测量平差(河海大学）

null误差理论与测量平差误差理论与测量平差Surveying Adjustment null 误差理论与 测量平差第六章 附有参数的条件平差第二章 精度指标与误差传播第三章 平差最小二乘模型与最小二乘原理第四章 条件平差第五章 间接平差第一章 绪论第七章 附有限制条件的间接平差第八章 概括平差函数模型第九章 误差椭圆测绘 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 专业主干课：测绘工程专业主干课：专业基础主要课程： 测量学（5）、测量平差基础（5）、控制测量学（5）、摄影测量学（4）、测绘数据计算机处理（3）专业课： GPS（4）、GIS（3）、工程测量（4）、数字制图（3）、近代平差（2）等测绘科学与技术测绘科学与技术 大地测量与测量工程 摄影测量与遥感 地图制图与地理信息系统工程 数学 政治 英语 测量平差课程安排课程安排前修课程：高数、几何与代数、概率与数理统计 课程分两个学期进行： 第二学年上学期：3学分 第三学年下学期：2学分 后续课程：测绘数据的计算机处理、控制测量、近代平差 教学方式与 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 教学方式与内容讲授为主，例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 、习题相结合。 内容：本学期主要讲前五章的内容。 参考 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 目： 测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社 误差理论与测量数据处理，测量平差教研室，测绘出版社。 null第一章 绪论第一章 绪论第一章 绪论第一节：概述 1、测量平差的研究对象——误差 任何量测不可避免地含有误差 闭合、附合水准路线 闭合、附合导线 距离测量 角度测量……….. 误差：测量值与真值之差误差：测量值与真值之差由于误差的存在，使测量数据之间产生矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛盾，或者说是将误差分配掉，因此称为平差。产生误差的原因产生误差的原因测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等三者综合起来为观测条件误差的分类误差的分类系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差的存在必然影响观测结果。削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数误差的分类误差的分类偶然误差/随机误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。 不可避免，测量平差研究的内容 粗差：错误null测量平差的任务：对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求未知量的最可靠值。评定测量成果的质量null测量平差产生的历史最小二乘法产生的背景18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未知数的最佳估值？最小二乘的产生1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘 1806年，A.M. Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。《决定彗星轨道的新方法》 1809年， C.F.GUASS，《天体运动的理论》null测量平差产生的历史最小二乘法原理的两次证明形成测量平差的最基本模型1912年，A.A.Markov， 对最小二乘原理进行证明，形成数学模型：最小二乘解：测量平差理论的扩展补充知识补充知识一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵（1）由个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示，如：null(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22……ann 称为对角元素。(3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。(4)对于 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。如：(5)对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位阵，一般用E、I表示。null（6）若aij=aji，则称A为对称矩阵。null矩阵的基本运算：（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换性与可结合性。 （3）设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵,则A、B相乘才有意义，C=AB，C的阶数为m*n。 OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC， ABC=A（BC）二、矩阵的转置二、矩阵的转置对于任意矩阵Cmn:将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。 用：矩阵转置的性质：矩阵转置的性质：（6）若则A为对称矩阵。三、矩阵的逆三、矩阵的逆给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。记为：A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵矩阵的逆的性质矩阵的逆的性质矩阵求逆方法：矩阵求逆方法：（1）伴随矩阵法： 设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。矩阵求逆方法矩阵求逆方法则：（2）初等变换法：经初等变换：概率与数理统计内容概率与数理统计内容随机变量 误差分布曲线 概率密度曲线 数学期望 方差null第一节 概述第二节 偶然误差的规律性第三节 衡量精度的指标第四节 协方差传播律第五节 协方差传播律在测量上的应用第六节 协方差传播律第七节 权与定权的常用方法第八节 协因数与协因数传播律null第二节 偶然误差的规律性 观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示 。一、几个概念第一节 概述null观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2……Ln可表示为： 二、偶然误差的特性 二、偶然误差的特性例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。    null例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。null用直方图表示:所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1null0.475提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。null1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；偶然误差的特性：null第三节 衡量精度的指标精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。null可见：左图误差分布曲线较高 且陡峭，精度高 右图误差分布曲线较低 且平缓，精度低null一、方差/中误差第三节 衡量精度的指标方差：null方差的估值：null二、平均误差在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。与中误差的关系：null三、或然误差null四、极限误差四、相对误差中误差与观测值之比，一般用1/M表示。