08考研数学真题

就学网 www.joxue.com 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数 ，则 的零点个数（ ） 0 1 2 3 解： . 分析： ，恒大于0，所以 在 上是单调递增的. 又因为 ，根据其单调性可知 只有一个零点. （2）函数 在点 处的梯度等于（ ） EMBED Equation.DSMT4 解； . 分析：由 所以 （3）在下列微分方程中，以 （ 为任意常数）为通解的是（ ） EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4 . 解： . 分析；由 可知其特征根为 . 故对应的特征方程为 所以所求微分方程为 , 选 . （4）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ） 若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛. 若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛. 解： 分析：若 单调，则由 在 内单调有界知， 单调有界， 因此 收敛,应选 . （5）设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵. 若 ，则（ ） EMBED Equation.DSMT4 不可逆， 不可逆. EMBED Equation.DSMT4 不可逆， 可逆. EMBED Equation.DSMT4 可逆， 可逆. EMBED Equation.DSMT4 可逆， 不可逆. 解：选 分析： ， 故 均可逆。 （6）设 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程的图形如图，则 的正特征值个数为（ ） 0. 1. 2. 3. 解：选 分析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为 ，故 的正特征值个数为1。 （7）设随机变量 独立同分布且 分布函数为 ，则 分布函数为（ ） . . . . 解：选 分析； EMBED Equation.DSMT4 （8）设随机变量 ， 且相关系数 ，则（ ） . EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4 . 解：选 分析：用排除法 设 ，由 ，知道 正相关，得 ，排除 、 由 ，得 排除 故选择 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程 满足条件 的解是 EMBED Equation.DSMT4 . 解： 分析；由 所以 ，又 ，所以 . （10）曲线 在点 处的切线方程为 . 解： . 分析：设 ，斜率 ，在 处， ，所以切线方程为 ，即 （11）已知幂级数 在 处收敛，在 处发散，则幂级数 的收敛域为 . 解： . 分析：由题意知 的收敛域为 ，则 的收敛域为 . 所以 的收敛域为 . （12）设曲面 是 的上侧，则 EMBED Equation.DSMT4 . 解： 分析； （13）设 为2阶矩阵， 为线性无关的2维列向量， ，则 的非零特征值为 . 解：1 分析： 记 可逆，故 与 有相同的特征值 ， ，故非零的特征值为1。 （14）设随机变量 服从参数为1的泊松分布，则 EMBED Equation.DSMT4 . 解： 分析；因为 ，所以 ， 服从参数为1的泊松分布， 所以 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分10分） 求极限 解： EMBED Equation.DSMT4 (16)（本题满分10分） 计算曲线积分 ，其中 是曲线 上从点 到点 的一段. 解： (17)（本题满分10分） 已知曲线 ，求曲线 距离 面最远的点和最近的点. 解： 得： 得： . (18)（本题满分10分） 函数 在 连续， ，证明 在 可导，且 . 证 ：设 获得增量 ，其绝对值足够小，使得 ，则 （如图，图中 ）在 处的函数值为： 由此得函数的增量 再应用积分中值定理，即有等式 这里， 在 与 之间，把上式两端各除以 ，得函数增量与自变量的比值 由于假设 连续，而 时， ，因此 。于是，令 对上式两端取极限，左端的极限也应该等于 ，故 的导函数存在，并且 (19)（本题满分10分） ，用余弦级数展开，并求 的和 解：由 为偶函数，则 对 所以 取 ，得 所以 (20)（本题满分11分） ， 是三维列向量， 为 的转置， 为 的转置 （1）证 ；（2）若 线性相关，则 . 解：① 为三维列向量，则 ， ② 线性相关，不妨设 ， （21）（本题满分11分） 设矩阵 ，现矩阵 满足方程 ，其中 ， ， （1）求证 （2） 为何值，方程组有唯一解，求 （3） 为何值，方程组有无穷多解，求通解 解：① ②方程组有唯一解 由 ，知 ，又 ，故 。 记 ，由克莱姆法则知， EMBED Equation.DSMT4 ③方程组有无穷多解 由 ，有 ，则 ，故 的同解方程组为 ，则基础解系为 ， 为任意常数。 又 ，故可取特解为 所以 的通解为 为任意常数。 （22）（本题满分11分） 设随机变量 与 相互独立， 的概率分布为 ， 的概率密度为 ，记 （1）求 （2）求 的概率密度． 解：（1） （2）当 时， 当 时， 当 时， EMBED Equation.DSMT4 当 时， 当 时， 当 时， 所以 ，则 （23）（本题满分11分） 设 是总体为 的简单随机样本.记 ， ， （1）证 是 的无偏估计量. （2）当 时 ，求 . 解：(1) EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 因为： , ,而 EMBED Equation.DSMT4 ,所以 T是 的无偏估计 (2) , , 因为 令 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 因为 且 , 所以 EMBED Equation.DSMT4 第 13 页 共 13 页 _1262334456.unknown _1262335317.unknown _1262335626.unknown _1262335739.unknown _1262337064.unknown _1262346123.unknown _1262349039.unknown _1262429183.unknown _1262429921.unknown _1262430300.unknown _1262430319.unknown _1262430418.unknown _1262430318.unknown _1262430317.unknown _1262430253.unknown _1262430255.unknown _1262430076.unknown _1262430077.unknown _1262430074.unknown _1262430075.unknown _1262430073.unknown _1262429563.unknown _1262429833.unknown _1262429877.unknown _1262429776.unknown _1262429327.unknown _1262429328.unknown _1262429562.unknown _1262429290.unknown _1262351757.unknown _1262414027.unknown _1262418499.unknown _1262421463.unknown _1262421464.unknown _1262421461.unknown _1262421462.unknown _1262421460.unknown _1262416406.unknown _1262416407.unknown _1262415401.unknown _1262352609.unknown _1262352964.unknown _1262353050.unknown _1262352929.unknown _1262352773.unknown _1262351842.unknown _1262351876.unknown _1262351891.unknown _1262351961.unknown _1262351960.unknown _1262351885.unknown _1262351865.unknown _1262351870.unknown 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