模糊数学教学课件

模糊数学绪论用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律性靠经典数学去刻画；2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”，…等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。共同特点：模糊概念的外延不清楚。模糊概念导致模糊现象模糊数学——研究和揭示模糊现象的定量处理方法。模糊数学绪论 产生1965年，L.A.Zadeh（扎德）发表了文章《模糊集》(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353) 基本思想用属于程度代替属于或不属于。某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于秃子的程度为0.3等.模糊数学绪论模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐模糊数学绪论模糊数学绪论 课堂主要内容一、基本概念二、主要应用1.模糊聚类分析——对所研究的事物按一定 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 进行分类模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。2.模糊模式识别——已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪一类模型。模糊数学绪论例如：苹果分级问题苹果，有{I级，II级，III级，IV级}四个等级。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。3.模糊综合评判——从某一事物的多个方面进行综合 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 模糊数学绪论例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价从{清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰}四方面给出{很好，较好，一般，不好}四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。4.模糊线性规划——将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解模糊数学一、经典集合与特征函数论域U中的每个对象u称为U的元素。模糊集合及其运算.uAA.u模糊集合及其运算其中函数称为集合A的特征函数。模糊集合及其运算非此及彼模糊集合及其运算亦此亦彼UA模糊集合,元素x若x位于A的内部，则用1来 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 ，若x位于A的外部，则用0来记录，若x一部分位于A的内部，一部分位于A的外部，则用x位于A内部的长度来表示x对于A的隶属程度。{0,1}[0,1]特征函数隶属函数二、模糊子集模糊集合及其运算越接近于0,表示x隶属于A的程度越小；越接近于1,表示x隶属于A的程度越大；＝0.5,最具有模糊性，过渡点模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：可省略模糊集合及其运算模糊集合及其运算例1.有100名消费者，对5种商品评价，结果为：81人认为x1质量好，53人认为x2质量好，所有人认为x3质量好，没有人认为x4质量好，24人认为x5质量好则模糊集A（质量好）例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集，u=20∉A，40呢？…札德给出了“年老”集函数刻画:10U50100再如，Y=“年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：102550U则模糊集O（年老）则模糊集Y（年轻）2、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义模糊集合及其运算例3.模糊集合及其运算则：0.30.910.80.60.20.10.80.30.5模糊集合及其运算并交余计算的性质1.幂等律2.交换律3.结合律4.吸收律模糊集合及其运算6.0-1律7.还原律8.对偶律5.分配律三、隶属函数的确定1、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：模糊集合及其运算特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。模糊统计试验过程：模糊集合及其运算模糊集合及其运算对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间， 18-25 17-30 17-28 18-25 16-35 14-25 18-30 18-35 18-35 16-25 15-30 18-35 17-30 18-25 18-35 ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ 15-30 18-30 17-25 18-29 18-28对年龄27作出如下的统计处理：A(27)=0.78 n 10 20 30 40 50 60 70 隶属次数 6 14 23 31 39 47 53 隶属频率 0.60 0.70 0.77 0.78 0.78 0.78 0.76 n 80 90 100 110 120 129 隶属次数 62 68 76 85 95 101 隶属频率 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78 2、指派方法模糊集合及其运算一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。