2021年七年级下期末数学备考之几何综合教师版

2021年七年级下期末数学备考之几何综合1．如图，CE是∠ACD的平分线，过点A作CD的平行线交CE于点B．（1）补全图形；（2）求证：∠ACB＝∠ABC；（3）点P是射线CE上的一点（点P不与点B和点C重合），连接AP，∠PCD＝α，∠PAB＝β，∠APC＝γ，请直接写出α，β与γ之间的数量关系．【分析】（1）根据题意作出平行线便可；（2）由平行线的性质得∠ABC＝∠BCD，再根据角平分线定义得∠ACB＝∠BCD，进而由等量代换得结果；（3）分两种情况：P点在B、C之间时；P点在CB的延长线上时．分别写出关系式．【解答】解：（1）根据题意作图如下，（2）∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ABC；（3）当点P在B、C两点之间时，α+β＝γ，如图2，过P点作PQ∥AC于点Q，第1页（共17页）∴∠CPQ＝∠PCD＝α，∠APQ＝∠BAP＝β，∴∠CPQ+∠APQ＝α+β，∴∠APC＝α+β，即α+β＝γ；当点P在CB的延长线上时，α﹣β＝γ，如图3，过P作PQ∥AC于点Q，∴∠CPQ＝∠PCD＝α，∠APQ＝∠BAP＝β，∴∠CPQ﹣∠APQ＝α﹣β，∴∠APC＝α﹣β，即α﹣β＝γ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角的和差关系，第（2）题关键是分情况讨论．2．已知：如图1，AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上一点．（1）在AB，CD之间有一点M（点M不在线段EF上），连接ME，MF，试探究∠AEM，∠EMF，∠MFC之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．（2）如图2，在AB，CD之间有两点M，N，连接ME，MN，NF，请选择一个图形写出∠AEM，∠EMN，∠MNF，∠NFC存在的数量关系（不需证明）．第2页（共17页）【分析】（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∠EMF＝∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC＝360°．证明：过点M作MP∥AB．∵AB∥CD，∴MP∥CD．∴∠4＝∠3．∵MP∥AB，∴∠1＝∠2．∵∠EMF＝∠2+∠3，∴∠EMF＝∠1+∠4．∴∠EMF＝∠AEM+∠MFC；证明：过点M作MQ∥AB．∵AB∥CD，∴MQ∥CD．∴∠CFM+∠1＝180°；∵MQ∥AB，∴∠AEM+∠2＝180°．∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2＝360°．∵∠EMF＝∠1+∠2，∴∠AEM+∠EMF+∠MFC＝360°；（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF﹣∠AEM﹣∠NFC＝180°；第3页（共17页）如图2第二个图：∠EMN﹣∠MNF+∠AEM+∠NFC＝180°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．3．在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E在射线DC上，EF⊥BC于点F，EM平分∠AEF交直线AB于点M．（1）如图1，点E在线段DC上，若∠A＝90°，∠M＝α．①∠AEF＝180°﹣2α；（用含α的式子表示）②求证：BD∥ME；（2）如图2，点E在DC的延长线上，EM交BD的延长线于点N，用等式表示∠BNE与∠BAC的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；②根据垂直的定义得到∠EFC＝90°，求得∠ABC＝2α，根据角平分线的定义得到∠ABD＝ABC＝α，求得∠ABD＝∠M，于是得到结论；（2）设∠ABD＝x，∠AEM＝y，根据角平分线的定义得到∠ABC＝2x，∠AEF＝2y，求得x﹣y＝∠END﹣∠BAD，得到2x﹣2y＝∠EFC﹣∠BAC，于是得到结论．【解答】解：（1）①∵∠A＝90°，∠M＝α，∴∠AEM＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，∵EM平分∠AEF，第4页（共17页）∴∠AEF＝2∠AEM＝180°﹣2α，故答案为：180°﹣2α；②证明：∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∵∠A＝90°，∴∠C+∠ABC＝90°，∴∠CEF＝∠ABC，∵∠AEF＝180°﹣2α，∴∠CEF＝2α，∴∠ABC＝2α，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝ABC＝α，∴∠ABD＝∠M，∴BD∥ME；（2）2∠BNE＝90°+∠BAC，证明：∵BD平分∠ABC，EM平分∠AEF，设∠ABD＝x，∠AEM＝y，∴∠ABC＝2x，∠AEF＝2y，∵∠ABD+∠BAD＝180°﹣∠ADB，∠NED+∠END＝180°﹣∠NDE，∵∠ADB＝∠NDE，∴∠ABD+∠BAD＝∠NED+∠END，∴x+∠BAD＝y+∠END，∴x﹣y＝∠END﹣∠BAD，同理，∠ABC+∠BAC＝∠FEC+∠EFC，∴2x+∠BAC＝2y+∠EFC，∴2x﹣2y＝∠EFC﹣∠BAC，∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，第5页（共17页）∴2（x﹣y）＝90°﹣∠BAC，∴2（∠END﹣∠BAD）＝90°﹣∠BAC，即2（∠BNE﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∴2∠BNE＝90°+∠BAC．