逆变换为:式中：WN=，N为DFT变换区间长度，N≥M。通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。由定义知：DFT使有限长时域离散序列与有限长频域离散序列建立起对应关系把(3.1.1)式代入(3.1.2)式，有由于所以，在变换区间上满足：离散傅立叶变换是唯一的[例3.1.1]x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。解：设变换区间N=8，则：设变换区间N=16，则：DFT的结果与N长度有关3.1.2DFT和ZT/FT的关系设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：比较上面二式可得关系式：或： 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明序列x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔采样。说明X(k)为x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间[0,2]上的N点等间隔采样。N点DFT的物理意义是对x(n)的频谱在[0，2π]上进行N点等间隔采样即对序列的频谱离散化上例中，DFT变换区间长度N分别取8、16，X(k)的幅度曲线图如图所示。因此，对同一序列x(n)：（1）DFT的变换区间长度N不同，变换结果不同。（2）当N足够大|X(k)|的包络可逼近|X(ejω)|曲线。（3）|X(k)|表示ωk=(2π/N)k频点的幅度谱线。3.1.3DFT的隐含周期性DFT的隐含周期性可以从三个不同角度得出：（1）X(k)是对x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间[0,2]上的N点等间隔采样，由于X(ejω)周期性的，X(k)也为周期性的。（2）由于WknN的周期性，使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性，周期均为N。因为：对任意整数m，总有：均为整数所以，X(k)满足：同理在(3.1.2)式中，有：x(n+mN)=x(n)是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列主值区间：周期序列从n=0到N-1的第一个周期。x(n)为长度为N的有限长序列主值序列：而主值区间上的序列称为的主值序列。（3）由X(k)与x(n)的周期延拓序列的DFS系数的关系也可得出其隐含周期性。图3.1.2有限长序列及其周期延拓(n)的离散傅里叶级数DFS表示为(3.1.8)和DFT的定义(3.1.1)相比，可知X(k)是主值序列。所以如：DFT［R4(n)］4表示R4(n)以4为周期的周期延拓序列R4((n))4的频谱特性，因为R4((n))4是一个直流序列，只有直流成分（即零频率成分）。3.2离散傅里叶变换的基本性质学习DFT的性质要与FT的性质对照，弄清两者的主要区别：FT的变换区间为（-，+），它以原点为对称点；DFT的变换区间为0nN-1，它以N/2为对称点。3.2.2循环移位性质1.序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为M，则x(n)的循环移位为:y(n)=x((n+m))NRN(N)(3.2.2)3.2.1线性性质若x1(n)-----N1、x2(n)-----N2y(n)=ax1(n)+bx2(n)，a、b为常数，取N=max［N1,N2］，则y(n)的N点DFT为: Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k),0≤k≤N-1(3.2.1)图3.2.1循环移位过程示意图2.时域循环移位定理设x(n)是长度为M的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即:y(n)=x((n+m))NRN(n)则：Y(k)=DFT[y(n)]N=W-kmNX(k)(3.2.3)其中：X(k)=DFT[x(n)]N,0≤k≤N-1。时域循环移位频域乘以W-kmN3.频域循环移位定理若：X(k)=DFT[x(n)],0≤k≤N-1Y(k)=X((k+l))NRN(k)则：y(n)=IDFT[Y(k)]=WnlNx(n)(3.2.4)频域循环移位时域乘以WnlN3.2.3循环卷积定理　　1．两个有限长序列的循环卷积　　设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3.2.5）yc(n)=h(n)　　x(n)L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。用矩阵计算循环卷积的公式当n=0,1,2,…,L－1时，由x(n)形成的序列为:{x(0),x(1),…,x(L－1)}令n=0,m=0,1,…,L－1，(3.2.5)中x((n-m))L形成的循环倒相序列为令n=1,m=0,1,…,L-1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成的序列为（3.2.6）上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”，其特点是:　　（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度M<L，则需要在x(n)末尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。　　（2）第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。　　（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。[例3.2.1]计算两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积　　解　按照式（3.2.21）写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为图3.2.2序列及其循环卷积波形　　2.