课时跟踪检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．(2012·重庆高考)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
2．(2012·佛山二模)已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，则cos x＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的值是( )
A．－eq \f(2\r(3),3)
B．±eq \f(2\r(3),3)
C．－1
D．±1
3．(2012·中山模拟)已知α满足sin α＝eq \f(1,2)，那么sineq \f(π,4)＋αsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值为( )
A.eq \f(1,4)
B．－eq \f(1,4)
C.eq \f(1,2)
D．－eq \f(1,2)
4．已知函数f(x)＝x3＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为4，则函数g(x)＝eq \r(3)sin 2x＋bcos 2x的最大值和最小正周期为( )
A．1，π
B．2，π
C.eq \r(2)，2π
D.eq \r(3)，2π
5．(2012·东北三校联考)设α、β都是锐角，且cos α＝eq \f(\r(5),5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝eq \f(3,5)，则cos β＝( )
A.eq \f(2\r(5),25)
B.eq \f(2\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),25)或eq \f(2\r(5),5)
D.eq \f(\r(5),5)或eq \f(\r(5),25)
6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝eq \f(\r(3),3)，则cos 2α＝( )
A．－eq \f(\r(5),3)
B．－eq \f(\r(5),9)
C.eq \f(\r(5),9)
D.eq \f(\r(5),3)
7．(2012·苏锡常镇调研)满足sineq \f(π,5)sin x＋coseq \f(4π,5)cos x＝eq \f(1,2)的锐角x＝________.
8．化简eq \f(2tan45°－α,1－tan245°－α)·eq \f(sin αcos α,cos2α－sin2α)＝________.
9．(2013·茂名模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－eq \f(1,3)，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是eq \f(4,5)，则cos α＝________.
10．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tan α＝eq \f(1,2)，求tan 2α和sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))的值．
11．已知：0<αcos(α＋β)，注意到eq \f(4,5)>eq \f(\r(5),5)>－eq \f(4,5)，
所以cos(α＋β)＝－eq \f(4,5).
cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3,5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(2\r(5),25).
6．选A 将sin α＋cos α＝eq \f(\r(3),3)两边平方，可得1＋sin 2α＝eq \f(1,3)，sin 2α＝－eq \f(2,3)，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝eq \f(5,3).因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－eq \f(\r(15),3)，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－eq \f(\r(5),3).
7．解析：由已知可得
coseq \f(4π,5)cos x＋sineq \f(4π,5)sin x＝eq \f(1,2)，
即coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,5)－x))＝eq \f(1,2)，
又x是锐角，所以eq \f(4π,5)－x＝eq \f(π,3)，即x＝eq \f(7π,15).
答案：eq \f(7π,15)
8．解析：原式＝tan(90°－2α)·eq \f(\f(1,2)sin 2α,cos 2α)
＝eq \f(sin90°－2α,cos90°－2α)·eq \f(\f(1,2)sin 2α,cos 2α)
＝eq \f(cos 2α,sin 2α)·eq \f(1,2)·eq \f(sin 2α,cos 2α)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
9．解析：依题设及三角函数的定义得：
cos β＝－eq \f(1,3)，sin(α＋β)＝eq \f(4,5).
又∵0<β<π，∴eq \f(π,2)<β<π，eq \f(π,2)<α＋β<π，sin β＝eq \f(2\r(2),3)，cos(α＋β)＝－eq \f(3,5).
∴cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β
＝－eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋eq \f(4,5)×eq \f(2\r(2),3)
＝eq \f(3＋8\r(2),15).
答案：eq \f(3＋8\r(2),15)
10．解：∵tan α＝eq \f(1,2)，
∴tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝eq \f(4,3)，
且eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(1,2)，即cos α＝2sin α，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴5sin2α＝1，而α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，
∴sin α＝eq \f(\r(5),5)，cos α＝eq \f(2\r(5),5).
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(4,5)，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝eq \f(4,5)－eq \f(1,5)＝eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝sin 2αcoseq \f(π,3)＋cos 2α·sineq \f(π,3)＝eq \f(4,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4＋3\r(3),10).
11．解：(1)法一：∵coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝coseq \f(π,4)cos β＋sineq \f(π,4)sin β＝eq \f(\r(2),2)cos β＋eq \f(\r(2),2)sin β＝eq \f(1,3)，
∴cos β＋sin β＝eq \f(\r(2),3)，∴1＋sin 2β＝eq \f(2,9)，
∴sin 2β＝－eq \f(7,9).
法二：sin 2β＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2β))
＝2cos2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))－1＝－eq \f(7,9).
(2)∵0<α0，cos(α＋β)<0.
∵coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，sin(α＋β)＝eq \f(4,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq \f(2\r(2),3)，
cos(α＋β)＝－eq \f(3,5).
∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝cos(α＋β)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))
＝cos(α＋β)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))
＝－eq \f(3,5)×eq \f(1,3)＋eq \f(4,5)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(8\r(2)－3,15).
12．解：(1)f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(x,2)))＝sineq \f(x,2)＋coseq \f(x,2)
＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，
故f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π.
(2)由f(α)＝eq \f(2\r(10),5)，得sineq \f(α,2)＋coseq \f(α,2)＝eq \f(2\r(10),5)，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(10),5)))2，
即1＋sin α＝eq \f(8,5)，解得sin α＝eq \f(3,5)，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，
则cos α＝eq \r(1－sin2α)＝ eq \r(1－\f(9,25))＝eq \f(4,5)，
故tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(3,4)，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))
＝eq \f(\f(3,4)＋1,1－\f(3,4))＝7.
B级
1．选C tan(α＋β)＝1⇒eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(lg10a＋lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))),1－lg10a·lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))))＝1⇒lg2a＋lg a＝0，
所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或eq \f(1,10).
2．解析：原式＝eq \f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3))),2)＋eq \f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3))),2)－sin2α
＝1－eq \f(1,2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))－sin2α
＝1－cos 2α·coseq \f(π,3)－sin2α
＝1－eq \f(cos 2α,2)－eq \f(1－cos 2α,2)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
3．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝eq \f(9,5)，
即1＋sin 2α＝eq \f(9,5)，∴sin 2α＝eq \f(4,5).
又2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，
∴cos 2α＝eq \r(1－sin22α)＝eq \f(3,5)，
∴tan 2α＝eq \f(sin 2α,cos 2α)＝eq \f(4,3).
(2)∵β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，
∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，
于是sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25).
又sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－cos 2β，
∴cos 2β＝－eq \f(24,25)，
又∵2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sin 2β＝eq \f(7,25)，
又∵cos2α＝eq \f(1＋cos 2α,2)
＝eq \f(4,5)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))))，
∴cos α＝eq \f(2\r(5),5)，sin α＝eq \f(\r(5),5).
∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝eq \f(2\r(5),5) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,25)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(7,25)＝－eq \f(11\r(5),25).
本文档为【课时跟踪检测（二十一） 两角和与差的正弦、余弦和正切公式】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483