高中数学复习专题讲座关于不等式证明的常用方法

题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目 高中数学复习专题讲座 HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" 关于不等式证明的常用 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 高考要求 不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合 高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本节着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力 重难点归纳 1 不等式证明常用的方法有 比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法 (1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证 (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野 2 不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性 放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查 有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法 证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点 典型题例示范讲解 例1证明不等式 (n∈N*) 命题意图 本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力 知识依托 本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等 错解分析 此题易出现下列放缩错误 这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的 技巧与方法 本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法 证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标 而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省 证法一 (1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立 (2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+ ＜2 ， ∴当n=k+1时，不等式成立 综合(1)、(2)得 当n∈N*时，都有1+ ＜2 另从k到k+1时的证明还有下列证法 证法二 对任意k∈N*，都有 证法三 设f(n)= 那么对任意k∈N* 都有 ∴f(k+1)＞f(k) 因此，对任意n∈N* 都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0， ∴ 例2求使 ≤a (x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值 命题意图 本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力 知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值 错解分析 本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cosθ、sinθ来对应进行换元，即令 =cosθ， =sinθ(0＜θ＜ )，这样也得a≥sinθ+cosθ，但是这种换元是错误的 其原因是 (1)缩小了x、y的范围 (2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的 技巧与方法 除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max 若 a≤f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题 还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化 解法一 由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得 x+y+2 ≤a2(x+y)，即2 ≤(a2－1)(x+y)， ① ∴x，y＞0，∴x+y≥2 ， ② 当且仅当x=y时，②中有等号成立 比较①、②得a的最小值满足a2－1=1， ∴a2=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是 解法二 设 ∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立)， ∴ ≤1， 的最大值是1 从而可知，u的最大值为 ， 又由已知，得a≥u，∴a的最小值为 解法三 ∵y＞0， ∴原不等式可化为 +1≤a ， 设 =tanθ，θ∈(0， ) ∴tanθ+1≤a 即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ= sin(θ+ )， ③ 又∵sin(θ+ )的最大值为1(此时θ= ) 由③式可知a的最小值为 例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求证 (a+ )(b+ )≥ 证法一 (分析综合法） 欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0， 即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤ 或ab≥8 ∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2 ，∴ab≤ ，从而得证 证法二 (均值代换法) 设a= +t1，b= +t2 ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜ ，|t2|＜ 显然当且仅当t=0，即a=b= 时，等号成立 证法三 (比较法） ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ 证法四 (综合法) ∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ 证法五 (三角代换法） ∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0， ) 2 学生巩固练习 1 已知x、y是正变数,a、b是正常数,且 =1，x+y的最小值为 _ 2 设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是_________ 3 若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，则m、n、p、q的大小顺序是__________ 4 已知a，b，c为正实数，a+b+c=1 求证 (1)a2+b2+c2≥ (2) ≤6 5 已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2= ， 证明 x，y，z∈［0， ］ 6 证明下列不等式 (1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+， 则 z2≥2(xy+yz+zx) (2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz， 则 ≥2( ) 7 已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n (1)证明 niA ＜miA (2)证明 (1+m)n＞(1+n)m 8 若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证 a+b≤2，ab≤1 参考答案 1 解析 令 =cos2θ， =sin2θ，则x=asec2θ，y=bcsc2θ， ∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ ≥a+b+2 答案 a+b+2 2 解析 由0≤|a－d|＜|b－c| (a－d)2＜(b－c)2 (a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc ∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc 答案 ad＞bc 3 解析 把p、q看成变量，则m＜p＜n，m＜q＜n 答案 m＜p＜q＜n 4 (1)证法一 a2+b2+c2－ = (3a2+3b2+3c2－1) = ［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］ = ［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］ = ［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥ 证法二 ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 ∴a2+b2+c2≥ 证法三 ∵ ∴a2+b2+c2≥ ∴a2+b2+c2≥ 证法四 设a= +α，b= +β，c= +γ ∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0 ∴a2+b2+c2=( +α)2+( +β)2+( +γ)2 = + (α+β+γ)+α2+β2+γ2 = +α2+β2+γ2≥ ∴a2+b2+c2≥ ∴原不等式成立 证法二 ∴ ≤ ＜6 ∴原不等式成立 5 证法一 由x+y+z=1，x2+y2+z2= ，得x2+y2+(1－x－y)2= ，整理成关于y的一元二次方程得 2y2－2(1－x)y+2x2－2x+ =0，∵y∈R，故Δ≥0 ∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+ )≥0，得0≤x≤ ，∴x∈［0， ］ 同理可得y，z∈［0， ］ 证法二 设x= +x′，y= +y′，z= +z′，则x′+y′+z′=0， 于是 =( +x′)2+( +y′)2+( +z′)2 = +x′2+y′2+z′2+ (x′+y′+z′) = +x′2+y′2+z′2≥ +x′2+ = + x′2 故x′2≤ ，x′∈［－ ， ］，x∈［0， ］，同理y，z∈［0， ］ 证法三 设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x2＞0， =x2+y2+z2≥x2+ ＞ ，矛盾 x、y、z三数中若有最大者大于 ，不妨设x＞ ， 则 =x2+y2+z2≥x2+ =x2+ = x2－x+ = x(x－ )+ ＞ 矛盾 故x、y、z∈［0， ］ ∵上式显然成立，∴原不等式得证 7 证明 (1)对于1＜i≤m，且A =m·…·(m－i+1)， ， 由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有 ， 所以 (2)由二项式定理有 (1+m)n=1+C m+C m2+…+C mn， (1+n)m=1+C n+C n2+…+C nm， 由(1)知miA ＞niA (1＜i≤m ，而C = ∴miCin＞niCim(1＜m＜n ∴m0C =n0C =1，mC =nC =m·n，m2C ＞n2C ，…， mmC ＞nmC ，mm+1C ＞0，…，mnC ＞0， ∴1+C m+C m2+…+C mn＞1+C n+C2mn2+…+C nm， 即(1+m)n＞(1+n)m成立 8 证法一 因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 (a+b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6 =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3+b3)］=－3(a+b)(a－b)2≤0 即(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因为2 ≤a+b≤2， 所以ab≤1 证法二 设a、b为方程x2－mx+n=0的两根，则 ， 因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m2－4n≥0 ① 因为2=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n) 所以n= ② 将②代入①得m2－4( )≥0， 即 ≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2， 由2≥m 得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n， 即n≤1，所以ab≤1 证法三 因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b) 于是有6≥3ab(a+b)， 从而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2，(下略） 证法四 因为 ≥0， 所以对任意非负实数a、b，有 ≥ 因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以1= ≥ ， ∴ ≤1，即a+b≤2，(以下略） 证法五 假设a+b＞2，则 a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1， 又a3+b3=(a+b)［a2－ab+b2］=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞2(22－3ab) 因为a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾， 故a+b≤2(以下略) 课前后备注 　 第1页 　共11页　 _1108383049.unknown _1108384115.unknown _1108384490.unknown _1108384617.unknown _1108384662.unknown _1108384757.unknown _1108384806.unknown _1108384905.unknown _1109233668.unknown _1109233740.unknown _1109233824.unknown _1194897710.unknown _1194898568.unknown _1109233958.unknown _1109233963.unknown _1109233776.unknown _1109233807.unknown _1109233755.unknown _1109233713.unknown _1109233724.unknown _1109233707.unknown _1108384909.unknown _1108384924.unknown _1108384873.unknown _1108384883.unknown _1108384836.unknown _1108384783.unknown _1108384795.unknown _1108384764.unknown _1108384702.unknown _1108384709.unknown _1108384686.unknown _1108384637.unknown _1108384647.unknown _1108384624.unknown _1108384532.unknown _1108384589.unknown _1108384602.unknown _1108384608.unknown _1108384598.unknown _1108384577.unknown _1108384515.unknown _1108384523.unknown _1108384501.unknown _1108384174.unknown _1108384457.unknown _1108384475.unknown _1108384482.unknown _1108384461.unknown _1108384400.unknown _1108384441.unknown _1108384385.unknown _1108384149.unknown _1108384153.unknown _1108384160.unknown _1108384142.unknown _1108384135.unknown _1108383924.unknown _1108384017.unknown _1108384083.unknown _1108384090.unknown _1108384030.unknown _1108384055.unknown _1108384078.unknown _1108384023.unknown _1108383975.unknown _1108384007.unknown _1108384011.unknown _1108383998.unknown _1108383951.unknown _1108383965.unknown _1108383930.unknown _1108383827.unknown _1108383854.unknown _1108383911.unknown _1108383918.unknown _1108383859.unknown _1108383839.unknown _1108383846.unknown _1108383834.unknown _1108383107.unknown _1108383801.unknown _1108383805.unknown _1108383793.unknown _1108383092.unknown _1108383100.unknown _1108383065.unknown _1108213374.unknown _1108381822.unknown _1108382786.unknown _1108382812.unknown _1108382864.unknown _1108382903.unknown _1108382831.unknown _1108382818.unknown _1108382824.unknown _1108382803.unknown _1108382808.unknown _1108382796.unknown _1108382704.unknown _1108382747.unknown _1108382771.unknown _1108382716.unknown _1108382178.unknown _1108382339.unknown _1108382017.unknown _1108382063.unknown _1108382070.unknown _1108382055.unknown _1108381831.unknown _1108213473.unknown _1108213540.unknown _1108381808.unknown _1108381817.unknown _1108213565.unknown _1108381799.unknown _1108213556.unknown _1108213500.unknown _1108213526.unknown _1108213482.unknown _1108213406.unknown _1108213436.unknown _1108213450.unknown _1108213420.unknown _1108213396.unknown _1108213401.unknown _1108213386.unknown _1108212930.unknown _1108213280.unknown _1108213324.unknown _1108213347.unknown _1108213353.unknown _1108213334.unknown _1108213304.unknown _1108213312.unknown _1108213293.unknown _1108213188.unknown _1108213256.unknown _1108213271.unknown _1108213197.unknown _1108212968.unknown _1108213180.unknown _1108212964.unknown _1108212456.unknown _1108212880.unknown _1108212914.unknown _1108212925.unknown _1108212887.unknown _1108212541.unknown _1108212819.unknown _1108212474.unknown _1108212084.unknown _1108212204.unknown _1108212445.unknown _1108212186.unknown _1108212053.unknown _1108212074.unknown _1108211362.unknown _1108211378.unknown _1108211366.unknown _1108211348.unknown