2006 年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学一试题详解及评析
一、填空题
(1)
0
ln(1 )lim
1 cosx
x x
x→
+ =− .
(2)微分方程 (1 )y xy
x
−′ = 的通解是 .
(3)设Σ 是锥面 2 2z x y= + (0 1z≤ ≤ )的下侧,则 2 3( 1)xdydz ydzdx z dxdy
Σ
+ + − =∫∫
.
(4)点 (2,1, 0)到平面3 4 5 0x y z+ + = 的距离 z = .
(5)设矩阵 2 1
1 2
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ , E 为 2 阶单位矩阵,矩阵 B 满足 2BA B E= + ,则 B =
.
( 6 )设随机变量 X 与 Y 相互独立,且均服从区间 [0, 3] 上的均匀分布,则
{ }max{ , } 1P X Y ≤ = .
二、选择题
(7)设函数 ( )y f x= 具有二阶导数,且 ( ) 0, ( ) 0f x f x′ ′′> > , xΔ 为自变量 x在 0x 处的
增量, yΔ 与dy分别为 ( )f x 在点 0x 处对应的增量与微分,若 0xΔ > ,则
(A)0 .dx y< < Δ (B)0 .y dy< Δ <
(C) 0.y dyΔ < < (D) 0.dy y< Δ < 【 】
(8)设 ( , )f x y 为连续函数,则
1
4
0 0
( cos , sin )d f r r rdr
π
θ θ θ∫ ∫ 等于
(A)
22 1
2
0
( , ) .
x
x
dx f x y dy
−∫ ∫ (B) 22 120 0 ( , ) .xdx f x y dy−∫ ∫
(C)
22 1
2
0
( , ) .
y
y
dy f x y dx
−∫ ∫ (C) 22 120 0 ( , ) .ydy f x y dx−∫ ∫ 【 】
(9)若级数
1
n
n
a
∞
=
∑ 收敛,则级数
(A)
1
n
n
a
∞
=
∑ 收敛. (B)
1
( 1)n n
n
a
∞
=
−∑ 收敛.
flag
新建图章
(C) 1
1
n n
n
a a
∞
+
=
∑ 收敛. (D) 1
1 2
n n
n
a a∞ +
=
+∑ 收敛. 【 】
(10)设 ( , )f x y 与 ( , )x yϕ 均为可微函数,且 1 ( , ) 0y x yϕ ≠ . 已知 0 0( , )x y 是 ( , )f x y 在约
束条件 ( , ) 0x yϕ = 下的一个极值点,下列选项正确的是
(A)若 0 0( , ) 0xf x y′ = ,则 0 0( , ) 0yf x y′ = .
(B)若 0 0( , ) 0xf x y′ = ,则 0 0( , ) 0yf x y′ ≠ .
(C)若 0 0( , ) 0xf x y′ ≠ ,则 0 0( , ) 0yf x y′ = .
(D)若 0 0( , ) 0xf x y′ ≠ ,则 0 0( , ) 0yf x y′ ≠ . 【 】
(11)设 1 2, , , ,a a aL 均为 n维列向量, A是m n× 矩阵,下列选项正确的是
(A)若 1 2, , , ,a a aL 线性相关,则 1 2, , , ,Aa Aa AaL 线性相关.
(B)若 1 2, , , ,a a aL 线性相关,则 1 2, , , ,Aa Aa AaL 线性无关.
(C)若 1 2, , , ,a a aL 线性无关,则 1 2, , , ,Aa Aa AaL 线性相关.