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键．4．如图①，已知任意三角形ABC，过点C作DE∥AB．（1）如图①，求证：三角形ABC的三个内角（即∠A，∠B，∠ACB）之和等于180°；（2）如图②，AB∥CD，∠CDE＝110°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，且∠AGF＝145°，结合（1）中的结论，求∠F的度数．【分析】（1）利用平行线的性质，根据平角为180°证明三角形内角和定理；（2）根据∠BEF＝∠F+∠EGF，想办法求出∠EGF，∠BEF即可解决问题．【解答】（1）证明：∵DE∥AB，∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠ECB，∵∠DCE＝180°，∴∠DCA+∠ACB+∠ECB＝180°，∴∠A+∠ACB+∠B＝180°．（2）∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠BED＝110°，∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠BED＝55°，∵∠AGF＝145°，∴∠FGE＝35°，∵∠BEF＝∠F+∠EGF，第6页（共17页）∴∠F＝55°﹣35°＝20°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接PA，PD，射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线．（1）若点P在线段AD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AM与DN的位置关系，并证明；（2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由．【分析】（1）①根据题意作出图形便可；②由角平分线定义得∠DAM＝，，由平行线的性质得∠BAD＝∠CAD，进而得∠DAM＝∠ADN，最后根据平行线的判定定理得出结论便可；（2）当P点在AD直线上，位于AB与CD两平行线之外时，AM⊥DN．【解答】解：（1）①根据题意作出图形如下：②AM∥DN．证明：∵AM平分∠BAD，DN平分∠CDA，∴∠DAM＝，，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠CDA，∴∠DAM＝∠ADN，∴AM∥DN；第7页（共17页）（2）当P点在AD直线上，位于AB与CD两平行线之外时，AM⊥DN．证明：如下图，∵AB∥CD，∴∠PAF＝∠PDC，∵∠PAF+∠PAB＝180°，∴∠PDC+∠PAB＝180°，∵AM平分∠BAP，DN平分∠CDA，∴∠BAM＝，，∴∠CDN+∠BAM＝90°，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠CDN，∵∠EAF＝∠BAM，∴∠AFE+∠EAF＝90°，∴∠AEF＝90°，∴AM⊥DN．【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键熟记和正确理解平行的性质与判定．6．阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．彤彤是这样做的：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．第8页（共17页）∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D．请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．【分析】（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC＝α，∠ADC＝β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，第9页（共17页）∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度数为65°；（2）如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣+．答：∠BED的度数为180°﹣+．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．7．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为110度；（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不第10页（共17页）重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；（2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．