非线性动力学（中科大课件）

非线性动力学（中科大课件）nullnull非线性动力学第一章汪秉宏中国科学技术大学近代物理系第一章引言第一章引言§1 Newton 力学及其发展 §2 非线性动力学的研究对象 §3 非线性动力系统模型的建立§1 Newton 力学及其发展§1 Newton 力学及其发展力学的定性研究时期（公元前－17世纪中叶） Archimedes， Galileo， Kepler 定量研究时期（ 17世纪中叶－19世纪末） Newton，Lagrange, Hamilton（17世纪）Newton方程：（17...

nullnull非线性动力学第一章汪秉宏中国科学技术大学近代物理系第一章引言第一章引言§1 Newton 力学及其发展 §2 非线性动力学的研究对象 §3 非线性动力系统模型的建立§1 Newton 力学及其发展§1 Newton 力学及其发展力学的定性研究时期（公元前－17世纪中叶） Archimedes， Galileo， Kepler 定量研究时期（ 17世纪中叶－19世纪末） Newton，Lagrange, Hamilton（17世纪）Newton方程：（17世纪）Newton方程：基本问题：已知的函数形式，求上述方程组的解析表达式。数学家可证明其存在性及唯一性。基本方法－微扰论：存在收敛问题。在天体力学中取得很大成功，能够精确预言天体的运动。18世纪： Lagrange 方程18世纪： Lagrange 方程Lagrange 函数19世纪 Hamilton 方程19世纪 Hamilton 方程引进广义动量Hamilton 函数nullLagrange, Hamilton方程均与Newton方程等价力学的基本问题、基本方法未变结论：二百多年来牛顿力学无实质性进展19世纪末、20世纪初发生的对于牛顿力学的三大变革19世纪末、20世纪初发生的对于牛顿力学的三大变革太阳系是否稳定？ ——N 体稳定性问题太阳系是否稳定？ ——N 体稳定性问题微扰是否收敛？许多科学家宣称太阳系是稳定的，但并未给出其证明。如 Dirichlet。奥斯卡奖1890年授予 Poincare. 他证明了所有微扰级数是发散的，因而研究稳定性必须使用新的方法 ——定性方法：几何拓扑，微分拓扑。力学的基本问题及基本方法必须彻底改变。求解析解并不解决问题。新力学的理论特点: 力学的基本问题新力学的理论特点: 力学的基本问题研究系统在相空间中的轨迹的几何性质。即：研究相轨图(phase portrait) 例如：是否周期解？（用微扰法不能回答这一问题）给出级数展开式：如何证明?新力学的理论特点新力学的理论特点基本方法：定性方法：微分拓扑大范围分析代数与群论数值方法：计算机模拟大大拓宽了力学的研究领域发现了许多新的力学现象。如：混沌、分岔、突变、结构稳定性转变§2 非线性动力学的研究对象 ——非线性动力系统及各种特征系统的现象§2 非线性动力学的研究对象 ——非线性动力系统及各种特征系统的现象 a) 什么是非线性动力系统？线性方程：量φ满足的方程 L(φ)=0 若（i） φ是线性空间中一个元素（矢量）（ii） L(aφ＋bψ)=a • L(φ) ＋b • L(ψ) 非线性动力系统的定义：一个动力系统，若其基本力学量的运动由非线性方程描述，则称作非线性动力学系统。null非线性动力系统若一个动力系统由方程描述，其中也可以用系综概率密度 ρ(x) 的运动描述。 Liuvill 方程：是线性的。两个方程等价。但两者的基本力学量不同。若以x为基本力学量，F为非线性时，则系统为非线性。null考虑一对一变换则非线性方程有可能化为线性的习题1：求G的显示表达式有些系统，其相空间不是线性空间，这类系统必定是非线性的。例如：刚体动力学方程，相空间为SO3 流形。称为运动(Kinetic)非线性。 F的非线性称为力学非线性。b) 什么是特征非线性现象？b) 什么是特征非线性现象？例：考虑映射设 f(x)>x 则xn+1> xn 即使 f 是非线性的，没有任何不同于线性系统的有趣特征已知的特征非线性现象：混沌、分岔、突变、自组织现象、耗散结构，分形特征已知的特征非线性现象：混沌、分岔、突变、自组织现象、耗散结构，分形特征当 f(x)=r x(1-x) 时出现一系列分岔、混沌等非线性现象。非线性科学并不研究对于线性关系的偏离，而必须研究质的变化。§3 非线性动力系统模型的建立实际系统往往包含巨大数目自由度 s～1023，从中得出基本力学量及其遵循的方程§3 非线性动力系统模型的建立实际系统往往包含巨大数目自由度 s～1023，从中得出基本力学量及其遵循的方程微观描述 μ为控制参量，表示外界的影响 null亚宏观描述引进集体运动变量：忽略连续系统运动的涨落，可由微观描述得到涨落耗散定理涨落项宏观描述在长时间后，绝大多数集体运动模式由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。宏观描述在长时间后，绝大多数集体运动模式由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。设长时间后只剩下 x1 ,…, xm 的运动，则在 t→∞ 时有 Haken称之为随动原理(slaving principle). 代入前一方程，消去 xj , j=m+1,…,n 得 xj , j=1,…,m 称作序参量（基本力学量）绝热消除法：中心流形→ 惯性流形FTP ComplexityFTP Complexity IP address： 202.38.83.243 User name： guest Password： guestThanks for Attention！Thanks for Attention！Thanks for Attention！Thanks for Attention！

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