(D)若 1 2, , , ,a a aL 线性无关,则 1 2, , , ,Aa Aa AaL 线性无关. 【 】
(12)设 A为 3 阶矩阵,将 A的第 2 行加到第 1 行得B,再将B的第 1 列的-1 倍加到第 2
列得C,记
1 1 0
0 1 0
0 0 1
P
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
,则
(A) 1 .C P AP−= (B) 1.C PAP−=
(C) .TC P AP= (D) .TC PAP= 【 】
(13)设 ,A B为随机事件,且 ( ) 0, ( | ) 1P B P A B> = ,则必有
(A) ( ) ( ).P A B P A∪ > (B) ( ) ( ).P A B P B∪ >
(C) ( ) ( ).P A B P A∪ = (D) ( ) ( ).P A B P B∪ = 【 】
(14)设随机变量 X 服从正态分布 21 1( , )N μ σ ,Y 服从正态分布 22 2( , )N μ σ ,且
1 2{| | 1} {| | 1},P X P Yμ μ− < > − <
(A) 1 2.σ σ< (B) 1 2.σ σ>
(C) 1 2.μ μ< (D) 1 2.μ μ> 【 】
三 解答题
15 设区域 D= ( ){ }2 2, 1, 0x y x y x+ ≤ ≥ ,计算二重积分 2 211D xyI dxdyx y+= + +∫∫ .
16 设数列{ }nx 满足 ( )1 10 , sin 1, 2,...nx x x nππ +< < = = .
求: (Ⅰ)证明 lim nx x→∞ 存在,并求之 .
(Ⅱ)计算
2
1
1lim
nxn
x
n
x
x
+
→∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
17 将函数 ( ) 22
xf x
x x
= + − 展开成 x 的幂级数.
18 设 函 数 ( ) ( )0, ,f u +∞在 内具有二阶导数 且 ( )2 2z f x y= + 满 足 等 式
2 2
2 2 0
z z
x y
∂ ∂+ =∂ ∂ .
(Ⅰ)验证 ( ) ( ) 0f uf u
u
′′′ + = .
(Ⅱ)若 ( ) ( ) ( )1 0, 1 1,f f f u′= = 求函数 的表达式 .
19 设在上半平面 D= ( ){ }, 0x y y > 内,数 ( ),f x y 是有连续偏导数,且对任意的 t>0 都有
( ) ( )2, ,f tx ty t f x y= .
证明: 对 L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L,都有 0),(),( =−∫ dyyxxfdxyxyf
L
.
20 已知非齐次线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1
4 3 5 1 3
3 1
x x x x
x x x x
ax x x bx
+ + + = −⎧⎪ + + − = −⎨⎪ + + − =⎩
有 个线性无关的解
Ⅰ证明方程组系数矩阵 A 的秩 ( ) 2r A =
Ⅱ求 ,a b的值及方程组的通解
21 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 ( ) ( )1 21, 2, 1 , 0, 1,1T Tα α= − − = − 是线
性方程组 A x =0 的两个解, (Ⅰ)求 A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵 Q 和对角矩阵
A,使得 TQ AQ A= .
22 随机变量 x 的概率密度为 ( ) ( )2
1 , 1 0
2
1 ,0 2 , ,
4
0,
x
x
f x x y x F x y
⎧ − < <⎪⎪⎪= ≤ < =⎨⎪⎪⎪⎩
令
其他
为二维随机变量
(X,Y)的分布函数.
(Ⅰ)求 Y 的概率密度 ( )Yf y
(Ⅱ) 1 , 4
2
F ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
23 设总体 X 的概率密度为 ( ) ( )
0 1
,0 1 1 2 0 1
0
x
F X x
θ
θ θ θ
< <⎧⎪= − ≤ < < <⎨⎪⎩
其中 是未知参数
其它
,
1 2 n, ...,X X X 为来自总体 X 的简单随机样本,记 N 为样本值 1 2, ..., 1nx x x中小于的个数 ,求θ
的最大似然估计.
2006 年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析
一、填空题
(1)
0
ln(1 )lim
1 cosx
x x
x→
+
− = 2 .
2
2
1cos1,)1ln( xxxx −+Θ ( 0x →当 时)
(2)微分方程 (1 )y xy
x
−′ = 的通解是 ( 0)xy cxe x−= ≠ ,这是变量可分离方程.