中间型模糊集合及其运算可以选取柯西分布中间类型的隶属函数先确定一个简单的，比如此时有不太合理，故改变α模糊集合及其运算取此时有有所改善。3、其它方法模糊集合及其运算模糊集合及其运算四、模糊矩阵例如：（1）模糊矩阵间的关系及运算模糊集合及其运算模糊集合及其运算（2）模糊矩阵的合成定义：设称模糊矩阵为A与B的合成，其中。模糊集合及其运算即：定义：设A为阶，则模糊方阵的幂定义为例5：模糊集合及其运算（3）模糊矩阵的转置模糊集合及其运算性质：显然，截矩阵为Boole矩阵。模糊集合及其运算模糊集合及其运算><若要求至少应达到0.5水平，则有夏、商、西周、春秋、战国若要求至少应达到0.7水平，则有夏、商、西周、春秋-截集截矩阵的性质：性质1.性质2.性质3.性质4.模糊集合及其运算><下面证明性质1：A≤BA≤B证：A≤Baij≤bij；当≤aij≤bij时，aij()=bij()=1；当aij＜≤bij时，aij()=0,bij()=1；当aij≤bij＜时，aij()=bij()=0；综上所述aij()≤bij()，故A≤B.证明性质3设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij()=1cij≥∨(aik∧bkj)≥k,(aik∧bkj)≥k,aik≥,bkj≥k,aik()=bkj()=1∨(aik()∧bkj())=1cij()=0cij＜∨(aik∧bkj)＜k,(aik∧bkj)＜k,aik＜或bkj＜k,aik()=0或bkj()=0∨(aik()∧bkj())=0所以,cij()=∨(aik()∧bkj()).(A°B)=A°B.><（5）特殊的模糊矩阵定义：若模糊方阵满足则称A为自反矩阵。例如是模糊自反矩阵。定义：若模糊方阵满足则称A为对称矩阵。例如是模糊对称矩阵。模糊集合及其运算模糊集合及其运算定义：若模糊方阵满足则称A为模糊传递矩阵。例如是模糊传递矩阵。模糊集合及其运算定义：若模糊方阵Q，S，A满足则称S为A的传递闭包，记为t(A)。模糊聚类分析一、基本概念及定理定义：设是阶模糊方阵，是阶单位方阵，若满足（1）自反性：（2）对称性：（3）传递性：则称为模糊等价矩阵。_1214332402.unknown_1214332740.unknown_1214333469.unknown_1348757320.unknown_1214333156.unknown_1214332479.unknown_1214332373.unknown_1214332393.unknown_1214332335.unknown模糊聚类分析定理：R是n阶模糊等价矩阵是等价的Boole矩阵。模糊聚类分析定理：设是阶模糊等价矩阵，则EMBEDEquation.3所决定的分类中的每一个类是所决定的分类中的某个子类。_1214333000.unknown_1214333080.unknown_1214333106.unknown_1214333040.unknown_1214332992.unknown该定理表明，当时，的分类是分类的加细，当由1变到0时，的分类由细变粗，形成一个动态的聚类图。_1214333282.unknown_1214333283.unknown_1214333337.unknown_1214333281.unknown例6：设　　　　　　　　　　对于模糊等价矩阵模糊聚类分析当时，分类为_1214334309.unknown_1214334328.unknown当时，分类为_1214334579.unknown_1214334607.unknown当时，分类为_1214334660.unknown_1214334668.unknown当时，分类为_1214334705.unknown_1214334717.unknown当时，分类为_1214334758.unknown_1214334766.unknown模糊聚类分析画出动态聚类图如下：0.80.60.50.41模糊聚类分析定义：设是阶模糊方阵，是阶单位方阵，若满足（1）自反性：；（2）对称性：；则称为模糊相似矩阵。_1214334881.unknown_1214335068.unknown_1214335081.unknown_1214335111.unknown_1214334905.unknown_1214334860.unknown_1214334873.unknown_1214334819.unknown定理：设是阶模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数，使得为模糊等价矩阵，且对一切大于的自然数，恒有_1214335399.unknown_1214335505.unknown_1214335613.unknown_1214335634.unknown_1214335592.unknown_1214335440.unknown_1214335379.unknown称为的传递闭包矩阵，记为_1214335821.unknown_1214335858.unknown_1214335795.unknown例7：设有模糊相似矩阵模糊聚类分析二、模糊聚类的一般步骤１、建立数据矩阵模糊聚类分析设论域为被分类对象，每个对象又由个指标表示其性状：则得到原始数据矩阵为_1214336492.unknown_1214336522.unknown_1214