过一点作三次函数图像切线条数的完备结论

过一点作三次函数图像切线条数的完备结论收稿日期:2007-10-25作者简介:贺斌(1961—),男,湖北随州人,湖北省谷城县第三中学高级教师.过一点作三次函数图像切线条数的完备结论贺　斌(谷城县第三中学,湖北　441700)中图分类号:O123.3　　　　文献标识码:A　　　　文章编号:0488-7395(2008)03-0011-02　　文[1]回答了过哪些点可以作三次函数图像的三条切线.受文[1]启发,一个自然的问题是:过哪些点可以作三次函数y图像的一条切线、两条切线?本文在文[1]的基础上给出过一点所作三次函数图像切线条数的完备结论...

收稿日期:2007-10-25作者简介:贺斌(1961—),男,湖北随州人,湖北省谷城县第三中学高级教师.过一点作三次函数图像切线条数的完备结论贺　斌(谷城县第三中学,湖北　441700)中图分类号:O123.3　　　　文献标识码:A　　　　文章编号:0488-7395(2008)03-0011-02　　文[1]回答了过哪些点可以作三次函数图像的三条切线.受文[1]启发,一个自然的问题是:过哪些点可以作三次函数y图像的一条切线、两条切线?本文在文[1]的基础上给出过一点所作三次函数图像切线条数的完备结论.引理[2],[3]　三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图像C上的点N(-b3a,f(-b3a))是C的唯一对称中心.定理　设三次函数图像C在其对称中心N处的切线为l,M是三次函数图像C所在平面上的一点,则(Ⅰ)过点M能且仅能作C的一条切线,当且仅当点M位于C和l所夹的上、下两个区域内(边界除外),或点M与点N重合;(Ⅱ)过点M能且仅能作C的两条切线,当且仅当点M位于图像C或切线l上(点N除外);(Ⅲ)过点M能且仅能作C的三条切线,当且仅当点M位于C和l所夹的左、右两个区域内(边界除外).为方便读者形象直观的理解,我们根据三次函数首项系数的正(如图1)负(如图2)画出相应的示意图如右.证　设三次函数为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),点M的坐标为(x0,y0),点A(t,f(t))为三次函数y=f(x)图像C上的一点,则点A处的切线方程为y-f(t)=f′(t)(x-t).于是,切线过点M,等价于存在实数t,使图1　三次函数　　　　　图2　三次函数y0-f(t)=f′(t)(x0-t)(1)注意到(1)是关于t的三次方程(易知t3的系数不为0),故过点M最多可作图像C的三条切线.记g(t)=y0-f(t)-f′(t)·(x0-t),则g′(t)=-f′(t)-f″(t)(x0-t)+f′(t)=(t-x0)f″(t)=2(t-x0)(3at+b).若x0=-b3a,则g′(t)=6a(t-x0)2,g(t)为R上的单调函数,方程g(t)=0有且仅有一个实数根.即过直线x=-b3a上的任一点能且仅能作y=f(x)图像的一条切线.若x0≠-b3a,则g′(t)在点x0附近的函数值异号,在点-b3a附近的函数值也异112008年第3期　　　　　　　　　　　　　数学通讯号,故x0和-b3a都是g(t)的极值点.于是结合函数g(t)的单调性知:1)方程g(t)=0有且仅有一个实数根,当且仅当函数g(t)的极大值<0(如图3,仅画出了g(t)首项系数大于0的情况,后同)或极小值>0(如图4).图3　三次函数　　　　　图4　三次函数即g(x0)<0,g(-b3a)<0,或g(x0)>0,g(-b3a)>0.亦即g(x0)·g(-b3a)>0(x0≠-b3a).即x0≠-b3a,[y0-f(x0)]·[y0-f(-b3a)　-f′(-b3a)(x0+b3a)]>0(2)由引理知,三次函数y=f(x)的图像有唯一对称中心N(-b3a,f(-b3a)).而C在点N处的切线l的方程为y-f(-b3a)=f′(-b3a)(x+b3a).故直线x=x0与C及l的交点纵坐标分别为f(x0),f(-b3a)+f′(-b3a)(x0+b3a).由于x0≠-b3a,故上述两纵坐标不相等.注意到不等式组(2)的第二式为关于y0的一元二次不等式,并且y20项的系数为正,故满足上述不等式组的点M(x0,y0)位于C和l所夹的上、下两个区域内(边界除外).　　2)方程g(t)=0有且仅有两个相异实数根,当且仅当g(x0)=0,或g(-b3a)=0(如图5,6),即y0=f(x0),或y0-f(-b3a)=f′(-b3a)(x0+b3a).亦即当且仅当点M位于y=f(x)的图像上,或点M位于过三次函数对称中心N(-b3a,f(-b3a))处的切线l上(点N除外)时,可作y=f(x)的两条切线.图5　三次函数　　　　　图6　三次函数3)方程g(t)=0有三个相异的实数根,当且仅当　x0≠-b3a,g(x0)·g(-b3a)<0,即x0≠-b3a,[y0-f(x0)]·[y0-f(-b3a)　-f′(-b3a)(x0+b3a)]<0.通过与1)类似的分析 (或参见文[1])知:满足上述不等式组的点M(x0,y0)位于C和l所夹的左、右两个区域内(边界除外).综上,定理获证.参考文献:[1]　贺斌,黄福.过哪些点可以作三次函数图像的三条切线.数学通讯,2007(21).[2]　管宏斌.三次函数对称中心初探.数学通讯,2004(15).[3]　刘国杰.三次函数图像对称性的探索.数学通讯,2006(20).21数学通讯　　　　　　　　　　　　　2008第3期

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