第27章 相似 专项训练2（含答案）

第27章相似专项训练专训1　巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金：位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质．位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上．三角形的内接正三角形问题1．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．求证：△C′D′E′是等边三角形．(第1题)三角形的内接矩形问题2．如图，求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，并且有DEEF＝12.21教育网(第2题)三角形的内接正方形问题(方程思想)3．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？21cnjy.com(第3题)4．(1)如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：eq\f(DP,BQ)＝eq\f(PE,QC).【出处：21教育名师】(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF，分别交DE于M，N两点．①如图②，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；②如图③，求证：MN2＝DM·EN.(第4题)专训2　图形的相似中五种热门考点名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而针对成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．成比例线段及性质1．下列各组长度的线段，成比例线段的是(　　)A．2cm，4cm，4cm，8cmB．2cm，4cm，6cm，8cmC．1cm，2cm，3cm，4cmD．2.1cm，3.1cm，4.3cm，5.2cm2．若eq\f(a,2)＝eq\f(b,3)＝eq\f(c,4)＝eq\f(d,7)≠0，则eq\f(a＋b＋c＋d,c)＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离约为________(eq\r(5)≈2.236，结果精确到0.01)．【版权所有：21教育】(第3题)平行线分线段成比例4．如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与eq\f(AD,AF)相等的是(　　)A.eq\f(AB,EF)B.eq\f(CD,EF)C.eq\f(BO,OE)D.eq\f(BC,BE)(第4题)　　　(第5题)5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，以AC为边向三角形外作正方形ACDE，连接BE交AC于F，若BF＝eq\r(3)cm，则EF＝________.6．如图，在△ABC中，eq\f(AM,MD)＝4，eq\f(BD,DC)＝eq\f(2,3)，求eq\f(AE,EC)的值．(第6题)相似三角形的性质与判定7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AEED＝31，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AEFS四边形ABCE为(　　)A．34B．43C．79D．97(第7题)　　　(第9题)8．若两个相似多边形的面积之比为14，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．www.21-cn-jy.com9．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是________．10．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2＝FB·FC；(2)若FB＝5，BC＝4，求FD的长．(第10题)11．如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，点F是BC的延长线上一点，且CE＝CF，BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM⊥DF；(2)若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB.(第11题)相似三角形的应用12．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立(BN)时的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高度CD(结果精确到0.1m)．21·cn·jy·com(第12题)13．某 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等忽略不计)21教育名师原创作品(第13题)位似(第14题)14．如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形AB′C′D′，则点C′的坐标为________．15．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均是小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为12；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号)．(第15题)答案eq\a\vs4\al(专训1)1．证明：∵E′C′∥EC，∴∠C′E′O＝∠CEO，eq\f(CE,C′E′)＝eq\f(OE,OE′).又∵E′D′∥ED，∴∠D′E′O＝∠DEO，eq\f(DE,D′E′)＝eq\f(OE,OE′).∴∠CED＝∠C′E′D′，eq\f(CE,C′E′)＝eq\f(DE,D′E′).∴△CED∽△C′E′D′.又∵△CDE是等边三角形，∴△C′D′E′是等边三角形．(第2题)2．解：如图，在AB边上任取一点D′，过点D′作D′E′⊥BC于点E′，在BC上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，过点F′作F′G′⊥BC，过点D′作D′G′∥BC交F′G′于点G′，作射线BG′交AC于点G，过点G作GF∥G′F′，DG∥D′G′，GF交BC于点F，DG交AB于点D，过点D作DE∥D′E′交BC于点E，则四边形DEFG为△ABC的内接矩形，且DEEF＝12.21世纪教育网版权所有3．解：设符合要求的正方形PQMN的边PN与△ABC的高AD相交于点E.