336866.unknown_1214336393.unknown在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较，需要将数据规格化，常用的方法有：（1）标准差标准化模糊聚类分析对于第个变量进行标准化，就是将换成，即式中：_1214337110.unknown_1348639085.unknown_1349089062.unknown_1214337170.unknown_1214337088.unknown模糊聚类分析２、建立模糊相似矩阵（标定）（1）相似系数法模糊聚类分析建立与相似程度的方法主要有：_1214374382.unknown_1214374396.unknown_1214374371.unknown（2）距离法模糊聚类分析一般地，取，其中为适当选取的参数，它使得采用的距离有：_1214374903.unknown_1214374949.unknown_1214374843.unknown（3）贴近度法模糊聚类分析3、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法步骤：模糊聚类分析1求出模糊相似矩阵的传递闭包；2按由大到小进行聚类；3画出动态聚类图。_1214376092.unknown_1214376318.unknown_1214376068.unknown模糊聚类分析例：考虑某环保部门对该地区5个环境区域按污染情况进行分类。设每个区域包含空气、水分、土壤、作物4个要素，环境区域的污染情况由污染物在4个要素中的含量超过的程度来衡量。设这5个环境区域的污染数据为：试对X进行分类。_1214377392.unknown_1214377657.unknown解：由题设知特性指标矩阵为采用最大值规格化法将数据规格化为模糊聚类分析用最大最小法构造模糊相似矩阵得到模糊聚类分析用平方法合成传递闭包模糊聚类分析将中的元素从大到小编排如下：1>0.70>0.63>0.62>0.53_1214378866.unknown被分成5类：_1214379100.unknown_1214379128.unknown取，得模糊聚类分析被分成4类：_1214379100.unknown_1214379388.unknown被分成3类：_1214379100.unknown_1214379542.unknown模糊聚类分析被分成2类：_1214379100.unknown_1214379563.unknown被分成1类：_1214379100.unknown_1214379657.unknown画出动态聚类图如下：模糊聚类分析><(2)最大树法由我国吴望名教授提出,设R是有限论域X上的模糊关系,称二元有序组G=(X,R)为模糊关系图.给定X上的模糊关系R后,可根据Kruskal法得到图G=(X,R)的一棵最大树,具体做法如下:><先画出被分类的元素集.从R中按rij从大到小的顺序依次连枝,标上权重.若在某一步会出现回路,便不画那一步.直到所有元素连通为止,这样便得到一棵最大树.取定[0,1]，砍断权重低于的枝,就可得到一个不连通的图,各连通分支就构成了在水平上的分类.这种模糊聚类方法叫做最大树法.><><(3)编网法由我国赵汝怀教授提出,它是直接由模糊相似矩阵R出发，经过“编网”直接完成聚类的。具体做法是：取定水平[0，1]，求得截矩阵R，并将R的主对角线上填入元素，在主对角线的下三角部分，以“*”号代替R中的“1”，而“0”则略去。由“*”号向主对角线上引经线（竖线）和纬线（横线），即称之为“编网”，凡能由经线和纬线互相连结的元素则属于同类。(上例)模糊聚类分析的简要流程:4、最佳阈值的确定模糊聚类分析（1）按实际需要，调整λ的值，或者是专家给值。（2）用F-统计量确定最佳λ值。针对原始矩阵X，得到其中，设对应于λ的分类数为r,第j类的样本数为nj,第j类的样本记为：则第j类的聚类中心为向量：作F-统计量模糊聚类分析模糊聚类分析若是则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著若满足不等式的F值不止一个，则可进一步考察其中模糊模式识别模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。模糊模式识别在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题——点对集；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题——集对集。模糊模式识别例1.苹果的分级问题设论域X={若干苹果}。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为={Ⅰ级，Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级}，显然，模型Ⅰ级，Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级是模糊的。当果农拿到一个苹果x0后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。模糊模式识别例2.医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。设论域X={各种疾病的症候}(称为症候群空间)。各种疾病都有典型的症状，由长期临床积累的 经验 班主任工作经验交流宣传工作经验交流材料优秀班主任经验交流小学课改经验典型材料房地产总经理管理经验 可得标准模型库={心脏病，胃溃疡，感冒，…}，显然，这些模型(疾病)都是模糊的。