nullnull*
模糊理论（1） 一、集合与特征函数 *一、集合与特征函数 1、论域
处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。
null*2、集合
在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。
null* 3、特征函数
设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令
1 当u∈A
CA(u)=
0 当u A
则称CA(u)为集合A的特征函数。
显然有：
A={ u | CA(u)=1 }null*4、隶属度
特征函数CA(u)在u=u0处的值CA(U0)称为u0对A的隶属度。
null*例1、设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，A={ 1,3,5 }，求其特征函数。
解：特征函数如下：
1 当u=1,3,5
CA(u)=
0 当u=2,4
二、模糊集与隶属函数*二、模糊集与隶属函数
1、隶属函数
设U是论域，μA是将任何u∈U映射为[0，1]上某个值的函数，即：
μA：U→[0，1]
u→μA(u)
则称μA为定义在U上的一个隶属函数
null*2、模糊集
设A={ μA (u) | u∈U }
则称A为论域U上的一个模糊集。
null*3、隶属度
μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。
null*例2、设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，用模糊集表示出模糊概念“大数”。null*解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。
则有：
A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 }
其中：
μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8，
μA(5)=1
null*例3、设有论域：U={ 缟山，刘水，秦声 }
确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。null*解：假设他们的平均成绩分别为：98分，72分，86分，设映射为平均成绩除以100。则有隶属度：
μA(缟山)=0.98，μA(刘水)=0.72，μA(秦声)=0.86
模糊集A={ 0.98, 0.72, 0.86 }三、模糊集表示法*三、模糊集表示法1、扎德表示法1
设论域U是离散的且为有限集：
U={ u1, u2, …, un, }
模糊集为：A={μA(u1), μA(u2), … , μA(un) }
则可将A表示为： null* A=μA(u1)/ u1+μA(u2)/ u2+ … +μA(un)/ un
或
A={ μA(u1)/ u1，μA(u2)/ u2，… ，μA(un)/ un }
或
A= μA(ui)/ ui
或
A= μA(u)/ u
u∈Unull*μA(ui)/ ui表示ui对模糊集A的隶属度。当某个隶属度为0时，可以略去不写。
如：
A=1/ u1+0.7/ u2+ 0/ u3+0.5/ u4
B=1/ u1+0.7/ u2+0.5/ u4
它们是相同的模糊集。
null*2、扎德表示法2
设论域U是连续的，则其模糊集可用实函数表示。
null*例4、设有人的年龄论域U=[0,100], 求其“年老”和“年轻”这两个模糊概念的隶属函数。null*解：
0 0≤u≤50
μ年老(u)＝
(1+(5/(u-50))2)-1 500}
则称Ker A为模糊集A的核，Supp A为模糊集A的支集。
null*4、正规模糊集
若KerA≠Φ，则称A为正规模糊集。
null*例1、设有模糊集：
A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5
且λ分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的λ水平截集、核及支集。
null*解：
（1）λ水平截集
A1={ u3 }
A0.6={ u2,u3,u4 }
A0.5={ u2,u3,u4,u5 }
A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 }
（2）核、支集
KerA={ u3 }
SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }二、模糊度*二、模糊度1、模糊度定义
设A∈δ(U)，d是定义在δ(U)上的一个实函数，如果它满足如下条件：
（1）对任意A∈δ(U)， 有d(A)∈[0,1]；
（2）当且仅当A是一个普通集合时，d(A)=0；
（3）若A的隶属函数μA(u)≡0.5，则d(A)=1；
null*（4）若A,B∈δ(U)，且对任意u∈U, 满足
uB(u)≤μA(u)≤0.5
或
uB(u)≥μA(u)≥0.5
则有 d(B)≤d(A)
（5）对任意A∈δ(U)，有
d(A)=d( A)
则称d为定义在δ(U)上的一个模糊度，d(A)称为A的模糊度。