第四节 协方差传播律第四节 协方差传播律一、协方差对于变量X，Y，其协方差为：null表示X、Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立。表示X、Y间相关null对于向量X=[X1，X2，……Xn]T，将其元素间的方差、协方差阵表示为：矩阵表示为：方差协方差阵null特点：I 对称 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 对角元 相等时，为等精度观测。null若：若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测量。二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差已知：那么：证明：设：那么：nullnull例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已知每公里观测中误差等于±5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差不大于±10mm,问该路线长度最多可达几公里? 二、多个观测值线性函数的协方差阵二、多个观测值线性函数的协方差阵null例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。null四 、非线性函数的情况设有观测值X的非线性函数：已知：null将Z按台劳级数在X0处展开：nullnull例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms，试推导P点的点位中误差。协方差传播应用步骤:协方差传播应用步骤:根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 写出观测量的协方差阵 对函数进行线性化 协方差传播null协方差传播在测量中的应用一、水准测量的精度null作业1、在高级水准点A、（高程为真值）间布设水准路 线，如下图，路线长分别为 ，设每公里观测高差的中误差为 ，试求： （1）将闭合差按距离分配之后的p1、p2点间高差的中误差； （2）分配闭合差后P1点的高程中误差。 作业2、在相同条件下，观测两个角度A=150000，B=750000，设对A观测4个测回的测角精度（中误差）为3，问观测9个测回的精度为多少？ null第七节 权与定权的常用方法一、权的定义称为观测值Li的权。权与方差成反比。null（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。null二、单位权中误差三、常用的定权方法1、水准测量的权或null2、边角定权null第八节 协因数与协因数传播律一、协因数与协因数阵null不难得出：QXX为协因数阵null特点：I 对称，对角元素为权倒数 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 为等精度观测，单位阵。null二、权阵null第一节 测量平差概述第二节 测量平差的数学模型第三节 参数估计与最小二乘原理null一、必要观测、多余观测确定平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有 种选择确定平面三角形的形状与大小6个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。null必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等确定如图四点的相对高度关系必要观测: 能够唯一确定一个几何模型所必要的观测 一般用t表示。特点: 给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。 必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。 确定几何模型最大独立观测个数null多余观测: 观测值的个数n与必要观测个数t之差 一般用r表示，r=n-t。确定几何模型最大独立观测个数为t, 那么再多进行一个观测就 相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。观测值: 为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际 观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。nt,，可以确定模型，还可以发现粗差。null二、测量平差必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。实际上：null第二节 测量平差的数学模型一、条件平差法以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。即为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程个数。二、间接平差法 选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，成为间接平差法。null三、 附有参数的条件平差法 设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0t个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。在选定u>t个参数进行平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此平差方法为附有限制件的间接平差法。null五、 平差的随机模型数学模型函数模型随机模型：null第三节 函数模型的线性化条件方程的综合形式为：为了线性化，取X的近似值：将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：nullnull一、条件平差法二、间接平差法null三、 附有参数的条件平差法四、 附有限制条件的间接平差法null第四节 参数估计与最小二乘原理 为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。 一、 参数估计及其最优性质条件的个数r=n-t t，则u个未知参数间肯定存在u-t个函数关系，称为约束条件。null联合基础方程null基础方程线性化形式：按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：null求其一阶偏导数，并令其为0：法方程式null写成矩阵形式：null显式表示：null第二节 精度评定一、计算单位权中误差二、协因数阵null三、平差值函数的协因数null四、附有限制条件平差的间接平差计算步骤null例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间接平差求各点的高程平差值。null解：1、列误差方程n=7, t=5-1-1=3, r=7-3=4设B、P1、P2、P3点的高程为未知参数相应的近似值列误差方程：U=4，S=1null定权，取C=1限制条件：nullnull第 八 章 概括平差函数模型第二节 基础方程和它的解第三节 精度评定第一节 概述null 一、平差模型的回顾（1）条件平差法观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，条件方程个数c。（2）间接平差法观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，设t个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n,即n个误差方程：null（3） 附有参数的条件平差法 观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有u个独立量作为参数，而0t，包含t个独立参数，则条件个数r+u,其中，有s个限制条件：null二、条件方程式形式限制条件式null（1）条件平差法:（2）间接平差法:（3） 附有参数的条件平差法（4）附有限制条件的间接平差法null三、概括平差模型的引入对于一个几何模型，独立参数的个数u 满足：条件平差间接平差附有参数的条件平差null对于一个几何模型，可选参数的个数u：相关包含独立参数数