病人向医生诉说症状(也是模糊的)，由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程，也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。模糊模式识别点对集——1.问题的数学模型(1)第一类模型：设在论域X上有若干模糊集：A1，A2，…，AnF(X)，将这些模糊集视为n个标准模式，x0X是待识别的对象，问x0应属于哪个标准模式Ai(i=1，2，…，n)?(2)第二类模型：设AF(X)为标准模式，x1,x2,…,xnX为n个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个xi(i=1，2，…，n)?模糊模式识别一最大隶属原则最大隶属原则Ⅰ：最大隶属原则Ⅱ：模糊模式识别设为给定的论域U上的m个模糊模式，为一个待识别对象，若，则认为优先归属于模糊模式。_1214505010.unknown_1214505128.unknown_1214505147.unknown_1214505052.unknown_1214504888.unknown设A为给定论域U上的一个模糊模式，为U中的个待识别对象，若，则认为优先归属于模糊模式A。_1214504094.unknown_1214504278.unknown_1214504388.unknown_1214504067.unknown模糊模式识别例：已知年轻人的模糊集隶属函数为老年人的模糊集的隶属函数为现有某人55岁，问他相对来讲是老年还是年轻？_1214505507.unknown_1214505516.unknown例:选择优秀考生。设考试的科目有六门x1：政治x2：语文x3：数学x4：理、化x5：史、地x6：外语考生为y1，y2，…，yn，组成问题的论域Y={y1,y2,…,yn}。设A=“优秀”，是Y上的模糊集，A(yi)是第i个学生隶属于优秀的程度。给定A(yi)的计算方法如下：模糊模式识别式中i=1,2,…,n是考生的编号，j=1,2,…,6是考试科目的编号，j是第j个考试科目的权重系数。按照最大隶属度原则Ⅱ，就可根据计算出的各考生隶属于“优秀”的程度（隶属度）来排序。例如若令1=2=3=1，4=5=0.8，6=0.7,有四个考生y1,y2,y3,y4，其考试成绩分别如表3.4模糊模式识别表3.4考生成绩表模糊模式识别 yi x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1y2y3y4 71856392 63826889 82639561 90849463 85916287 70827081则可以计算出 于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为： y2,y4,y1,y3.模糊模式识别例:在论域X=[0,100]分数上建立三个表示学习成绩的模糊集A=“优”,B=“良”,C=“差”.当一位同学的成绩为88分时,这个成绩是属于哪一类？A(88)=0.8B(88)=0.7A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.根据最大隶属原则Ⅰ,88分这个成绩应隶属于A,即为“优”.例:论域X={x1(71),x2(74),x3(78)}表示三个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？C(71)=0.9,C(74)=0.6,C(78)=0.2,根据最大隶属原则Ⅱ，x1(71)最差.例:细胞染色体形状的模糊识别细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体.即X={(A,B,C)|A+B+C=180,A≥B≥C}标准模型库={E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三形),T(任意三角形)}.某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一种三角形？先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列约束条件：(1)当A=90时,R(A,B,C)=1;(2)当A=180时,R(A,B,C)=0;(3)0≤R(A,B,C)≤1.因此，不妨定义R(A,B,C)=1-|A-90|/90.则R(x0)=0.955.正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足下列约束条件：(1)当A=B=C=60时,E(A,B,C)=1;(2)当A=180,B=C=0时,E(A,B,C)=0;(3)0≤E(A,B,C)≤1.因此，不妨定义E(A,B,C)=1–(A–C)/180.则E(x0)=0.677.等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约束条件：(1)当A=B或者B=C时,I(A,B,C)=1;(2)当A=120,B=60,C=0时,I(A,B,C)=0;(3)0≤I(A,B,C)≤1.因此，不妨定义I(A,B,C)=1–[(A–B)∧(B–C)]/60.则I(x0)=0.766.等腰直角三角形的隶属函数(I∩R)(A,B,C)=I(A,B,C)∧R(A,B,C);(I∩R)(x0)=0.766∧0.955=0.766.任意三角形的隶属函数T(A,B,C)=Ic∩Rc∩Ec=(I∪R∪E)c.T(x0)=(0.766∨0.955∨0.677)c=(0.955)c=0.045.通过以上计算,R(x0)=0.955最大,所以x0应隶属于直角三角形.