电磁场第二讲：

第二讲：向量分析与场论（II） 例 6666、某一向量场，其空间函数关系为 EEEE((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ==== (((( xxxx iiii ++++ yyyy jjjj ++++ zzzz kkkk ))))／( x2 + y2 + z2 ) 3/ 2，如图 15151515，试求该向量场沿空间任一路径由 PPPP1111( x1, y1, z1 )点到 PPPP2222( x2, y2, z2 ) 点场的路径积分 解：路径积分微元就是指在给定 的路径上任意点处的线元与该点 的场向量的点积。在本例中，在 如图路径上为，在 P( x, y, z )处路 径积分微元表示为 E E E E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••dllll （3.3） 路径积分是指从路径起点到末 点，把路径剖分为无数个线元，这样就构成了无数个路径积分微元，把这无 数个路径积分微元相加，所得结果即为整个路径上的路径积分，表示为 ∫p1 p 2222 E EE E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••dllll （3.4） 代入具体表达为 ∫p1 p 2222 E EE E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••dllll ====∫p1 p 2 (((( x iiii ++++ y jjjj ++++ z kkkk ))))／( x2 + y2 + z2 ) 3/ 2 •••• (((( dx iiii ++++ dy jjjj ++++ dz kkkk )))) ====∫p1 p 2 (((( x dx + y dy + z dz )／( x2 + y2 + z2 ) 3/ 2 ==== ½∫p1 p 2 (dx2 + dy2 + z dz2)／( x2 + y2 + z2 ) 3/ 2==== ½∫p1 p 2 d( x2 + y2 + z2 ))))／(x2 + y2 + z2 ) 3/ 2====½∫ (x1, y1, z1 )( x2, y2, z2)d( x2 + y2 + z2 )／( x2 + y2 + z2 ) 3/ 2 ==== ½∫ (x1, y1, z1)( x2, y2, z2) 1/( 3/ 2 - 1) d ( x2 + y2 + z2 ) -3/ 2+1= - ∫ (x1, y1, z1 )( x2, y2, z2) d ( x2 + y2 + z2 ) -1/= ( x12 + y12 + z12 ) -1/ 2 - ( x22 + y22 + z22 ) -1/ 2 = 1/r1 – 1/r2 （3.5） r1 • 积分起点 P1 路径上任意 点 P( x, y, z ) 处线元 dllll o z x y 图 15、场的路径积分 • 积分末点 P2r2 1 讨论：1111）由（3.4）式可见，EEEE((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz))))场的路径积分和路径无关，也即假设 由 P1( x1, y1, z1 ))))点到 P2( x2, y2, z2 )点引两条不同的路径，在路径积分过程 中，虽处处场和线元不同，但是整体积分完全相同，也即积分只和起始 点 PPPP1111和终点 PPPP2222位置有关，是位置的函数。若 EEEE((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz))))场看作电场，则路 径积分可以看作单位电荷在电场力的作用下沿路径的位移移动电场力所 做的功，不同路径积分相同，便是“异曲同工”。在这里 EEEE((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz))))场的表 达式实质上是电磁场中电场强度的核心表达式。据此，（3.5）式是电位、 电压的概念引入依据 在日常对两点或两导线之间的电压进行测量时，由电压表所引出的两根 接线分别接入两待测量点，测量时我们从不关心这两根接线在空间的形态， 为什么？根据电磁场原理，在电场中空间两点电压就是电场强度沿这两点间 任意路径的路径积分。这一积分和路径无关，所以随意挪动两根接线在空间 的路径以改变其路径形态，电压表的读数一定不会发生变化；若发生变化， 电压表就不会存在，因为电压的概念不会存在，今天的所有与电有关的一切 统统不会存在。 