设正方形PQMN的边长为xmm，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC.∵△APN与△ABC的对应点都经过点A，∴△APN与△ABC是以点A为位似中心的位似图形．∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(PN,BC).∴eq\f(80－x,80)＝eq\f(x,120).解得x＝48.即这个正方形零件的边长是48mm.点拨：利用位似图形的性质“位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比”，构造方程，利用方程思想解决问题．【来源：21·世纪·教育·网】4．(1)证明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴eq\f(DP,BQ)＝eq\f(AP,AQ).同理△ACQ∽△AEP，∴eq\f(PE,QC)＝eq\f(AP,AQ).∴eq\f(DP,BQ)＝eq\f(PE,QC).(2)①解：MN＝eq\f(\r(2),9).②证明：∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°.∴∠B＝∠CEF.又∵∠BGD＝∠EFC＝90°，∴△BGD∽△EFC.∴eq\f(DG,CF)＝eq\f(BG,EF).21·世纪*教育网∴DG·EF＝CF·BG.又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG.由(1)得eq\f(DM,BG)＝eq\f(MN,GF)＝eq\f(EN,CF).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(MN,GF)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(DM,BG)))·eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(EN,CF)))，即eq\f(MN2,FG2)＝eq\f(DM·EN,BG·CF)，∴MN2＝DM·EN.eq\a\vs4\al(专训2)1．A　2.4　3.49.44cm　4.D　5.3cm　(第6题)6．解：过D点作DN∥AC，交BE于N，如图．易知△DMN∽△AME，△BDN∽△BCE.∵eq\f(BD,DC)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BD,BC)＝eq\f(2,5).∴eq\f(DN,CE)＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(2,5).∵eq\f(AM,MD)＝4，∴eq\f(AE,DN)＝eq\f(AM,MD)＝4.∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(DN,EC)·eq\f(AE,DN)＝eq\f(2,5)×4＝eq\f(8,5).7．D　8.6，129．4或eq\f(24,7)　点拨：∵△ABC沿EF折叠，B和B′重合，∴BF＝B′F.设BF＝x，则CF＝8－x，当△B′FC∽△ABC时，eq\f(B′F,AB)＝eq\f(CF,BC).∵AB＝6，BC＝8，∴eq\f(x,6)＝eq\f(8－x,8)，解得：x＝eq\f(24,7)，即BF＝eq\f(24,7)；当△FB′C∽△ABC时，eq\f(FB′,AB)＝eq\f(FC,AC)，则eq\f(x,6)＝eq\f(8－x,6)，解得：x＝4.故BF＝4或eq\f(24,7).2·1·c·n·j·y10．(1)证明：∵E是Rt△ACD的斜边的中点，∴DE＝EA.∴∠A＝∠1.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A.∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FDC＝∠FBD.又∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC.∴eq\f(FB,FD)＝eq\f(FD,FC).∴FD2＝FB·FC.www-2-1-cnjy-com(2)解：∵FB＝5，BC＝4，∴FC＝9.∵FD2＝FB·FC，∴FD2＝45.∴FD＝3eq\r(5).11．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.21*cnjy*com∴∠CBE＝∠CDF.∴∠CBE＋∠BEC＝∠CDF＋∠DEM＝90°.∴BM⊥DF.(2)解：易知∠CBD＝45°.∵BE平分∠DBC，∴∠DBM＝∠FBM＝22.5°.由(1)知∠BMD＝∠BMF＝90°，∴∠BDM＝∠F＝67.5°.【来源：21cnj*y.co*m】∴BD＝BF.∴DM＝FM＝eq\f(1,2)DF.∵正方形ABCD的边长为2，∴BD＝BF＝2eq\r(2)，∴CF＝2eq\r(2)－2.在Rt△DCF中，DF2＝DC2＋CF2＝4＋(2eq\r(2)－2)2＝16－8eq\r(2).∴DM2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DF,2)))eq\s\up12(2)＝4－2eq\r(2).∵∠CDF＝∠DBM，∠DME＝∠BMD，∴△DME∽△BMD.∴eq\f(DM,MB)＝eq\f(ME,DM)，即DM2＝ME·MB.∴ME·MB＝4－2eq\r(2).21*cnjy*com12．解：设CD＝xm．∵AM⊥EC，BN⊥EC，CD⊥EC，∴MA∥CD∥BN.又MA＝EA，∴EC＝CD＝xm．易知△ABN∽△ACD，∴eq\f(BN,CD)＝eq\f(AB,AC)，即eq\f(1.75,x)＝eq\f(1.25,x－1.75)，解得x＝6.125≈6.1，即路灯的高度CD约为6.1m.13．解：如图，过点C作CM∥AB，分别交EF，AD于点N，M，作CP⊥AD，分别交EF，AD于点Q，P.由题意得四边形ABCM是平行四边形，∴EN＝AM＝BC＝20cm.∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知CP＝40cm，PQ＝8cm.∴CQ＝32cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.∴eq\f(NF,MD)＝eq\f(CQ,CP)，即eq\f(NF,30)＝eq\f(32,40)，解得NF＝24cm.∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．即横梁EF的长应为44cm.(第13题)　　　(第15题)14．(2，1)或(0，－1)15．解：(1)△A′B′C′如图所示．(2)如图，四边形AA′C′C的周长为AA′＋A′C′＋CC′＋AC＝2＋2eq\r(2)＋2＋4eq\r(2)＝4＋6eq\r(2).2-1-c-n-j-y