阈值原则：模糊模式识别有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：模糊模式识别设为给定论域U上的m个模糊模式，规定一个阈值为一个待识别对象。（1）如果则作“拒绝识别”的判决，这时应查找原因，再作分析。（2）如果并且有k个模糊模式大于或等于，则认为识别可行，并将划归于_1214507707.unknown_1214507815.unknown_1214507835.unknown_1214507848.unknown_1214507779.unknown_1214507480.unknown_1214507620.unknown_1214507436.unknown例如已知“青年人”模糊集Y，其隶属度规定为对于x1=27岁及x2=30岁的人来说，若取阈值模糊模式识别1=0.7，模糊模式识别故认为27岁和30岁的人都属于“青年人”范畴。则因Y(27)=0.862>1，而Y(30)=0.5<1，故认为27岁的人尚属于“青年人”，而30岁人的则不属于“青年人”。若取阈值2=0.5，则因Y(27)=0.862>2,而Y(30)=0.5=2，模糊模式识别集对集—— A1 A2 A3 A4 A5 B 条索 0.5 0.3 0.2 0 0 0.4 色泽 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2 净度 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 汤色 0.6 0.1 0.1 0.1 0.1 0.4 香气 0.5 0.2 0.1 0.1 0.1 0.5 滋味 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象不是论域X中的元素x，而是模糊集A，已知的模糊集是A1,A2,…,An，那么问A属于哪个Ai(i=1,2,…,n)？就是另一类模糊模式识别问题—集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的距离或贴近度。1.距离判别分析定义设A、BF(X)。称如下定义的dP(A,B)为A与B的Minkowski(闵可夫斯基)距离(P≥1)：ⅰ)当X={x1,x2,…,xn}时， ⅱ)当X=[a,b]时，模糊模式识别特别地，p=1时，称d1(A,B)为A与B的Hamming(海明)距离。p=2时，称d2(A,B)为A与B的Euclid(欧几里德)距离。有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在[0,1]中，因此定义模糊集的相对距离dp’(A,B)，相应有(1)相对Minkowski距离模糊模式识别(2)相对Hamming距离模糊模式识别(3)相对Euclid距离模糊模式识别有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重W(x)≥0，此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足下述条件：当X={x1，x2，…，xn}时，有当X=[a,b]时，有加权Minkowski距离定义为模糊模式识别加权Hamming距离定义为加权Euclid距离定义为模糊模式识别例欲将在A地生长良好的某农作物移植到B地或C地，问B、C两地哪里最适宜？气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而A、B、C三地的情况可以表示为论域X={x1(气温)，x2(湿度)，x3(土壤)}上的模糊集，经测定，得三个模糊集为模糊模式识别由于dw1(A,B)<dw1(A,C)，说明A，B环境比较相似，该农作物宜于移植B地。模糊模式识别设权重系数为W=(0.5,0.23,0.27)。计算A与B及A与C的加权Hamming距离，得2、贴近度模糊模式识别按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。定义设A，BF(U)，称为A与B的内积，称为A与B的外积。比较，可以看出A∘B与a·b十分相似，只要把经典数学中的内积运算的加“+”与乘“•”换成取大“”与取小“”运算，就得到A∘B。模糊模式识别若X={x1,x2,…xn}，记A(xi)=ai，B(xi)=bi，则与经典数学中的向量a={a1,a2,…an}与向量b={b1,b2,…bn}的内积例设X={x1,x2,x3,x4,x5,x6},则模糊模式识别例设A，BF(R)，A、B均为正态型模糊集，其隶属函数如图3.33模糊模式识别由定义知A∘B应为max(A∩B)，隶属度曲线CDE部分的峰值，即曲线A(x)与B(x)的交点x*处的纵坐标。为求x*，令解得于是类似地，由于故A⊙B=0。模糊模式识别模糊模式识别或σL(A，B)=(A∘B)(A⊙B)C（1）格贴近度⊙B)]，_1214508523.unknown故B比A更贴近于Ｃ.模糊模式识别例：设论域上的三个模式为EMBEDEquation.3判别A和B中哪个与C最贴近。_1215027254.unknown_1215027255.unknown_1215026936.unknown模糊模式识别（2）最小最大贴近度（3）最小平均贴近度_1214509180.unknown_1214509330.unknown模糊模式识别（4）海明贴近度（5）欧几里得贴近度_1214509467.unknown_1214509648.unknown二、择近原则I模糊模式识别设为论域U上的n个模糊模式，B为U上的一个待识别对象，若，则认为B应归属于模式。