2022年高考数学全国甲卷（理科）

2022年高考数学全国甲卷（理科）绝密*启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四...

绝密*启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。z1.若z=-1+3i,则=()zz-11313A.-1+3iB.-1-3iC.-+iD.--i33332.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识。为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和后问卷答题的正确率如下图：则()A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B=x|x2-4x+3=0,则C(A∪B)=()A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方的边长为1，则该多面体体积为()A.8B.12C.16D.20ππ5.函数y=3x-3-xcosx在区间-,的图像大致为()22b6.当x=1时,函数f(x)=alnx+取彽最大值-2,则f′(2)=()x11A.-1B.-C.D.1227.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则()A.AB=2ADB.AB与平面AB1C1D所成的角为30°C.AC=CB1D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,AB是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在AB上,CD⊥AB.“会圆术”CD2给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+.当OA=2,∠AOB=60°时,s=OA()11-33A.211-43B.29-33C.29-43D.29.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体S甲V甲积分别为V甲和V乙.若=2,则=()S乙V乙510A.5B.22C.10D.4x2y210.椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线a2b21AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为()43211A.B.C.D.2223π11.设函数f(x)=sinωx+在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是3()5135191381319A.,B.,C.,D.,36366366311112.已知a=,b=cos,c=4sin,则()3244A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。113.设向量a,l的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)⋅b=3x214.则双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=m215.从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为AC16.已知ΔABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,ABBD=三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。2S17.(12分)记S为数列a的前n项和.已知n+n=2a+1.nnnn(1)证明:an是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.18.(12分)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD⎳AB,AD=DC=CB=1,.AB=2,DP=3(1)证明:BD⊥PA;(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.19.(12分)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.20.(12分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.(1)求C的方程;(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程.21.(12分)ex已知函数f(x)=-lnx+x-a.x(1)若f(x)≥0,求a的取值范围:(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)x=2+t,在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为6(t为参数),曲线C2的参数方程为y=tx=-2+s6(s为参数).y=-s(i)写出C1的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C3的极坐标方程为2cosθ-sinθ=0,求C3与C1交点的直角坐标,及C3与C2交点的直角坐标.23.[选修4-5：不等式选讲](10分)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明:(1)a+b+2c≤3;11(2)若b=2c,则+≥3.ac

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