数列通项公式求法

数列通项公式的求法集锦 1、 累加法 形如 (n=2、3、4…...) 且 可求，则用累加法求 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例1. 在数列{ }中， =1， (n=2、3、4……) ，求{ }的通项公式。 解：∵ 这n-1个等式累加得： = 故 且 也满足该式 ∴ ( ). 例2．在数列{ }中， =1， ( ),求 。 解：n=1时, =1 以上n-1个等式累加得 = = ，故 且 也满足该式 ∴ ( )。 2、 累乘法 形如 (n=2、3、4……)，且 可求，则用累乘法求 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例3．在数列{ }中， =1， ，求 。 解：由已知得 ，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即 =1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时， 故 且 =1也适用该式 ∴ ( ). 例4．已知数列{ }满足 = ， ，求 。 解：由已知得 ，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入 上式得n-1个等式累乘，即 = 所以 ，又因为 也满足该式，所以 。 三、构造等比数列法 原数列{ }既不等差，也不等比。若把{ }中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出 。该法适用于递推式形如 = 或 = 或 = 其中b、c为不相等的常数， 为一次式。 例5、（06福建理22）已知数列{ }满足 =1， = ( )，求数列{ }的通项公式。 解：构造新数列 ，其中p为常数，使之成为公比是 的系数2的等比数列 即 = 整理得： = 使之满足 = ∴p=1 即 是首项为 =2，q=2的等比数列∴ = = 例6、（07全国 理21）设数列{ }的首项 ， = ，n=2、3、4…… （ ）求{ }的通项公式。 解：构造新数列 ，使之成为 的等比数列 即 = 整理得： = 满足 = 得 = ∴p=-1 即新数列 首项为 ， 的 等比数列 ∴ = EMBED Equation.DSMT4 故 = EMBED Equation.DSMT4 +1 例7、（07全国 理22）已知数列{ }中， =2， = EMBED Equation.DSMT4 （ ）求{ }的通项公式。 解：构造新数列 ，使之成为 的等比数列 = EMBED Equation.DSMT4 整理得： = EMBED Equation.DSMT4 + 使之满足已知条件 = EMBED Equation.DSMT4 +2 ∴ 解得 ∴ 是首项为 的等比数列，由此得 = EMBED Equation.DSMT4 ∴ = 例8、已知数列{ }中， =1， = ，求数列的通项公式。 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：该数列不同于以上几个数列，该数列中含 是变量，而不是常量了。故应构造新数列 ，其中 为常数，使之为公比是 的系数2的等比数列。 解：构造数列 ， 为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列 即 = 整理得： = 满足 = 得 ∴ 新数列 是首项为 = ，q=2的等比数列 ∴ = ∴ = 例9、（07天津文20）在数列{ }中， =2， = ，求数列的通项 。 解：构造新数列 ，使之成为q=4的等比数列，则 = 整理得： = 满足 = ，即 得 ∴新数列 的首项为 ，q=4的等比数列 ∴ ∴ 四、构造等差数列法 数列{ }既不等差，也不等比，递推关系式形如 ，那么把两边同除以 后，想法构造一个等差数列，从而间接求出 。 例10．（07石家庄一模）数列{ }满足 EMBED Equation.DSMT4 且 。求 EMBED Equation.DSMT4 、 、 是否存在一个实数 ，使此数列 为等差数列？若存在求出 的值及 ；若不存在，说明理由。 解： 由 = =81 得 =33；又∵ = =33得 =13； 又∵ = =13，∴ =5 假设存在一个实数 ，使此数列 为等差数列 即 = = = 该数为常数 ∴ = 即 为首项 ，d=1的等差数列 ∴ =2+ =n+1 ∴ = 例11、数列{ }满足 = ( )，首项为 ，求数列{ }的通项公式。 解： = 两边同除以 得 = +1 ∴数列 是首项为 =1，d=1的等差数列∴ =1+ 故 = 例12．数列{ }中， =5，且 （n=2、3、4……），试求数列{ }的通项公式。 解：构造一个新数列 ， 为常数，使之成为等差数列，即 整理得 +3(，让该式满足 ∴取 ， 得 ，d=1 ，即 是首项为 ，公差d=1的等差数列。 故 ∴ = 例13、（07天津理21）在数列{ }中， =2，且 （ ）其中 ＞0， 求数列{ }的通项公式。 解： 的底数与 的系数相同，则两边除以 得 即 ∴ 是首项为 ，公差d=1的等差数 列。 ∴ ∴ 。 5、 取倒数法 有些关于通项的递推关系式变形后含有 项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以 后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出 。 例14、已知数列{ }， = ， ，求 =？ 解：把原式变形得 两边同除以 得 ∴ 是首项为 ，d= 的等差数列故 ∴ 。 例15、（06江西理22）已知数列{ }满足 ，且 （ EMBED Equation.DSMT4 ） 求数列{ }的通项公式。 解：把原式变形成 两边同除以 得 即 …… ⑴构造新数列 ，使其成为公比q= 的等比数列 即 整理得： 满足⑴式使 ∴ ∴数列 是首项为 ，q= 的等比数列 ∴ ∴ 。 例16．