(3)设Σ 是锥面 2 2 (0 1)x y Z+ ≤ ≤Z= 的下侧,则
2 3( 1) 2xdydz ydzdx z dxdy π
Σ
+ + − =∫∫
补一个曲面
2 2 1
:
1
x y
z
⎧ + ≤Σ ⎨ =⎩1
上侧
, 2 , 3( 1)P x Q y R z= = = −
1 2 3 6P Q R
x y z
∂ ∂ ∂+ + = + + =∂ ∂ ∂
∴
1
6dxdydz
Σ Σ Ω
+ =∫∫ ∫∫ ∫∫∫ (Ω 为锥面Σ 和平面 1Σ 所围区域)
6V= (V 为上述圆锥体体积)
6 2
3
π π= × =
而
1
2 3( 1) 0dydz ydzdx z dxdy
Σ
× + + − =∫∫
(∵在 1Σ 上: 1, 0z dz= = )
(4) ,1,0, 4 5 0 2x y z d+ + = =点(2 )到平面3 的距离
2 2 2
3 2 4 1 10 2 2
50 23 4 5
d
× + ×= = = =+ +
(5)设 A= 2 1 ,2 阶矩阵 B 满足 BA=B +2E,则|B|= .
-1 2
解:由 BA=B +2E 化得 B(A-E)=2E,两边取行列式,得
|B||A-E|=|2E|=4,
计算出|A-E|=2,因此|B|=2.
(6)
9
1
二、选择题
(7)设函数 ( )y f x= 具有二阶导数,且 ( ) 0f x′ > , ( ) 0f x′′ > , xΔ 为自变量 x在 0x 处的
增量, yΔ 与dy分别为 ( )f x 在点 0x 处对应的增量与微分.若 0>Δx ,则[A]
0)(0)(0)(0)( <Δ<<<Δ<Δ<Δ<< ydyDdyyCdyyBydyA
( ) 0, ( )f x f x′ >因为 则 严格单调增加
( ) 0, ( )f x f x′′ > 则 是凹的
ydyx Δ<<>Δ 0,0 故又
2 2
1
0
2 21 1
2 2
0 0 0
(8) ( , ) ( cos , sin ) [C]
(A) ( , ) (B) ( , )
x x
x
f x y d f r r rdr
dx f x y dy dx f x y dy
π
θ θ θ
− −
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
4
0
设 为连续函数,则 等于
2 22 21 1
2 2
0 0 0
(C) ( , ) (D) ( , )
y y
y
dy f x y dx dy f x y dx
− −∫ ∫ ∫ ∫
1
1 1
1
1 1
1 1 1
(9) [D]
( ) ( ) ( 1)
( ) ( ) ( )
2
n
n
n
n n
n n
n n
n n n
n n n
a
A a B a
a aC a a D a
∞
=
∞ ∞
= =
∞ ∞ ∞
+
+ +
= = =
−
+
∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑Q
若级数 收敛,则级数
收敛 收敛
收敛 收敛 也收敛
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
(10) ( , ) ( , ) ( , ) 0, ( , )
( , ) 0
y
x y x y
x y x y
f x y x y x y x y f x y
x y
f x y f x y f x y f x y
f x y f x y f x y f x
ϕ ϕ
ϕ
′ ≠
=
′ ′ ′ ′ ≠
′ ′ ′ ′≠ ≠
设 与 均为可微函数,且 已知( , )是
在约束条件 下的一个极值点,下列选项正确的是[D]
(A)若 ( , )=0,则 ( , )=0 (B)若 ( , )=0,则 ( , ) 0
(C)若 ( , ) 0,则 ( , )=0 (D)若 ( , ) 0,则 ( , 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
( , ) ( , )
( , ) ( , ) 0 (1)
( , ) ( , ) 0 (2)
( , ) 0
( , ) ( , ) ( , )
( , ) 0, ( , )
( , ) ( , )
( , ) 0
x x x
y y y
y y x
y x
y y
x
y
f x y x y
f x y x y
f x y x y
x y
f x y f x y x y
x y f x y
x y x y
f x y
λ
λϕ
λϕ
λϕ
ϕ
ϕϕ λ ϕ ϕ
≠
+
′ ′ ′⎧ + =⎪ ′ ′ ′+ =⎨⎪ ′ =⎩
′ ′ ′′ ′≠ ∴ = − =′ ′
′ ≠
) 0
构造格朗日乘子法函数F=
F =
F =
F =
今 代入(1)得
今 0 0, ( , ) 0 [ ]yf x y D′ ≠则 故选
(11)设α1,α2,…,αs 都是 n 维向量,A 是 m×n 矩阵,则( )成立.
