第一章集合与常用逻辑用语1.4.2充要条件1.通过观察具体实例的共性探究归纳出充要条件的概念，并能够利用概念归纳出充分条件、必要条件的四种关系.2.通过素材反复观察、分析、类比、相互交流归纳出判断命题条件的方法.3.通过学习能正确运用逻辑用语表达自己的思维，使得思路清晰明了，说理有据.学习目标请同学们关注红字部分p有充分的理由使q成立(有p就有q)q不成立则p必然不成立（没q就没p）命题真假“若p，则q”真推理关系条件关系例子若x=2，则x2=4.(真)若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等.(假)“若p，则q”假p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件新知学习问题:ΔABC中，若ΔABC为直角三角形，则a2+b2=c2;ΔABC中，若a2+b2=c2，则ΔABC为直角三角形；注意：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件我们说p是q充分必要条件真命题真命题p既是q的充分条件，也是q的必要条件问题：你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？定义：“四边形的两组对边分别平行”①“四边形的两组对角分别相等”③“四边形的一组对边平行且相等”②“四边形的两组对边分别相等”④“四边形的对角线互相平分”根据充要条件可以对某些概念从不同角度给出相互等价的定义追问：你能给出“三角形全等”或“三角形相似”的其他形式的定义吗？四边形是平行四边形问题:若两个三角形全等，则两个三角形的周长相等;若两个三角形的周长相等，则两个三角形全等;注意：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件我们说p是q充分不必要条件真命题假命题p是q的充分条件，不是q的必要条件条件p结论qp能否推qq能否推pp与q的关系x=1x3=1p是q的________________条件x>2x2>4p是q的________________条件ab=0a=0p是q的________________条件|a|>|b|a>bp是q的_________________条件充分必要(充要)充分不必要必要不充分既不充分也不必要①若p⇒q,且q⇒p,则称p是q的充要条件(或q是p的充要条件),记作p⇔q.必要不充分探究 充要条件的判断例: (1)(多选)下列选项中,p是q的充要条件的为( )A.p:x>0,y<0,q:xy<0 B.p:a>b,q:a+c>b+cC.p:x>5,q:x>10 D.p:a>b>0,q: > (2)设A,B,U是三个集合,且A⊆U,B⊆U,则“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件BDC解析 (1)对于A选项,p⇒q,但q⇒/p,故p不是q的充要条件;对于B选项,p⇒q,且q⇒p,即p⇔q,故p是q的充要条件;对于C选项,p⇒/q,但q⇒p,故p不是q的充要条件;对于D选项,p⇒q,且q⇒p,故p是q的充要条件.故选BD.(2)∵(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B),∴“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的充要条件,故选C.思维突破从命题角度判断p是q的充要条件的原理及方法(1)原理:判断p是q的充要条件主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.(2)方法:①若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;②若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;③若二者都成立,则p与q互为充要条件.跟踪训练已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的 条件;“|ab|=ab”是“ab>0”的 条件.解析 因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0,充分性成立;因为ab>0,所以a与b同号,又a+b>0,所以a>0且b>0,必要性成立.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.当ab=0时,“|ab|=ab”不能推出“ab>0”,而当ab>0时,有|ab|=ab,所以“|ab|=ab”是“ab>0”的必要不充分条件.充要必要不充分已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.知识应用分析：设p：d=r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需分别
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充分性(p⇒q)和必要性(q⇒p)即可.证明：(1)充分性(p⇒q)：如图，作OP⊥l于点P,OPQl在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ．在Rt△OPQ中，OQ>OP=r．所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切．则OP=d,若d=r,则点P在⊙O上．直线l和圆有唯一公共点已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.知识应用分析：设p：d=r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(p⇒q)和必要性(q⇒p)即可.证明：若直线l与⊙O相切，OPQl不妨设切点为P，则OP⊥l．因此，d=OP=r．由(1)(2)可得，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件．(2)必要性(q⇒p)直线l和圆有唯一公共点AB练习1．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是( )A．x<0，y<0B．x<0，y>0C．x>0，y>0D．x>0，y<0[解析] P(x，y)在第二象限，等价于x<0，y>0.选B2．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q的( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析] 因为{x|－1<x<3}⊆{x|x<3}，所以p是q的必要不充分条件p：x<3q：－1<x<3记忆方法：小能推大，大不能推小-17-3.(山东菏泽一模,3)“x>0”是“x2020>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当x>0时,可以推得x2020>0;但当x2020>0时,推不出x>0,故“x>0”是“x2020>0”的充分不必要条件.故选A.练习练习4.设A、B为两个互不相同的集合．命题p：x∈(A∩B)；命题q：x∈A或x∈B．则p是q的____________条件．( )A．充分必要 B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分又不必要[解析] 若命题p：x∈(A∩B)成立，命题q：x∈A或x∈B一定成立；若命题q：x∈A或x∈B成立，但是x不一定是A∩B中的元素，所以p是q的充分不必要条件，选B．p：x∈(A∩B)q：x∈A或x∈B
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