2222）上述积分是在直角坐标系下进行的，同样对该积分问题在球坐标系下 进行，且运算过程更为简便:::: 原场 EEEE((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ==== (((( x iiii ++++ y jjjj ++++ z kkkk ))))／(((( x2 + y2 + z2 ) 3/ 2， 由位移向量 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 （2.1）、（ 2.2）和（2.5）： E EE E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ==== EEEE(((( rrrr )))) ==== rrrr／r 3333 ==== rrrr0000／r 2222（3.6） 由场强的表达式可以看出，空间 任意点处的场方向与该点矢径方 向一致，在进行路径积分 EEEE((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••ddddllll运算时，可以看成线元沿场 方向进行投影，路径上任意 rrrr处 沿矢径方向线元投影为 ∆ι cosθ = dr （3333....7777） E EE E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••ddddllll ==== dr／r 2 （3333.8.8.8.8） （3.7）、（ 3.8）式具有普遍含义 ， 如图 16 所示，在 rrrr初邻近 rrrrxxxx处 ， 其路径上 rrrrxxxx处沿矢径方向线元投影为 drdrdrdrxxxx，虽然 rrrr 、rrrrxxxx 方向不一 rx 图 16、位移沿场方向投影示意 y z x o r r1 r2 dr drx 2 致，但是线元与之点积结果所体现的只与半径 大小有关，故可以直接进行积分 ∫p1 p 2 E EE E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••ddddllll ==== ∫∫∫∫rrrr1111 rrrr 2222 dr／r 2==== ---- ∫∫∫∫rrrr1111 rrrr 2222 d((((1／r )))) ==== ---- (1/r2–1/r1) = 1/r1 – 1/r2 3333）路径积分的不同表述：由 PPPP1111点到 PPPP2222点的两条路径假设分别为τ1111、τ2222， 则不同路径环量积分相同可表示为 ∫∫∫∫ τ1111 E EE E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••dllll ==== ∫∫∫∫ τ2222 E EE E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••dllll （3.9） 若把路径τ2222 积分方向反转（以–––– τ 2222 表示积分路径反转以后的积分 路径），既由由 PPPP2222点到 PPPP1111点沿路径τ2222 进行环量积分，由于路径上处处 场量不变，但是每一处线元方向与原线元方向相反，故每一处线元与场 量夹角较之于原夹角θθθθ为π––––θθθθ，由三角函数公式 cocococossss（π––––θθθθ）==== ––––ccccoooossssθθθθ，积 分路径反转以后较之原来路径积分元，点积时处处相差一个符号，故整 体积分较之于原路径相差一个符号 ∫∫∫∫–––– τ2222 E EE E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••dllll ==== –––– ∫∫∫∫ τ2222 E EE E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••dllll （3.10） 由（3.93.93.93.9）式与（3.10）式，得 ∫∫∫∫ τ1111 E EE E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••dllll ==== –––– ∫∫∫∫–––– τ2222 E EE E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••dllll （3.11a） 移项得 ∫∫∫∫ τ1111 E EE E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••dllll ++++ ∫∫∫∫–––– τ2222 E EE E((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••dllll ==== 0000 （3.11b） 从上式可以看出，从任意一点出发，如图 16161616（bbbb）所示的任意环路积分，即绕 