(A) 若α1,α2,…,αs线性相关,则 Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.
(B) 若α1,α2,…,αs线性相关,则 Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.
(C) 若α1,α2,…,αs线性无关,则 Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.
(D) 若α1,α2,…,αs线性无关,则 Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.
解: (A)
本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.
若α1,α2,…,αs线性相关,则存在不全为 0 的数 c1,c2,…,cs使得
c1α1+c2α2+…+csαs=0,
用 A 左乘等式两边,得
c1Aα1+c2Aα2+…+csAαs=0,
于是 Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.
如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:
1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s.
2. r(AB)≤ r(B).
矩阵(Aα1,Aα2,…,Aαs)=A( α1, α2,…,αs ),因此
r(Aα1,Aα2,…,Aαs)≤ r(α1, α2,…,αs ).
由此马上可判断
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
应该为(A).
(12)设 A是 3阶矩阵,将 A的第 2列加到第 1列上得 B,将 B的第 1列的-1倍加到第 2列上
得 C.记 1 1 0
P= 0 1 0 ,则
0 0 1
(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1.
(C) C=PTAP. (D) C=PAPT.
解: (B)
用初等矩阵在乘法中的作用得出
B=PA ,
1 -1 0
C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1.
0 0 1
(13)根据乘法公式与加法公式有:
P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)
P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)
应选 C
(14)依题: ).1,0(~),10(~
2
2
1
1 NYNx σ
μ
σ
μ −− ,
,1}1{
11
1
1 ⎭⎬
⎫<
⎩⎨
⎧ −=<− σσ
μμ XPXP
.1}1{
22
2
2 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ <−=<− σσ
μμ YPYP
因 },1{}1{ 21 <−><− μμ YPXP
即 .11
22
2
11
1
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ <−>
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ <− σσ
μ
σσ
μ YPXp
所以 .,11 21
21
σσσσ <>
应选 A
三、解答题
{ }2 2 2 2
2 2
1 2 12
02 2 20
2
1(15) ( , ) 1, 0 ,
1
: 0
1
1 ln(1 ) ln 2
1 1 2 2
D
D
D
xyD x y x y x I dxdy
x y
xy dxdy
x y
rI dxdy d dr r
x y r
π
π
π πθ
−
+= + ≤ ≥ = + +
=+ +
= = = + =+ + +
∫∫
∫∫
∫∫ ∫ ∫
Q
设区域 计算二重积分
解
{ }
{ }
{ }
2
1 1
1
1
2 1 2
1
(16) 0 , sin ( 1,2, )
(1) lim
(2) lim( )
: (1) sin , 0 1, 2
sin ,
0, lim ,
n
n n n
nn
xn
n
n
n n n n
n n nn
x x x x n
x
x
x
x x x n
x x x x
x x x A
π +
→∞
+
→∞
+
→∞
< < = =
= ∴ < ≤ ≥
= ≤
≥ ∴ =
L
Q
设数列 满足
求 证明 存在,并求之
计算
解 因此当 时
单调减少
又 有下界,根据准则1, 存在 递推公式两边取极限得
sin , 0A A A= ∴ =
2
1
sin(2) lim( ) ,nxn
n
n
x
x
∞
→∞原式= 为"1 "型
Q离散型不能直接用洛必达法则
2 20
1 1 sinlim ln( )
0
sinlim( ) t
t
tt t
t
t e
t
→
→ =先考虑
2 3
2 3
20
3 30 0