null*2、模糊度计算公式
（1）海明(haming)模糊度
其中，n是论域U中元素的个数，
1 μA (ui)≥0.5
μA 0.5(ui)=
0 μA (ui)＜0.5null*（2）欧几里德(Euclid)模糊度
null*（3）明可夫斯基(Minkowski)模糊度
null*例2、设U={ u1,u2,u3,u4 }
A= 0.8/u1+0.9/u2+0.1/u3+0.6/u4
求A的模糊度
null*解：
（1）海明模糊度
d(A)=2/4(| 0.8-1|+|0.9-1|+
|0.1-0|+|0.6-1|)
=(0.2+0.1+0.1+0.4)/2
=0.4
null*（2）欧几里德(Euclid)模糊度
=0.47
三、模糊关系*三、模糊关系1、模糊数
如果实数域上的模糊集A的隶属函数μA (u)在R上连续，且具有如下性质：
（1）A是凸模糊集，即对任意λ∈[0，1]，A的λ水平截集Aλ是闭区间；
（2）A是正规模糊集，即存在u∈R，使
μA (u)=1
则称A为一个模糊数。null*2、笛卡尔乘积与关系
设U与V是两个集合，则称
U×V={ (u,v) | u∈U, v∈V }
为U与V的笛卡尔乘积。
若R U×V，则称R为从U到V的一个关系。记为：
null*例3、设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J, Q, K }
求U×V
解：
U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（梅花, K） }
null*3、模糊关系
设Ui是（i=1,2,…n）论域，R是 U1×U2×…×Un上的一个模糊子集，则称R为U1×U2×…×Un上的一个n元模糊关系，记为：
R= ∫ μR(u1, u2, …, un ) / (u1, u2, …, un)
U1×U2×…×Un
μR(u1, u2, …, un )是模糊关系R的隶属函数 null*例4、设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 }
他们对球类运动V:
V={ 篮球，排球，足球，乒乓球 }
有不同的爱好，其爱好程度可以用下面的模糊关系来表示：
null*null*4、模糊关系的合成
设R1与R2分别是U×V及V×W上的两个模糊关系，则R1与R2的合成是指从U到W的一个模糊关系，记为：R1·R2
其隶属函数为
μR1·R2 (u,w)= { μR1 (u,v) μR2 (v,w) }
null*例5、设有如下两个模糊关系：
0.4 0.5 0.1
R1= 0.2 0.6 0.2
0.5 0.3 0.2
0.2 0.8
R2= 0.4 0.6
0.6 0.4
求 R1·R2 null*解：
0.4 0.5
R1·R2= 0.4 0.6
0.3 0.5
null*模糊系统
TS Fuzzy rule base:The output of the fuzzy system:模糊系统null*式中 即为无条件满足。在前提中 可不必列出。在线性的情况下，规则可以写成：Ri:这是Takagi—Sugeno一阶模型。要辨识的内容有：1）前件变量 的数目，决定系统的阶次，属于结构辨识2）隶属函数 — 前件参数
3）后件参数在前件中，如果 等于 的整个论域，（即 ），此项可略去， 无限定，成为无条件。譬如：null*R2R3R1 在输入空间已划分的情况下，模糊辨识的实质就是在所定义
的空间下，给出规则的集合。XY举例：用3条规则逼近原函数（如
右图)。输入-输出对的数据已知，这里假定只有1个输入变量,它被划分为3个模糊集合,即大、中、小。可描述的规则如下：
R1R2R3If x 是If x 是If x 是bigsmallmiddle41007478.5Then y = 0.2x + 9Then y = 0.6x + 0.2
Then y = 1.2x - 3null*与传统的辨识方法相比，模糊辨识的特点在于：
1）可以用较少的规则来逼近函数；
2）可以用语言变量来表达。模糊辨识的一种方法及步骤针对Takagi—Sugeno（T—S）模型，辨识步骤：
⑴ 选择前件变量
⑵ 前件参数辨识
⑶ 后件参数辨识
非线性规划法最小二乘法算法的框架smallmiddlebig分层模糊系统*分层模糊系统 Tasks:
(1) Determination of the hierarchical structure
(2) Determination of the type of submodels
(2) Parameter identification
(3) Input/feature selection for each sub-models.Incremental or cascade architectureAggregated architecturenull* Our Ideas:
Tree-structure based encoding
The specific function operators
Tree-structure based EA for hierarchical structure optimization
Parameter optimization
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