行一周环路积分结果一定为零，把上式的环路积分改写为 ∮EEEE((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz)))) ••••dllll ==== 0000 （3.12） 路径–τ2 P1 • • • • 图 16、（ a）两点之间的两条路径 （b）、环路积分 路径τ1 路径τ2 P2 3 （3.113.113.113.11）式表明，这里所讨论的场 EEEE((((x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz))))具有任意环路积分一定为零，在 电磁场中，电场强度就满足这种特征 1111、向量的叉积：向量的叉积又称为向量的矢积，用符号“••••”表示。 空间两向量 FFFF1111与 FFFF2222的叉积，满足右手螺旋法则，是指伸出右手，使四指与大 拇指垂直，让四指指向 FFFF1111的方向，此 时四指 FFFF1111由转向 FFFF2222，此时大拇指的指向即为 FFFF1111与 FFFF2222的 叉积方向，叉积向量的大小为该两向 量的模与该两向量夹角的正弦积。如 图 14141414所示， 即： F=|=|=|=|FFFF|=|=|=|=F1F2sinθ （3.13） 注意，FFFF1111与 FFFF2222叉积所得的向量 FFFF，既垂直于 FFFF1111又垂直于 FFFF2222，当然就垂直于 FFFF1111 与 FFFF2222所决定的平面。 在坐标系下 FFFF1111与 FFFF2222的叉积可表示为： F F F F 1 11 1 × ×× ×F F F F 2 22 2 ==== [F1xxxx (((( x, y, z ) iiii++++ F1y(((( x, y, z )))) jjjj++++ F1zzzz(((( x, y, z )))) kkkk] ×××× [F2xxxx (((( x, y, z ) iiii++++ F2y(((( x, y, z )))) jjjj++++ F2zzzz(((( x, y, z )))) kkkk]= FFF FFF kji zyx zyx 222 111 例 7777、如图，一刚体可以绕转动轴 oooo旋转，有一力 FFFF作用于其边缘，且从转动 轴 oooo到 FFFF的位移为 rrrr，求力所产生的力矩 解：设用MMMM表示力矩，由定义得 M MM M ==== rrrr××××FFFF M MM M的方向为如图指向纸外，即四指由 rrrr方向转 向向 FFFF FFFF2 θθθθ FFFF1 图 17、向量的标积图示 F=FF=FF=FF=F1××××FFFF2 此方向为 FFFF1与 FFFF2向 量的叉积 方向，以 θ θθ θ 0 00 0 表示 θ θθ θ r r r r o F FF F ⊙ k 图 18、向量叉积示意图 4 时，大拇指的指向即为指向纸外，如图 15151515所示 M MM M的大小为 M = rFsinθ 所以 M MM M ==== rFsinθ kkkk 评注：在直角坐标系中，图 19191919所表述的圆弧的切向可以用叉积表示为 α αα α 0====kkkk×××× rrrr0= kkkk××××(cosαiiii++++sinα jjjj) = (cosαkkkk××××iiii++++sinαkkkk××××jjjj )= cosα j-j-j-j- siniiii （3.14） 四、标量场的梯度 1111、问题的提出：若考查空间某一区域各处的温度，以 TTTT（x,y,zx,y,zx,y,zx,y,z）或者以 TTTT（PPPP）表示域中某点 PPPP处的温度，那么我们就说，在域中构成了一个温 度场 TTTT。对于温度场而言，我们关心两个问题，第一、确定出域中处处的 温度；第二、对于域中某点 PPPP，我们关心在这点，温度变化在哪个方向上 最大？对于所提出的问题，最原始的方法是，用温度计进行逐点测量，能 够确定域中处处的温度；对于第二个问题，采取的方法是以PPPP点为球心， 以一小长度∆∆∆∆llll（设∆∆∆∆l=10l=10l=10l=10-1-1-1-1mmmm）为半径做一球面，测量出球面各点温度，假 设分别为： T（P） T（P1） T（P2） T（P3、） T（P4） T（P5） 10 0C 9.98 0C 9.96 0C 9.93 0C 10.05 0C 10. 070 图 19、以叉积表述的切向 Y 轴 rrrr O X 轴 Z 轴 切向αααα0 径向 rrrr0 k k k k方向 5 假设其中变化幅度最大值就在上述所列之中，那么温度变化∆∆∆∆TTTT i ii i ==== TTTT（PPPP i ii i ）−−−−TTTT （PPPP）分别为−−−−0.020.020.020.02 0000CCCC、−−−−0.0.0.0. 