1 1 ( cos sin ) 1 11 0( ) 0( )lim 2 6cos sinsin 12 6 2lim lim
2 2 62
t
t t
t tt t t t t t t
t t ttt t
t t te e e e e
→
→ →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −= = = = =
g g
2(17) ( ) 2
xf x x
x x
= + −将函数 展开成 的幂极数
( )
(2 )(1 ) 2 1
x A Bf x
x x x x
= = +− + − +解:
2(1 ) (2 ) 2, 3 2,
3
A x B x x x A A+ + − = = = =令
11, 3 1,
3
x B B= − = − = −令
)](1[
1
3
1
)
2
1(
1
3
1
)1(
1
3
1
)2(
1
3
2)(
xxxx
xf −−×−−
×=+×−−×=
1
0 0 0
1 1 1 1( ) ( 1) ( 1) , 1
3 2 3 3 2
n n n n n
n
n n n
x x x x
∞ ∞ ∞ +
= = =
⎡ ⎤= − − = + − <⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑
(18)设函数 ( ) (0, )f u +∞在 内具有二阶导数,且 ( )2 2Z f x y= + 满足等式
2 2
2 2 0
z z
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
(I)验证 ( )( ) 0f uf u
u
′′′ + =
(II)若 (1) 0, (1) 1f f ′= = 求函数 ( )f u 的表达式
证:(I) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2;z x z yf x y f x yx yx y x y∂ ∂′ ′= + = +∂ ∂+ +
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2 22 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
xx y
x yz xf x y f x y
x x y x y
+ − +∂ ′′ ′= + + +∂ + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
3 22 2 2 2
x yf x y f x y
x y x y
′′ ′= + + ++ +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
3 22 2 2 2 2
z y xf x y f x y
y x y x y
∂ ′′ ′= + + +∂ + +
同理
( ) 2 22 2 2 22 2 2 2( )0 0
( )( ) 0
f x yz z f x y
x y x y
f uf u
u
′ +∂ ∂ ′′+ = + + =∂ ∂ +
′′′∴ + =
代入 得
成立
(II)令 ( ) , ;dp p dp duf u p c
du u p u
′ = = − = − +∫ ∫则
ln ln , ( ) cp u c f u p
u
′= − + ∴ = =
2 2(1) 1, 1, ( ) ln | | , (1) 0, 0 ( ) ln | |f c f u u c f c f u u′ = = = + = = =Q 由 得 于是
(19)设在上半平面 { }( , ) | 0D x y y= > 内,函数 ( , )f x y 具有连续偏导数,且对任意 0t >
都有 2( , ) ( , )f tx ty t f x y−=
证明:对 D内任意分段光滑的有向简单闭曲线 L,
都有 0),(),( =−∫ dyyxxfdxyxyf
L
.
证:把 2( , ) ( , )f tx ty t f x y t−= 两边对 求导
得: ( , ) ( , ) 2 ( , )x yxf tx ty yf tx ty tf x y′ ′+ = −
令 1t = ,则 ( , ) ( , ) 2 ( , )x yxf x y yf x y f x y′ ′+ = −
再令 ( , ), ( , )P yf x y Q xf x y= = −
所给曲线积分等于 0 的充分必要条件为 Q P
x y
∂ ∂=∂ ∂
今 ( , ) ( , )x
Q f x y xf x y
x
∂ ′= − −∂
( , ) ( , )y
P f x y yf x y
y
∂ ′= +∂
要求 Q P
x y
∂ ∂=∂ ∂ 成立,只要 ( , ) ( , ) 2 ( , )x yxf x y yf x y f x y′ ′+ = −
我们已经证明, Q P
x y
∂ ∂∴ =∂ ∂ ,于是结论成立.
(20)已知非齐次线性方程组
x1+x2+x3+x4=-1,
4x1+3x2+5x3-x4=-1,
ax1+x2+3x3+bx4=1
有 3 个线性无关的解.
① 证明此方程组的系数矩阵 A 的秩为 2.
② 求 a,b 的值和方程组的通解.