（2）∠APC＝α+β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴α＝∠APE，β＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；第11页（共17页）（3）如图所示，当P在BD延长线上时，∠CPA＝α﹣β；如图所示，当P在DB延长线上时，∠CPA＝β﹣α．【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．8．如图：点A，B，C分别是∠MON的边OM，ON上的点．连接AB，AC，过B点作BE∥AC交AO于点E，点D是线段BC上任意一点，过点D作DF∥AB交线段AC于点F．（1）补全图形；（2）请判断∠ABE与∠CFD的关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接AB，AC，过B点作BE∥AC交AO于点E，点D是线段BC上任意一点，过点D作DF∥AB交线段AC于点F即可．（2）依据平行线的性质，即可得到∠ABE与∠CFD的关系．【解答】解：（1）如图所示：第12页（共17页）（2）∠ABE与∠CFD的关系为：∠ABE＝∠CFD．证明：∵BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∵DF∥AB，∴∠CFD＝∠BAC，∴∠ABE＝∠CFD．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．9．如图，已知∠C+∠E＝∠EAB，求证：AB∥CD．【分析】如图，延长EA交CD于H．根据三角形外角的性质和已知条件证明∠EAB＝∠EHD即可求解．【解答】解：如图，延长EA交CD于H．∵∠EHD＝∠C+∠E，∠EAB＝∠C+∠E，∴∠EAB＝∠EHD，∴AB∥CD．【点评】本题考查平行线的判定，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．第13页（共17页）10．如图，在三角形ABC中，点D是为BC上一点，连接AD．（1）三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E是AB上一点，过点E作EF∥AD交BC于点F，作DG⊥AC于G．依题意补全图形，并判断∠BEF与∠ADG的数量关系，并加以证明．（2）任意三角形ABC中，点E是AB延长线上一点，过点E作EF∥AD交BC所在直线于点F，G是直线AC上一点，连接DG．若要使（1）结论仍成立，DG与AB位置关系应满足的条件？请画图并直接写出DG与AB位置关系．【分析】（1）图形如图所示，结论：∠BEF＝∠ADG．利用平行线的性质证明即可．（2）若要使（1）结论仍成立，DG与AB位置关系应满足AB∥DG，图形如图所示．利用平行线的性质证明即可．【解答】解：（1）图形如图所示，结论：∠BEF＝∠ADG．理由：∵EF∥AD，∴∠BEF＝∠BAD，∵DG⊥AC，∴∠DGC＝∠BAC＝90°，∴AB∥DG，∴∠BAD＝∠ADG，∴∠BEF＝∠ADG．第14页（共17页）（2）若要使（1）结论仍成立，DG与AB位置关系应满足AB∥DG，图形如图所示．理由：∵EF∥AD，∴∠BEF＝∠BAD，∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠ADG，∴∠BEF＝∠ADG．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．11．已知△ABC，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．（1）如图1，若点D在边BC上，①补全图形；②求证：∠A＝∠EDF．（2）点G是线段AC上的一点，连接FG，DG．①若点G是线段AE的中点，请你在图2中补全图形，判断∠AFG，∠EDG，∠DGF之间的数量关系，并证明；②若点G是线段EC上的一点，请你直接写出∠AFG，∠EDG，∠DGF之间的数量关系．【分析】（1）①根据题意画出图形；②依据DE∥AB，DF∥AC，可得∠EDF+∠AFD＝180°，∠A+∠AFD＝180°，进而得出∠EDF＝∠A；（2）①过G作GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠AFG+∠EDG＝∠FGH+∠DGH＝∠DGF；②过G作GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠AFG﹣∠EDG＝∠FGH﹣∠DGH＝∠DGF．【解答】解：（1）①如图，第15页（共17页）②∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDF+∠AFD＝180°，∠A+∠AFD＝180°，∴∠EDF＝∠A；（2）①∠AFG+∠EDG＝∠DGF．如图2所示，过G作GH∥AB，∵AB∥DE，∴GH∥DE，∴∠AFG＝∠FGH，∠EDG＝∠DGH，∴∠AFG+∠EDG＝∠FGH+∠DGH＝∠DGF；②∠AFG﹣∠EDG＝∠DGF．如图所示，过G作GH∥AB，∵AB∥DE，∴GH∥DE，∴∠AFG＝∠FGH，∠EDG＝∠DGH，∴∠AFG﹣∠EDG＝∠FGH﹣∠DGH＝∠DGF．第16页（共17页）【点评】本题考查了平行线的判定和性质：两直线平行，内错角相等．正确的作出辅助线是解题的关键．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/6/521:34:22；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111第17页（共17页）