04040404 0000CCCC、−−−−0.070.070.070.07 0000CCCC 、+0.+0.+0.+0. 05050505 0000CCCC、+0.+0.+0.+0. 07070707 0000CCCC，则变化率 ∆∆∆∆TTTT i ii i ////∆∆∆∆llll 分别为−−−−0.0.0.0. 2222 0000C/mC/mC/mC/m、−−−−0.0.0.0. 4444 0000C/mC/mC/mC/m、−−−−0.0.0.0. 7777 0000C/mC/mC/mC/m、+0.+0.+0.+0. 5555 0000C/mC/mC/mC/m、+0.+0.+0.+0. 7777 0000C/mC/mC/mC/m。 由此，得出结论，温度沿 PPPP5555方向变化最大。由此，我们将引出梯度的概念。 2222、梯度：梯度是描述标量场的一个向量，对于某一标量场而言，在场中某点 的梯度，其大小为标量场在这点的最大 变化率，方向指向场量变化最快的方 向。例如在上述温度场中，PPPP点的梯度 大小为 0.0.0.0. 7777，方向为由 PPPP点指向 PPPP5555点。 3333、标量函数场的梯度公式。若某一标量场 的函数关系已经确定，为 V=V(x,y,z)， 那么如何确定标量场在域中任意点（假 设为 PPPP（xxxx0000,,,, yyyy0000,z,z,z,z0000））的梯度？ 在 PPPP（xxxx0000,,,, yyyy0000,z,z,z,z0000）点附近任意点 PPPP（x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz） 的标量场为VVVV(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)，则两点标量场值差可 由泰勒展开为： ∆∆∆∆V ====V(x,y,z) − V(x0,y0,z0)= ∂ V(x,y,z) ⁄ ∂x⏐ x= x0, y= y0, z= z0 × (x− x0) + ∂ V(x,y,z) ⁄ ∂y⏐ x= x0, y= y0, z= z0 × (y− y0) +∂ V(x,y,z) ⁄ ∂z⏐ x= x0, y= y0, z= z0 ×(z− z0) 为简明起见，分别以∆x 为 x− x0 、∆y 为 y− y0、∆z 为 z− z0则上式又可以写为 ∆∆∆∆V ==== ∂∂∂∂ V(x,y,z) ⁄ ∂x⏐ x= x0, y= y0, z= z0 ∆x + ∂ V(x,y,z) ⁄ ∂y⏐ x= x0, y= y0, z= z0 ∆y +∂ V(x,y,z) ⁄ ∂z⏐ x= x0, y= y0, z= z0 ∆z==== (((( ∂ V(x,y,z) ⁄ ∂x iiii ++++∂ V(x,y,z) ⁄ ∂y jjjj ++++ ∂V(x,y,z) ⁄ ∂z k kk k) ⏐⏐⏐⏐x= x0, y= y0, z= z0 ••••((((∆x iiii ++++∆y jjjj ++++∆z kkkk )))) 这里，∆llll ==== ∆x iiii ++++∆y jjjj ++++∆z kkkk为 P（x, y, z）与 P（x0, y0,z0）两点之间的位移， 定义一个算子‘∇∇∇∇’ ∇ ∇∇ ∇V(x,y,z) ==== ∂ V(x,y,z) ⁄⁄⁄⁄ ∂x iiii ++++∂ VVVV(x,y,z) ⁄⁄⁄⁄ ∂yyyy jjjj ++++ ∂VVVV(x,y,z) ⁄⁄⁄⁄ ∂zzzz kkkk （4.1） 以算子‘∇∇∇∇’对标量场V(x,y,z)的作用结果为一向量，该向量也是空间的函数， 对于空间给定的点来说，该向量是确定的。标量场V(x, y, z)在两点 P（x, y, z）、 P（x0, y0,z0）之间的变化量为 •P(x,y,z)• • • • • P3 P2 P1 P4 P5 图 20、梯度概念示意图 6 ∆V ==== ∇∇∇∇V((((x, y, z))))⏐x= x0, y= y0, z= z0 •••• ∆llll （4.2a） 上式表示标量场的在空间附近两点之间的变化等于以（4444.1.1.1.1）所表示的向量与 空间这两点之间位移∆llll的电积。以∆l 表示位移∆∆∆∆llll的大小，以 llll0 表示位移∆∆∆∆llll 的单位向量，将标量场的变化量与∆l 相除 ∆∆∆∆VVVV⁄⁄⁄⁄ ∆l====∇∇∇∇V(x,y,z)))) ⏐x= x0, y= y0, z= z0 • ∆∆∆∆llll 0000 ====∇∇∇∇VVVV(x,y,z))))⏐x= x0, y= y0, z= z0 ••••llll0000 （4.2b） 上式表示空间标量场 V(x,y,z))))沿某一方向对空间距离的变化率等于向量∇∇∇∇ VVVV(x,y,z)与该这一方向量的点积。 