应用数理统计—回归分析

应用数理统计—回归分析回归分析*回归分析现实世界中大多数现象表现为相关关系，人们通过大量观察，将现象之间的相关关系抽象概括为函数关系，并用函数形式或模型来描述与推断现象间的具体变动关系，用一个或一组变量的变化来估计与推算另一个变量的变化。这种分析方法称为回归分析。*一元线性回归一、一元正态线性回归模型设随机变量Y，对于x的每一个值，Y都有它的分布。Y的均值是x的函数，设E(Y)=(x)，(x)叫做Y关于x的回归。(x)可以通过样本进行估计。*一元线性回归模型对于x的一组值x1,x2,,xn作独立试验，对Y得出n个观察结果y1,y...

回归分析 *回归分析现实世界中大多数现象表现为相关关系，人们通过大量观察，将现象之间的相关关系抽象概括为函数关系，并用函数形式或模型来描述与推断现象间的具体变动关系，用一个或一组变量的变化来估计与推算另一个变量的变化。这种分析方法称为回归分析。*一元线性回归一、一元正态线性回归模型设随机变量Y，对于x的每一个值，Y都有它的分布。Y的均值是x的函数，设E(Y)=(x)，(x)叫做Y关于x的回归。(x)可以通过样本进行估计。*一元线性回归模型对于x的一组值x1,x2,,xn作独立试验，对Y得出n个观察结果y1,y2,,yn，得到容量为n的样本(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)。利用样本估计(x)。首先从散点图看出y与x的关系,从而推测出(x)的形式。若(x)为线性函数，设(x)=a+bx，估计(x)的问题称为一元线性回归问题。*一元线性回归模型假设对于x的某个区间内的每一个值有Y~N(a+bx,2)Y=a+bx+，~N(0,2)称为一元正态线性回归模型。*由样本到a、b的估计，对给定的x，取作为(x)=a+bx的估计，称为Y关于x的线性回归方程，其图形称为回归直线。一元线性回归模型*最小二乘估计二、最小二乘估计对样本(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)，有考虑a、b的函数*最小二乘估计用最小二乘法估计a、b，使分别取Q关于a、b的偏导数，并令其为0，有*最小二乘估计得正规方程组由于*最小二乘估计正规方程组为由于方程组系数行列式*最小二乘估计方程组有唯一解*最小二乘估计记则*最小二乘估计所求线性回归方程为由知所以对于一组样本观察值，回归直线通过散点图的几何中心*三、2的点估计对每一个xi，由回归方程有xi处的残差为，残差平方和可以证明则*2的点估计是2的无偏估计Qe的简单计算公式：**2的点估计由于，所以四、线性假设的显著性检验(T检验法)对线性假设y=a+bx+进行检验，线性系数b不应当为0原假设H0：b=0备择假设H1：b0*线性假设的显著性检验可以证明从而*线性假设的显著性检验在H0成立时，取统计量为给定显著性水平，H0的拒绝域为计算出|t|的值，查出*线性假设的显著性检验若，则拒绝H0；否则就接受H0。拒绝H0，意味着回归效果是显著的。在回归效果显著的情况下，对回归系数作区间估计，可得出b的置信度为1-的置信区间为*五、线性回归的方差分析(F检验法)*线性回归的方差分析回归平方和残差平方和Syy自由度为n-1，Qe自由度为n-2，S回自由度为1*线性回归的方差分析*线性回归的方差分析原假设H0：b=0，备择假设H1：b0选统计量*方差分析表方差来源平方和自由度均方F比回归S回1S回/1残差Qen-2Se/(n-1)总和Qyyn-1*线性回归的方差分析对检验水平，查表得F(1,n-2)，计算出F值。若F>F(1,n-2)，则拒绝H0，说明回归效果显著；若F2.306，即|t|值在H0的拒绝域内，故拒绝H0，说明回归效果是显著的。b的置信度为0.95(=0.05)的置信区间为*(4)已求出，所以已求出Syy=1932.1，Qe=7.4667.5Syy的自由度为9，Qe的自由度为8列方差分析表：方差来源平方和自由度均方F比回归1924.611924.62047.4残差7.580.94总和1932.19*对=0.01，查出F0.01(1,8)=11.26因为2047.3>>11.26，所以回归效果是非常显著的。六、利用回归方程进行预报（预测）回归问题中Y是随机变量，x是普通变量。回归方程是Y对x的依赖关系的一个估计。对给定的x值，用回归方程确定Y的值，叫预报。*利用回归方程进行预报1.点预报回归方程为，对任给x=x0，用作Y的预报值，记为，这就是点预报。*利用回归方程进行预报2.区间预报给定x=x0，Y的取值有一个置信度为1-的范围，即置信区间，称为预报区间。设在x=x0点对随机变量Y的观察结果为y0。*利用回归方程进行预报在x=x0点，的预报值为可以证明**利用回归方程进行预报对于给定的置信度1-，有其中由此得出y0的置信度为(1-)的预报区间为*对任意的x，回归直线y的下限：y的上限：*当样本容量n较大时，若取x0在x附近，则y0的置信度为1-的预报区间为*七、控制问题要求 y以置信度1-在内取值，x控制在内，使其中的x所对应的观察值y满足*控制问题*对给出的，以置信度1-,有由此解出x即为x1由此解出x即为x2当样本容量n较大时，若取x0在x附近，则这时*解出对*八、全相关系数RR2反映了原始数据yi(I=1,2,,n)与其拟合值之间的相关系数的平方。当回归效果特别好时，R应接近1，表示yi与几乎重合。当回归效果特别不好时，R应接近于0，表示yi与完全不相关。R是回归效果的一个很好的度量。

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