循环卷积定理　有限长序列x1(n)和x2(n)的长度分别为N1和N2，N=max［N1,N2］，x1(n)和x2(n)的N点循环卷积为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3.2.8）则x(n)的N点DFT为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　其中N（3.2.9）频域循环卷积定理：如果:x(n)=x1(n)x2(n)则:式中：X1(k)=DFT［x1(n)］X2(k)=DFT［x2(n)］0≤k≤N-1(3.2.6)或：3.2.4复共轭序列的DFT设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为NX(k)=DFT［x(n)］则：DFT［x*(n)］=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.7) 且X(N)=X(0)同样有：DFT［x*(N-n)］=X*(k)(3.2.8)3.2.5DFT的共轭对称性1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列区别于傅里叶变换中类似概念，这里用xep(n)和xop(n)表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，其满足如下定义：xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1(3.2.9)xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1(3.2.10)当N为偶数时，将上式中的n换成N/2-n，可得到：上式更清楚地说明了有限长序列共轭对称性的含义。图3.2.3共轭对称与共轭反对称序列示意图任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量，任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即：x(n)=xep(n)+xop(n),0≤n≤N-1(3.2.11)将上式中的n换成N-n，并取复共轭，再将(3.2.9)式和(3.2.10)式代入得到： x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n)(3.2.12)所以：xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］(3.2.13)xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］(3.2.14)2.DFT的共轭对称性(1)如果x(n)=xr(n)+jxi(n)其中：xr=Re［x(n)］=1/2［x(n)+x*(n)］jxi(n)=jIm［x(n)］=1/2［x(n)-x*(n)］则：DFT［xr(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(n)］=1/2［X(k)+X*(N-k)］=Xep(k)DFT［jxi(n)］=1/2DFT［x(n)-x*(n)］=1/2［X(k)-X*(N-k)］=Xop(k)由线性性质可得：X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)(3.2.16)其中：Xep(k)=DFT［xr(n)］,X(k)的共轭对称分量Xop(k)=DFT［jxi(n)］,X(k)的共轭反对称分量(2)如果x(n)=xep(n)+xop(n)，0≤n≤N-1(3.2.17)其中：xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］,x(n)的共轭对称分量xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］,x(n)的共轭反对称分量由复共轭序列的DFT(3.2.8)式，得： DFT［xep(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(N-n)］=1/2［X(k)+X*(k)］=Re［X(k)］DFT［xop(n)］=1/2DFT［x(n)-x*(N-n)］=1/2［X(k)-X*(k)］=jIm［X(k)］因此：X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)+jXI(k)(3.2.18)其中：XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］设x(n)是长度为N的实序列，x(n)只有实部，则：(1)X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.19)(2)如果实偶对称x(n)=x(N-n)，则X(k)实偶对称，即：X(k)=X(N-k)(3.2.20)(3)如果实奇对称x(n)=-x(N-n)，则X(k)纯虚奇对称，即：X(k)=X*(N-k)=-X(N-k)(3.2.21)利用DFT的共轭对称性，可减少DFT的运算量，提高运算效率。例如，对实序列其N点DFT必为共轭对称，所以只需计算前一半X(k)的值。当N=偶数时，只需计算前(N/2)+1点；而N=奇数时，只需计算前(N+1)／2点，其它点按照(3.2.19)式即可求得。由DFT的共轭对称性质，对一些特殊信号，有： Xep(k)=DFT［x1(n)］=1/2［X(k)+X*(N-k)］Xop(k)=DFT［jx2(n)］=1/2［X(k)-X*(N-k)］ 所以： X1(k)=DFT［x1(n)］=1/2［X(k)+X*(N-k)］X2(k)=DFT［x2(n)］=-j1/2［X(k)-X*(N-k)］利用DFT的共轭对称性，通过计算一个N点DFT，可以得到两个不同实序列的N点DFT，设x1(n)和x2(n)为两个实序列，构成新序列x(n)如下：x(n)=x1(n)+jx2(n)对x(n)进行DFT，得到：X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)3.3频率域采样时域采样定理告诉我们在一定条件下，可以由时域离散采样信号恢复原来的连续信号。