《正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性》
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教学目标经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质．教学重难点教学重点：正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性．教学难点：周期函数定义的理解．课前准备PPT课件．教学过程（一）整体感知引导语：根据研究函数的思路可知，通过定义得到函数的图象之后，接下来应该利用函数的图象研究其性质了．所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征．从前面的研究中，我们已经看到，三角函数具有“周而复始”的变化规律，这就是三角函数最重要的性质：周期性．（二）新知探究1．周期性问题1：什么叫周期函数？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是什么？图象特征是什么？预设的师生活动：阅读课本周期性的内容．预设答案：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数f(x)的周期；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期；周期函数的代数关系是f(x+T)=f(x)；周期函数的图象每隔一个周期就会重复出现．设计意图：了解一般周期函数及相关概念，为下面的研究作铺垫．追问：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？预设答案：明确了一个函数的周期，那么我们研究它的图象与性质时，就可以缩小研究范围，只要清楚一个周期内的图象与性质，整体定义内的情况就都清楚了，提高了研究的效率．设计意图：为前面研究三角函数的图象的方法提供一定的理论支持，又为后面的研究做好铺垫．问题2：观察单位圆上点的纵坐标这种“周而复始”的变化规律，猜想正弦函数的周期是多少？用代数方法如何解释你的猜想？预设的师生活动：学生回答，教师启发学生说全．预设答案：2kπ，其中k∈Z且k≠0，或±2π，±4π，……．利用诱导公式一，即sin(2kπ+x)=sinx可以解释猜想的正确性．追问1：我们知道，sin（+）=sin（），sin（+）=sin，sin（+）=sin，…，那么是正弦函数y=sinx的一个周期吗？为什么？从函数值变化的角度解释：为什么可以说2kπ（k∈Z）是正弦函数的周期？预设的师生活动：学生自己思考并回答．预设答案：不是．比如sin（+）≠sin．根据诱导公式可知，当x取正弦函数定义域内的每一个自变量的值时，自变量的值每增加2kπ（k∈Z）个单位，函数值都用重复出现．追问2：在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数？预设的师生活动：教师启发学生观察正弦函数图象获得猜想．预设答案：2π．对于任意的t∈（0，2π)，都可以找到一个x0，使得sin(x0+t)≠sinx0．因此正弦函数的最小正周期是2π．教师指出，在后续的学习中，如果不加特别说明，所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期．追问3：在此基础上，你能说出余弦函数的周期吗？预设的师生活动：学生观察余弦函数图象并回答结论．预设答案：2π．设计意图：直观理解正弦函数的周期性，了解最小正周期．2．奇偶性问题3：（1）如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？（2）知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？预设的师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题．预设答案：（1）由诱导公式sin(－x)=－sinx，cos(－x)=cosx，可知，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数；（2）知道一个函数的奇偶性，同样也可以缩小我们研究函数的范围，因为奇、偶函数的图象分别关于原点、y轴对称，所以只需要搞清楚函数在y轴右侧的图象与性质，那么，整个定义域内的图象与性质就都知道了，可以提高我们研究函数的效率．设计意图：引导学生阅读教科书，重视教科书，在直观感知的基础上系统、规范地认知函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性，为后续的研究做好铺垫．例1求下列函数的周期：（1）y＝3sinx，x∈R；（2）y＝cos2x，x∈R；（3）y＝2sin，QUOTE12x-π6x∈R．追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？解答完成之后思考，这些函数的周期与解析式中哪些量有关？预设的师生活动：对于这些问题，学生能够求出周期，但是不清楚如何规范地表达，这是本例的难点所在．教师要基于学生课堂上的生成，给出分析求解的思路和程序，并加以示范，帮助学生理解．预设答案：解：（1）∀x∈R，有3sin(x+2π)=3sinx，由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π．（2）令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y=cosz的周期为2π，即cos(z+2π)＝cosz，于是cos(2x+2π)＝cos2x，所以cos2(x+π)＝cos2x，x∈R．由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．（3）令z＝，由x∈R得z∈R，且y=2sinz的周期为2π，即2sin(z+2π)＝2sinz，于是2sin(+2π)＝2sin()，所以2sin[(x+4π)－]＝2sin()，x∈R．由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π．对于周期问题，求解的步骤如下：第一步，先用换元法转换：比如对于“（2）y＝cos2x，x∈R”，令2x＝t，所以y＝f(x)＝cos2x＝cost；第二步，利用已知的三角函数的周期找关系：由cos（2π+t）＝cost，代入可得：cos（2π+2x）＝cos2x；第三步，根据定义变形：变形可得：cos2（π+x）＝cos2x，于是就有f(x+π)＝f(x)；第四步，确定结论：根据定义可知其周期为π．周期与自变量的系数有关．仿照上述分析过程可得函数y＝Asin(ωx+φ)的周期为：T＝．一般地，如果函数y＝f(x)的周期是T，那么函数y＝f(ωx)的周期是．设计意图：通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具体步骤，进而帮助学生理解函数y＝Asin(ωx+φ)的周期，为后续学习做准备．（三）布置作业教科书习题．设计意图：考查学生求对函数周期性、奇偶性的方法的掌握．
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