一致连续与一致收敛的关系
由于函数项级数的收敛等价于函数序列的收敛，为简单起见，下面只对函数序列作讨论。
定理 如果函数序列
，
中的每一个函数都在区间
上一致连续，当
时，
区间
上一致收敛于函数
，那么
也在区间
上一致连续。
证 任意给定一个
。
因为
区间
上一致收敛于函数
，所以对于给定的
，必有一个与
无关的正整数
，使得当
时，对任何
，有
，
。
现在取定
，因为
在区间
上一致连续，所以对于给定的
，必有一个与
无关的正数
，使得对任何
，只要有
，就一定有
。
所以，对于给定的
，可以找到与
无关的正整数
和正数
，使得对任何
，只要有
，就一定有
EMBED Equation.3 。
由此可见，
在区间
上一致连续。
如果将上述定理的条件减弱一点，结论就不一定成立了。
（一）如果函数序列
，
中的每一个函数都在区间
上连续（但不是一致连续），当
时，
区间
上一致收敛于函数
，这时
不一定在区间
上一致连续。
例 取
，
，其中每一个函数都在区间
上连续（但不是一致连续），当
时，
显然在区间
上一致收敛于
。但是，
在区间
上并不一致连续。
（二）如果函数序列
，
中的每一个函数都在区间
上一致连续，当
时，
区间
上收敛（但不是一致收敛）于函数
，这时
不一定在区间
上一致连续。
例 取
，
，其中每一个函数都在
上一致连续，
当
时，
收敛（但不是一致收敛）于
。
在
上是不连续的，更不会是一致连续的了。
（三）如果函数序列
，
中的每一个函数都在区间
上一致连续，当
时，
区间
上收敛于函数
，而且已知
在区间
上一致连续，但是，这时并不能反过来推论说
一定是一致收敛于函数
。
例 取
，
，其中每一个函数都在区间
上一致连续，当
时，
在区间
上收敛于
，而且
在区间
上一致连续。但是，
在区间
上并不一致收敛于
。
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