（06江西文22）已知各项均为正数的数列{ }满足： ，且 求数列{ }的通项公式。 解：把原式变形为 两边同除以 得 移项得： 所以新数列 是首项为 q=2的等比数列。 故 解关于 的方程得 。 六．利用公式 求通项 有些数列给出{ }的前n项和 与 的关系式 = ，利用该式写出 ，两式做差，再利用 导出 与 的递推式，从而求出 。 例17.(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{ }的前n项和为 满足 ＞1且6 = n∈ 求{ }的通项公式。 解：由 = 解得 =1或 =2，由已知 ＞1，因此 =2又由 = 得 =0 ∵ ＞0 ∴ 从而{ }是首项为2，公差为3的等差数列，故{ }的通项为 =2+3(n-1)=3n-1. 例18.(07陕西理22)已知各项全不为0的数列{ }的前k项和为 ，且 = (k∈ )其中 =1，求数列{ }的通项公式。 解：当k=1时， = 及 =1得 =2； 当k≥2时， 由 = = 得 =2 ∵ ≠0∴ =2 从而 =1+(m-1)2=2m-1 =2+(m-1)2=2m (m∈ ) 故 =k (k∈ ). 例19.(07福建文21)数列{ }的前n项和为 ， =1， ( n∈ ),求{ }的通项公式。 解：由 =1， =2，当n≥2时 = = 得 =3，因此{ }是首项为 =2，q=3的等比数列。故 = (n≥2),而 =1不满足该式 所以 = 。 例20.(06全国Ⅰ理22)该数列{ }的前n项和 (n=1、2、3……) 求{ }的通项公式。 解：由 (n=1、2、3……)…①得 = 所以 =2 再 = （n=2、3…）…② 将①和②相减得： = = 整理得 （n=2、3…）因而数列{ }是首项为 ,q=4 的等比数列。即 = = ，因而 。 七．重新构造新方程组求通项法 有时数列{ }和{ }的通项以方程组的形式给出，要想求出 与 必须得重新构造关于 和 的方程组，然后解新方程组求得 和 。 例21.（07辽宁第21题）：已知数列{ }，{ }满足 =2， =1且 （ ）,求数列{ }，{ }的通项公式。 解析：两式相加得 则{ }是首项为 ，d=2的等差数列，故 =3+2(n-1)=2n+1…………(1) 而两式相减得 = = 则{ }是首项为 =1，q= 的等比数列，故 = …………(2) 联立(1)、(2)得 由此得 ， 。 (分析(该题条件新颖,给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数列，从而 再通过解方程组很顺利求出{ }、{ }的通项公式。若改变一下数据，又该怎样解决呢？下面给出一种通法。 例22.在数列{ }、{ }中 =2， =1，且 （n∈ ）求数列{ }和{ }的通项公式。 解析：显然再把 与 做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列{ }其中为 的常数。则 = = + = 令 得 =2或 =3 则{ }为首项 ，q= +2的等比数列。 即 =2时，{ }是首项为4，q=4的等比数列，故 =4× = ； =3时，{ }是首项为5，q=5的等比数列，故 =5× = 联立二式 解得 ， 。 注：该法也可适用于例21，下面给出例21的该种解法 解：构造新数列{ }，则 = + + = 令 得 =1或 = 即 =1时，新数列{ }中， = ∴（ ） 新数列{ }是首项为 ，d=2的等差数列 ∴ = = ………(1) 当 = 时，新数列{ }是首项为 =1，q= 的等比数列 ∴ = ………(2) 联立(1)、(2) 得 ， 。 例23.在数列{ }、{ }中， ，且 （n∈ ），求{ }、{ }的通项公式。 解：构造新数列{ }，则 = + = ，令 得 = 或 =5 { }为首项 ，q= +5的等比数列 即 =-3时，{ }是首项为 = ，q=5+ =2的等比数列，故 = = ； 当 =5时，{ }是首项为 =6，q= +5=10的等比数列，故 =6× 联立二式 得 ， 。 _1049528253.unknown _1049536139.unknown _1049540666.unknown _1049548678.unknown _1049608059.unknown _1049608906.unknown _1049629552.unknown _1049630192.unknown _1049630395.unknown _1049630564.unknown _1049631369.unknown _1049721141.unknown _1049721217.unknown _1049630591.unknown _1049630611.unknown _1049630430.unknown _1049630507.unknown _1049630422.unknown _1049630222.unknown _1049630374.unknown _1049630214.unknown _1049629857.unknown _1049630100.unknown _1049630185.unknown _1049629916.unknown _1049629696.unknown _1049629756.unknown _1049629676.unknown _1049609516.unknown _1049609661.unknown _1049609882.unknown _1049610264.unknown _1049610493.unknown _1049610576.unknown _1049610334.unknown _1049609771.unknown _1049609574.unknown _1049609209.unknown _1049609355.unknown _1049609019.unknown _1049608336.unknown _1049608690.unknown _1049608766.unknown _1049608709.unknown _1049608390.unknown _1049608238.unknown _1049608281.unknown _1049608160.unknown _1049608162.unknown _1049608065.unknown _1049606988.unknown _1049607915.unknown _1049607985.unknown _1049608025.unknown _1049608036.unknown _1049608012.unknown _1049607918.unknown _1049607507.unknown _1049607655.unknown _1049607802.unknown _1049607882.unknown _1049607771.unknown _1049607586.unknown _1049607225.unknown _1049607347.unknown _1049607373.unknown _1049607462.unknown _1049607269.unknown _1049607139.unknown _1049607140.unknown _1049605900.unknown _1049606697.unknown _1049606740.unknown _1049606797.unknown _1049606846.unknown _1049606909.unknown _1049606702.unknown _1049606227.unknown _1049606496.unknown _1049606591.unknown _1049606599.unknown _1049606668.unknown _1049606554.unknown _1049606317.unknown _1049606428.unknown _1049606254.unknown _1049606306.unknown _1049606252.unknown _1049606093.unknown _1049606211.unknown _1049606218.unknown _1049605977.unknown _1049605543.unknown _1049605783.unknown _1049605822.unknown _1049605847.unknown _1049605804.unknown _1049605664.unknown _1049605740.unknown _1049605651.unknown _1049549034.unknown _1049605484.unknown _1049605517.unknown _1049549116.unknown _1049548861.unknown _1049548927.unknown _1049548822.unknown _1049548683.unknown _1049543235.unknown _1049544755.unknown _1049547174.unknown _1049547615.unknown _1049547900.unknown _1049548205.unknown _1049548534.unknown _1049548547.unknown _1049548584.unknown _1049548378.unknown _1049548490.unknown _1049548274.unknown _1049548288.unknown _1049548110.unknown _1049548127.unknown _1049548008.unknown _1049547855.unknown _1049547888.unknown _1049547878.unknown _1049547741.unknown _1049547841.unknown _1049547689.unknown _1049547326.unknown _1049547493.unknown _1049547550.unknown _1049547416.unknown _1049547285.unknown _1049547302.unknown _1049547246.unknown _1049546229.unknown _1049546944.unknown _1049547126.unknown _1049547010.unknown _1049546983.unknown _1049546779.unknown _1049546930.unknown _1049546687.unknown _1049545280.unknown _1049546201.unknown _1049545586.unknown _1049545839.unknown _1049545120.unknown _1049545202.unknown _1049545067.unknown _1049543938.unknown _1049544381.unknown _1049544647.unknown _1049544721.unknown _1049544462.unknown _1049544131.unknown _1049544296.unknown _1049544088.unknown _1049543717.unknown _1049543802.unknown _1049543879.unknown _1049543763.unknown _1049543461.unknown _1049543649.unknown _1049543371.unknown _1049541861.unknown _1049542793.unknown _1049542855.unknown _1049542899.unknown _1049543026.unknown _1049542833.unknown _1049542812.unknown _1049542502.unknown _1049542720.unknown _1049542773.unknown _1049542606.unknown _1049542571.unknown _1049542177.unknown _1049542261.unknown _1049541927.unknown _1049541209.unknown _1049541490.unknown _1049541673.unknown _1049541763.unknown _1049541543.unknown _1049541353.unknown _1049541424.unknown _1049541308.unknown _1049540918.unknown _1049541066.unknown _1049540783.unknown _1049540824.unknown _1049540703.unknown _1049537868.unknown _1049539088.unknown _1049539837.unknown _1049540387.unknown _1049540543.unknown _1049540603.unknown _1049540479.unknown _1049540166.unknown _1049540211.unknown _1049539862.unknown _1049539317.unknown _1049539676.unknown _1049539424.unknown _1049539560.unknown _1049539210.unknown _1049539256.unknown _1049539126.unknown _1049538211.unknown _1049538749.unknown _1049538801.unknown _1049538909.unknown _1049538514.unknown _1049538657.unknown _1049538390.unknown _1049538475.unknown _1049538024.unknown _1049538116.unknown _1049537907.unknown _1049537196.unknown _1049537530.unknown _1049537685.unknown _1049537703.unknown _1049537609.unknown _1049537455.unknown _1049537395.unknown _1049537226.unknown _1049536428.unknown _1049536689.unknown _1049536998.unknown _1049537069.unknown _1049536763.unknown _1049536545.unknown _1049536275.unknown _1049536377.unknown _1049536221.unknown _1049528816.unknown _1049530826.unknown _1049534909.unknown _1049535390.unknown _1049536014.unknown _1049536096.unknown _1049535743.unknown _1049535320.unknown _1049535358.unknown _1049535105.unknown _1049531037.unknown _1049534782.unknown _1049534854.unknown _1049534733.unknown _1049534613.unknown _1049530888.unknown _1049530005.unknown _1049530173.unknown _1049530808.unknown _1049530039.unknown _1049529340.unknown _1049529679.unknown _1049529243.unknown _1049529282.unknown _1049528545.unknown _1049528742.unknown _1049528763.unknown _1049528616.unknown _1049528404.unknown _1049528479.unknown _1049528346.unknown _1049459884.unknown _1049460452.unknown _1049526188.unknown _1049527278.unknown _1049527859.unknown _1049528123.unknown _1049527424.unknown _1049527613.unknown _1049527330.unknown _1049527112.unknown _1049527184.unknown _1049527223.unknown _1049527047.unknown _1049463318.unknown _1049523601.unknown _1049525872.unknown _1049525970.unknown _1049526128.unknown _1049526157.unknown _1049526004.unknown _1049523984.unknown _1049524166.unknown _1049524426.unknown _1049524572.unknown _1049524545.unknown _1049524256.unknown _1049524141.unknown _1049524044.unknown _1049524088.unknown _1049523856.unknown 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