解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX=0的两个线性无关
的解.于是 AX=0 的基础解系中解的个数不少于 2,即 4-r(A)≥2,从而 r(A)≤2.
又因为 A 的行向量是两两线性无关的,所以 r(A)≥2.
两个不等式说明 r(A)=2.
② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:
1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1
(A|β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,
a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a
由 r(A)=2,得出 a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:
1 0 2 -4 2
→ 0 1 -1 5 -3 .
0 0 0 0 0
得同解方程组
x1=2-2x3+4x4,
x2=-3+x3-5x4,
求出一个特解(2,-3,0,0)T和 AX=0 的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解:
(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.
(21) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是
齐次线性方程组 AX=0 的解.
① 求 A 的特征值和特征向量.
② 求作正交矩阵 Q 和对角矩阵Λ,使得
Q TAQ=Λ.
解:① 条件说明 A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 α0=(1,1,1)T是 A 的特征向量,特征值为 3.又
α1,α2都是 AX=0 的解说明它们也都是 A 的特征向量,特征值为 0.由于α1,α2线性无关, 特征
值 0 的重数大于 1.于是 A 的特征值为 3,0,0.
属于 3 的特征向量:cα0, c≠0.
属于 0 的特征向量:c1α1+c2α2, c1,c2不都为 0.
② 将α0单位化,得η0=(
3
3 ,
3
3 ,
3
3 )T.
对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-
2
2 ,
2
2 )T, η2=(-
3
6 ,
6
6 ,
6
6 )T.
作 Q=(η0,η1,η2),则 Q 是正交矩阵,并且
3 0 0
Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .
0 0 0
(22)随机变量 X 的概率密度为
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<≤
<<−
=
其他,0
20,
4
1
01,
2
1
)( x
x
xf X ,令 2XY = , ),( yxF 为二维随
机变量 )( YX , 的分布函数.
(Ⅰ)求Y 的概率密度;(Ⅱ) )4,
2
1(−F
解:
(Ⅰ)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤
<≤
<≤
<
=≤=≤=
y
y
y
y
yXPyYPyFY
4,1
41,)2(
10,)1(
0,0
)()()( 2 式
式
∫∫ =+=≤≤−=
−
y
y
ydxdxyXyP
0
0
4
3
4
1
2
1)()1( 式 ;
∫∫ +=+=≤≤−=
−
y
ydxdxyXyP
0
0
1 4
1
2
1
4
1
2
1)()2( 式 .
所以:
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<≤
<<
==
其他,0
41,
8
1
10,
8
3
)()( ' y
y
y
y
yFyf YY
这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手,对 y 进行适当的讨论即可,在新东方
的辅导班里我也经常讲到,是基本题型.
(Ⅱ)
)4,
2
1(−F
)
2
12()22,
2
1()4,
2
1()4,
2
1( 2 −≤≤−=≤≤−−≤=≤−≤=≤−≤= XPXXPXXPYXP
4
1
2
12
1
1
== ∫
−
−
dx .
(23)设总体 X 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤−
<<
=
其他,0
21,1
10,
),( x
x
xf θ
θ
θ ,其中θ 是未知参数(0<θ <1).
nXXX Λ,, 21 为来自总体的简单随机样本,记 N 为样本值 nxxx Λ,, 21 中小于 1 的个数.求θ
的最大似然估计.
解:对样本 nxxx Λ,, 21 按照 <1 或者≥1 进行分类: pNpp xxx Λ,, 21 <1,
pnpNpN xxx Λ,, 21 ++ ≥1.
似然函数
⎩⎨
⎧ ≥<−= ++
−
其他
,
,0
1,,,1,,)1(
)( 2121 pnpNpNpNpp
NnN xxxxxx
L
ΛΛθθθ ,
在 pNpp xxx Λ,, 21 <1, pnpNpN xxx Λ,, 21 ++ ≥1 时,
)1ln()(ln)(ln θθθ −−+= NnNL ,
0
1
)(ln =−
−−= θθθ
θ NnN
d
Ld ,所以
n
N=最大θ .