模拟信号经时域采样得时域离散序列的频谱是原模拟信号频谱的周期性延拓。图1.5.3　采样信号的频谱图1.5.4　采样恢复(1)频率域采样定理设任意序列x(n)的Z变换为且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到xN(n)=IDFT［X(k)］，0≤n≤N-1由DFT与DFS的关系可知，X(k)是xN(n)以N为周期的周期延拓序列(n)的离散傅里叶级数系数(k)的值序列，即将式(3.3.1)代入上式得式中为整数其它m如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数N≥M时，才有xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n)即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。这就是所谓的频域采样定理。(3.3.2)(3.3.3)X(z)等间隔采样的IDFT是原序列x(n)以N为周期的周期延拓的主值序列3.4DFT的应用举例DFT的快速算法----FFT的出现，使DFT在数字通信、语言信号处理、数值分析等各个领域都得到广泛应用。本节主要介绍：用DFT计算卷积(相关系数)的基本原理用DFT对连续信号和序列进行谱分析只要掌握了这两种基本应用的原理，就为用DFT解决数字滤波和系统分析等问题打下了基础。3.4.1用DFT计算线性卷积如果0≤k≤L-1则由时域循环卷积定理有：Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),0≤k≤L-1由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以按照上图所示的计算框图在频域计算。由于DFT具有快速算法（FFT），当N很大时，在频域计算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。图3.4.1用DFT计算循环卷积y(n)在实际应用中，需要计算两个序列的线性卷积，为了提高运算速度，希望用DFT(FFT)计算线性卷积。而DFT只能直接用来计算循环卷积，为此须知线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M。它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：其中：L≥max［N,M］(3.4.1)(3.4.2)对照式(3.4.1)可以看出，上式中:(3.4.3)yc(n)等于yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列。(3.4.1)(3.4.2)图3.4.2线性卷积与循环卷积yl(n)的长度为N+M-1，因此只有当循环卷积长度LN+M-1时，yl(n)以L为周期进行周期延拓时才无混叠现象。此时取其主值序列显然满足yc(n)＝yl(n)。由此：循环卷积等于线性卷积的条件是-----LN+M-1图3.4.3用DFT计算线性卷积框图如果取L＝N+M-1，则可用DFT(FFT)计算线性卷积，计算框图如下图。其中DFT和IDFT通常用快速算法(FFT)来实现，故常称其为快速卷积。实际上，如果两个序列的长度相差很大，例如M>>N。如选取L=M+N-1，以L为运算区间进行快速卷积，则要求对短序列补充很多零点，序列必须全部输入后才能进行快速计算。因此要求存贮容量大，运算时间长，并使处理延时很大，很难实时处理。而且，在某些应用场合，序列长度不定或者认为是无限长（如语音信号和地震信号等），在要求实时处理时，不能直接套用上述方法。解决问题的方法：是将长序列分段计算，这种分段处理法有重叠相加法和重叠保留法两种。这里介绍重叠相加法。设序列h(n)长度为N，x(n)为无限长序列。将x(n)均匀分段，每段长度取M，则：于是，h(n)与x(n)的线性卷积可表示为：其中：该式说明，计算h(n)与x(n)的线性卷积时，可先进行分段线性卷积yk(n)，然后把分段卷积结果叠加起来即可。图3.4.4重叠相加法卷积示意图每一分段卷积yk(n)的长度为N+M-1，因此yk(n)与yk+1(n)有N-1个点重叠，必须把重叠的部分相加，才能得到完整的卷积序列y(n)。由图3.4.4可以看出，当第二个分段卷积y1(n)计算完后，叠加重叠点便可得输出序列y(n)的前2M个值，同样，分段卷积yi(n)计算完后，就可得到y(n)第i段的M个序列值。显然可用快速卷积法计算分段卷积，快速卷积的计算区间为L＝N+M-1。这种方法不要求大的存贮容量，而且运算量和延时也大大减少。　　用DFT计算分段卷积yk(n)的方法如下：　　(1)i=0；L=N＋M－1；计算并保存H(k)=DFT［h(n)］L;　　(2)读入xk(n)=x(n)RM(n－kM)，构造变换区间［0，L－1］上的序列　　　　　　　　　　　　，实际中就是将xi(n)的M个值存放在长度为M的数组中,并计算　　　　　　　　　　(3)　　　　　　　　　(4)　　　　　　　　　　　　，n=0,1,2,…,L－1；　　(5)计算：　　(6)i=i＋1，返回(2)。　　　应当说明，一般x(n)是因果序列，假设初始条件y－1(n)=0。3.4.2用DFT对信号进行谱分析信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，是分析离散信号和系统的有力工具。1.用DFT对连续信号进行谱分析连续信号xa(t)，其频谱函数Xa(jΩ)也是连续函数。DFT对xa(t)进行频谱分析，先对xa(t)进行时域采样，得到x(n)=xa(nT)，再对x(n)进行DFT，得到X(k)，这里x(n)和X(k)均为有限长序列。