问题：空间方向有多种取向，那么空间一点标量场的变化率在哪个方向上变 化最大？ 为回答上述问题，我们考察（4.2b）式，只有当所取的方向 llll0000与标量场的算子 向量∇∇∇∇VVVV(x,y,z)一致时，两个向量的夹角为 0000，变化率达到最大值，可见就是 我们上述所定义的梯度 函数场梯度的定义：在标量场中，空间某点 PPPP（x,y,z）处的梯度为算子‘∇∇∇∇’ 对标量场作用的结果，即（4.1）式即为梯度向量的定义式 例 7777、已知一电位场VVVV的空间函数关系为VVVV(x,y,z)==== 1//// ( x2 + y 2 + z2 ) 1/ 2，求在 P（1,2,3）处的标量场梯度 解：以----EEEE表示梯度向量，则由定义有 ----EEEE ==== ∇∇∇∇V ==== ∂ V ⁄ ∂x iiii ++++∂ V ⁄ ∂y jjjj ++++V ⁄ ∂z kkkk ==== ----½ × 1/ ( x2 + y2 + z2 ) 3/ 2×（2 x iiii ++++ 2 yyyy jjjj ++++2 z kkkk） ==== ---- ((((x iiii ++++ y jjjj ++++ z k)k)k)k) //// (((( xxxx2222 ++++ yyyy2222 ++++ zzzz2222 )))) 3333//// 2222 即:::: EEEE ==== (x iiii ++++ y jjjj ++++ z kkkk )))) / ( x2 + y 2 + z2 ) 3/ 2 或 EEEE ==== rrrr //// rrrr 3333//// 2222 （4.3） 评论：1）在电磁场中上式为电场强度与电位关系的核心表达式；2） 分布看做是一族等位面构成，V=C1、C2 - - - - -，那么 E的方向就代表着电位 面下降最快的方向。推导过程如下： 在等位面上，任取一点 P(x,y,z)P(x,y,z)P(x,y,z)P(x,y,z)，在其附近任取一点做微量位移为∆llll，由于等 位，由（4.2a） 7 ∆V ==== ∇∇∇∇V((((x, y, z)))) •••• ∆llll=0 由于是在等位面任取的一有向线段，故上式 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 电位场的梯度垂直于电位等 位面，由于负号的关系，电场强度是指向电位下降的方向。3333）标量场对空间 某方向上的空间距离变化率，在一些教科书上通常写为如下更为简明的形式， 例如，电位场沿某一方向 nnnn0000的变化率,,,,通常表述为：∂ V⁄⁄⁄⁄ ∂n ,,,, ∂ V⁄ ∂n ====∇ VVVV(x, y, z) • nnnn0000=- EEEE • nnnn0000=----En En表示电场沿 nnnn0000方向的分量 五、向量场的散度与旋度 1111、通量概念的引入：如图 22 所示，假设 水流由上而下处处匀速（速度大小为 vvvv）流 入下面一个矩形盆，盆口面积为 ssss，则，在 tttt 时间内流入盆内的水量为 v×t×s = vts = vst 单位时间里流入盆内的水量，这里我们称 之为水通量为： Φ =VS 若盆口面斜放与水流方向夹角为θθθθ角如 图 18181818所示，在这种情况下，单位时间 盆所接的水比平放时要少，因为盆口的 进水量只与盆口的平面投影有关，夹角 θθθθ越小，进水量越大，夹角为零时，进 水量最大；夹角θθθθ越大，进水量越小， 当夹角为直角时，即盆口与水流方向垂 直时，那就一滴水也接不着。由于盆口 面积 SSSS的单位时投影面积为 S1=Scosθ 单位时间所接水的通量为 Φ =VScosθ ====VVVV••••SSSS （5.1） 上式中向量的方向为盆面的向下的法向 nnnn n n n n VVVV 图 21、通量演示示意图图 盆口面积 为 s n n n n VVVV 图 22、通量演示示意图图 这里的水 在盆外 夹角为θ n n n n 8 2222、通量的定义：对于一个向量场 VVVV(x,y,z)，通过空间某一曲面的通量为向量 场对该曲面的面积分，用公式可以表达为 ΦΦΦΦ ==== ∫∫∫∫ssss VVVV ((((x,y,zx,y,zx,y,zx,y,z)))) ••••dssss （5.5.5.5.2222） 上式中，表示在曲面 P（x,y,z）处的微分面元，至于微分面元的定义，可参考 图四的示意。 若曲面闭合，上式又称为闭合曲面的通量，表示为 Φ ====∮ssss FFFF(x,y,z) •dssss （5.5.5.5.3333） 在上式中，对于闭合曲面而言，曲面的法向一般是指向闭合曲面的外部。 