常微分方程课后习题部分答案

精品文档你我共享18.设f(x,y)及f连续,试证方程dyf(x,y)dx0为线性方程的充要条件是它有仅依靠于x的y积分因子.证:必要性若该方程为线性方程,则有dyP(x)yQ(x),dx此方程有积分因子(x)eP(x)dx,(x)只与x相关.充分性若该方程有只与x相关的积分因子(x).则(x)dy(x)f(x,y)dx0为适合方程,进而((x)f(x,y))d(x),f(x),ydxy(x)f(x)dyQ(x)(x)yQ(x)P(x)yQ(x).(x)(x)其中P(x)(x).于是方程可化为dy(P(x)yQ(x))dx0(x)即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0则uyff+yfu=yfx(fg)xyfxyg=uf+uyf+y-yfx2y2(fyyyyyxy(fg)xy(fg)g)2ggyffgxyfxyyfg=yy=xyyxyyxy(fg)2x(fg)2fggf=xyxy(fg)2uxggugxgy(fg)xyfxyg而=ug+ux+x-xgxxx+xg=xy(fx2y2(fg)2xxg)xy(fg)腹有诗书气自华精品文档你我共享xfgxyxgfxyfggf=xyxg)2xyx=xyxyxy(f(fg)2故uyf=uxg，所以u是方程得一个积分因子yx21．假定方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)知足关系MN=yxNf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）有积分因子u=exp(f(x)dx+g(y)dy)证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即证(uM)(uN)uM+Mu=uN+Nuyxyyxxu(M-N)=Nu-Muu(M-f(x)dxg(y)dyf(x)N)=Neyxxyyxf(x)dxg(y)dyu(M-N)=ef(x)dxg(y)dy(Nf(x)-Mg(y))-Meg(y)yx由已知条件上式恒建立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.解：已知伯努利方程为：dyPxyQxyn,yo;dx两边同乘以yn，令zyn，dz1nPxz1nQx,线性方程有积分因子：dx1nPxdxn1Pxdxee，故原方程的积分因子为：1nPxdxn1Pxdxee，证毕！23、设x,y是方程Mx,ydxNx,ydy0的积分因子，进而求得可微函数Ux,y，使得dUMdxNdy.试证~x,y也是方程Mx,ydxNx,ydy0的积分因子的充要条件是~x,yU,其中t是t的可微函数。腹有诗书气自华精品文档你我共享~MuMMyyyuMu证明：若~u，则yMuMuNy~NuNNNuMxxxu又~MMuNuMyy即~为Mx,ydxNx,ydy0的一个积分因子。24、设1x,y,2x,y是方程Mx,ydxNx,ydy0的两个积分因子，且12常数，求证12c（随意常数）是方程Mx,ydxNx,ydy0的通解。证明：因为1,2是方程Mx,ydxNx,ydy0的积分因子所以iMdxiNdyoi1,2为适合方程即NiMiiMN，i1,2xyyx下面只要证1的全微分沿方程恒为零2事实上：21dx1dy12dx2dyd1xyxy22221dxM2dx12dxM2dxxNyxNy22dxN1M1N2M2N2x2xy12ydxMNMN0N212yx12yx2即当1c时，1c是方程的解。证毕！22腹有诗书气自华精品文档你我共享出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急生死之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜自轻自贱，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸不法及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后实行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于往日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵友善，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，今后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不惋惜怨恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感谢，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，受命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐交托不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于商酌损益，进效忠言，则攸之、祎、允之任也。愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感谢。今当远离，临表涕零，不知所言。腹有诗书气自华