若信号持续时间有限长则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽则其持续时间无限长，所以严格地讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。从工程角度看，滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的。因此，在下面分析中，假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。由假设条件可知x(n)的长度为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3.4.5)用X(k)表示x(n)的N点DFT，下面推导出X(k)与Xa(jΩ)的关系式中(3.4.6)def表示模拟信号频谱Xa(jΩ)的周期延拓函数。设连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fc，如图3.4.6(a)所示。xa(t)的傅里叶变换为Xa(jΩ)，对xa(t)进行时域采样得到x(n)=xa(nT)，x(n)的傅里叶变换为X(ejω)。由x(n)的N点DFT的定义有(3.4.7)将(3.4.7)式代入(3.4.6)式,得到：(3.4.8)(3.4.8)式说明了X(k)与Xa(jΩ)的关系。为了符合一般的频谱描述习惯，以频率f为自变量，整理（3.4.8）式。(3.4.6)defdef令N11spFNTTF===图3.4.6用DFT分析连续信号谱的原理示意图对模拟信号频谱的采用间隔，称之为频率分辨率连续信号的频谱，可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T近似得到对持续时间有限的带限信号，在满足时域采样定理时，上述分析方法不丢失信息。即可由Xa(k)恢复Xa(jf)或xa(t)，但直接由分析结果Xa(k)看不到Xa(jf)的全部频谱特性，而只能看到N个离散采样点的谱特性，这就是所谓的栅栏效应。如果xa(t)持续时间无限长，上述分析中要进行截断处理，所以会产生频率混叠和泄漏现象，从而使谱分析产生误差，即截断效应。下面以理想低通滤波器为例说明问题的产生。理想低通滤波器的单位冲击响应ha(t)及其频响函数Ha(if)如下图(a)、(b)所示。图中：现在用DFT来分析ha(t)的频率响应特性。由于ha(t)的持续时间为无穷长，所以要截取一段Tp，设Tp=8s，采样间隔T=0.25s(即采样速度fs=4Hz)，采样点数N=Tp/T=32。此时频域采样间隔F=1/NT=0.125Hz。则：H(k)=T·DFT［h(n)］,0≤k≤31其中h(n)=ha(nT)R32(n)频率响应特性有较大的波动，这是由于对ha(t)截断产生的。为了减少截断误差，可以增大Tp和N。在已知信号的最高频率fc(即谱分析范围)时，为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象，要求采样速率fs满足：fs＞2fc(3.4.13)而谱分辨率：F=fs/N如果保持采样点数N不变，要提高谱的分辨率(F减小)，必须降低采样速率，采样速率的降低会引起谱分析范围减少。如维持fs不变，为提高分辨率可以增加采样点数N，因为NT=Tp，T=fs-1，只有增加对信号的观察时间Tp，才能增加N。Tp和N可以按照下式进行选择:(3.4.14)(3.4.15)[例3.4.2]对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F≤10Hz，信号最高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间TPmin，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果fc不变，要求谱分辨率增加一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少?解：因此TPmin=0.1s，因为要求fs≥2fc，所以：为使频率分辨率提高一倍（F=5Hz），则要求：为了使用FFT，N常取2的整数次幂。如1024DFT对连续信号分析时的参数选择原则fc----信号最高截止频率F-----频(谱)率分辨率（频域采样时的最小频率间隔）Fs----采样频率　　　　　　　Tp----信号记录时间T----采样间隔N-----采样点数4.用DFT进行谱分析的误差问题DFT(FFT)可用来对连续和数字信号进行谱分析。(1)混叠现象。(2)栅栏效应。(3)截断效应。1.频谱混叠对连续信号进行分析时，需要首先进行时域离散，如果采样频率Fs不能够满足采样定理，则将会在Fs/2附近发生频率混叠现象，此时用DFT进行分析结果必然在Fs/2附近产生较大误差。一般取Fs＝(3~5)fc。在Fs确定时，一般在采样前进行预滤波，以滤除高于折叠频率的频率成分。解决办法:预滤波增大采样频率2.栅栏效应1.通过DFT来分析连续时间信号的频谱特性，而DFT是对DTFT在一个周期内的N点等间隔采样2.所以DFT的结果只能表示信号的频谱特性在一些频域采样点上的值。仿佛是隔着栅栏看风景解决途径：在所取数据的末端加一些零值点，使一个周期内点数增加,但是不改变原有的记录数据。(3)截断效应实际中遇到的序列x(n)可能是无限长的，用DFT对其进行谱分析时，必须将其截短，形成有限长序列y(n)=x(n)w(n)，w(n)称为窗函数，长度为N。w(n)=RN(n),称为矩形窗函数。根据傅里叶变换的频域卷积定理，有其中对矩形窗数w(n)=RN(n)，有　　例如，x(n)=cos(ω0n)，ω0=π/4,其频谱为Y(ejω)与X(ejω)相比有两方面的差别：（1）存在泄漏（谱的展宽）（2）谱间干扰（旁瓣引起）比较截断前、后的幅度谱的差别：谱线加宽，频谱泄露定义：原来的离散谱线向两边展宽，这种将谱线展宽的现象称为频谱泄漏。约束因素：矩形窗的长度越长，展宽的宽度就越窄。影响：泄漏会使频谱模糊，谱的分辨率降低。谱间干扰出现原因：频谱卷积以后存在着的旁瓣影响：降低谱分辨率泄漏和谱间干扰统称为信号的截断效应。减轻截断效应的方法---（1）适当加大窗口宽度；（2）采用适当形状的窗函数截断