闭合通量的理解：这里我们仍以水流场做形象说明，取空间任意一个闭合曲 面，通过积分可得通量，对于通量有三种情况如图 23232323所示，对于图 23232323（aaaa）， ΦΦΦΦ >0，说明此闭合曲面里面有‘水源’，谓之为‘泉’；对于图 23232323（bbbb ），ΦΦΦΦ ====0， 说明此闭合曲面里面无‘水源’，左边流进，右边流出，流进的通量与流出的 通量大小相同，方向相反（一负一正），相互抵消，故总量为零，谓之为‘恒 定水流场’ ；对于图 23232323（cccc ），ΦΦΦΦ <<<<0，说明此闭合曲面里面有‘水穴’，因为 水只流进，不流出。 3333、向量场的散度：通过求闭合曲面内的通量可以定量描述该闭合区域内的水 流情况，但这种刻画，我们还不能够确定出区域内哪一点是水源、哪一点是 水穴，要确定出区域内的一点有源与否，那就看这一点的“通量”，其定义为 ： 此处有水源 区域内无水源 此处有水穴 图 23（a） 图 23（b） 图 23（c） 9 （5.4） s s sdzyx s zyxFzyxFdiv ∫ → =∇= • • ���� ),,(F 0 Lim ),,(),,( 通过数学理论分析 zyxz zyx y zyx x zyx zyxzyxdiv z y x z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇= • FFF),,(F),,(F),,(F ),,(F),,(F �� （5.5） 其中，Fx(x,y,z)、Fy(x,y,z)以及 Fz(x,y,z)为向量场的三个轴向分量。注意通过对 于散度的理解，不难理解数学上应用广泛的高斯定理 （5.6） dxdydzzyxFdvzyxF s sdzyx vv ∫∫∫∫∫∫ ••• ∇=∇=∫ ),,(),,(),,(F ���� 4444、环量概念的引入：在空间某一路径上的任意点上（例如点 PPPP((((x,y,zx,y,zx,y,zx,y,z))))），向量 场 F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)与该点的线元的标积为该路径上向量场在该点的环量微量，用 ddddϕϕϕϕ表示，则 dϕ ==== FFFF(x,y,z) • ddddllll ==== Fx(x,y,z)dx+ Fy(x,y,z)dy+ Fz(x,y,z)dz 那么整个路径的环量可表示为 ϕϕϕϕ ==== ∫∫∫∫ Γ F FF F(x,y,z) • dllll = Fx(x,y,z)dx+ Fy(x,y,z)dy+ Fz(x,y,z)dz 若路径为闭合路径，则通量又成为闭合路径环量 ϕϕϕϕ ====∮ Γ F FF F(x,y,z) • ddddllll ==== Fx(x,y,z)dx+ Fy(x,y,z)dy+ Fz(x,y,z)dz （5.7） 环量的物理意义，某力场 FFFF(x,y,z)，其在某一路径的环量微元 F(x,F(x,F(x,F(x, y,y,y,y, z)z)z)z) •••• ddddllll就 表示力场在线元上移动所做的功。闭合环量积分能够从另外一个角度体现场 的拓扑特征。 10 对于图 24（a）所示的场结构，场是向四面扩散的，在进行闭合环量积分时， 环量微元 FFFF(x,y,z) ••••dllll有正有负，总量抵消，故环量为零；对于图 24（b）所示 的场结构，场的方向与闭合路径上线元方向大体上一致，即夹角处处均为锐 角，故总量不会抵消，闭合环量不为零。 上述结论也可以从场的几何形状上来看，图 24（a）对应的场“不打转”，故 称为无旋，图 20（b）对应的场呈“转状”，故称为有旋。 5555、向量场的旋度： 考察某一特定空间内某点上有无旋点，可以此点为心， 做一闭合曲线为积分路径，这一闭合曲线非常小，则该闭合曲线的环量与其 所包围面积之比，称为该点的旋度。用数学表示为： （5.5.5.5.8888） s ldzyxF zyxF s ∫ • → = τ ),,( ),,(rot lim 0 通过数学分析可以得到： 图 24、（ a） 图 24（b） 此路径下闭合环量不为零此路径下闭合环量为零 11 k y F x F j x F z F i z F y F zyx zyx x y zx y z FFF kji zyxFzyxF )()()( ),,(),,(rot ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =×∇= （5.5.5.5.9999） 注意：旋度的物理意义在于向量场在围绕此点周围的场线形状大体上是否成 旋状，若是，则场在此点有旋，否则，则无旋。例如，假设有一股旋风，若 考察旋风所在区域的各点风速，则构成了一个风速场，对此风速场处处求旋 度，则在旋风中心所在的点有旋度，即旋度不为零，其余各点均无旋度。 。注意通过对于旋度定义，不难理解数学上应用广泛的斯特克斯公式 （5.10）sdzyxFldzyx S ���� •• ∫∫ ×∇=∫ ),,(τ ),,(F