_1214509931.unknown_1214510016.unknown_1214509803.unknown模糊模式识别 A1 A2 A3 A4 A5 B 条索 0.5 0.3 0.2 0 0 0.4 色泽 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2 净度 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 汤色 0.6 0.1 0.1 0.1 0.1 0.4 香气 0.5 0.2 0.1 0.1 0.1 0.5 滋味 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3模糊模式识别计算得故茶叶B为A1型茶叶。蠓的分类下图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼长数据,其中“●”表示Apf,“○”表示Af.根据触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf是重要的.给定一只Af族或Apf族的蠓,如何正确地区分它属于哪一族？将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)三个标本.先将已知蠓重新进行分类当=0.919时,分为3类{1,2,3,6,4,5,7,8},{9},{10,11,12,13,14,15},三类的中心向量分别为(1.395,1.770),(1.560,2.080),(1.227,1.927).A1=(0.200,0.637)(Af蠓),A2=(0.390,1.000)(Af蠓),A3=(0.000,0.821)(Apf蠓),再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为B1=(0.015,0.672),B2=(0.062,0.719),B3=(0.203,0.953).采用贴近度计算得： 3(A1,B1)=0.89,3(A2,B1)=0.65,3(A3,B1)=0.92. 3(A1,B2)=0.89,3(A2,B2)=0.69,3(A3,B2)=0.92. 3(A1,B3)=0.84,3(A2,B3)=0.88,3(A3,B3)=0.83. 根据择近原则及上述计算结果,第一只待识别的蠓(1.24,1.80)属于第三类,即Apf蠓；第二只待识别的蠓(1.28,1.84)属于第三类,即Apf蠓；第三只待识别的蠓(1.40,2.04)属于第二类,即Af蠓.择近原则IIAi∈F(U),(i=1,2,…n)Ai=(Ai1,Ai2,…Aim)B=(B1,B2,…,Bm)Si=min{D(B1,Ai1),D(B2,Ai2),…D(Bm,Aim)}Si0=max{S1,S2,…Sn}B应归为第i0类。模糊决策 模糊集中意见决策 模糊二元对比决策 模糊综合评判决策模糊集中意见决策为了对论域U={u1,u2,…,un}中的元素进行排序,由m个专家组成专家小组M,分别对U中的元素排序,得到m种意见：V={v1,v2,…,vm},其中vi是第i种意见序列,即U中的元素的某一个排序.若uj在第i种意见vi中排第k位,则令Bi(uj)=n–k,称为uj的Borda数.此时论域U的所有元素可按Borda数的大小排序,此排序就是比较合理的.例:设U={a,b,c,d,e,f},|M|=m=4人,v1:a,c,d,b,e,fv2:e,b,c,a,f,dv3:a,b,c,e,d,fv4:c,a,b,d,e,fB(a)=5+2+5+4=16;B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15;B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9;B(f)=0+1+0+0=1;按Borda数集中后的排序为：a,c,b,d,e,f.例设有6名运动员U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}参加五项全能比赛,已知他们每项比赛的成绩下：200m跑u1,u2,u4,u3,u6,u5；1500m跑u2,u3,u6,u5,u4,u1；跳远u1,u2,u4,u3,u5,u6；掷铁饼u1,u2,u3,u4,u6,u5；掷标枪u1,u2,u4,u5,u6,u3； B(u1)=5+0+5+5+5=20;B(u2)=4+5+4+4+4=21; B(u3)=2+4+2+3+0=11;B(u4)=3+1+3+2+3=12; B(u5)=0+2+1+0+2=5;B(u6)=1+3+0+1+1=6; 按Borda数集中后的排序为：u2,u1,u4,u3,u6,u5 若uj在第i种意见vi中排第k位，设第k位的权重为ak，则令Bi(uj)=ak(n–k)，称为uj的加权Borda数。B(u1)=7,B(u2)=5.75,B(u3)=1.98,B(u4)=1.91,B(u5)=0.51,B(u6)=0.75.按加权Borda数集中后的排序为：u1,u2,u3,u4,u6,u5模糊二元对比决策择优比较决策法：例：假设要求有1000人在X={红，橙，黄，绿，蓝}五种颜色中选优。在颜色论域上定义一个称作“最佳颜色”的模糊集。下表就是一个评价调查表。优先决策法设论域X={x1,x2,…,xn}为n个被选 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ,在n个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进行比较,再将这种比较模糊化.然后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.在xi与xj作对比时,用rij表示xi比xj的优先程度,并且要求ri满足①rii=1(便于计算)；②0≤rij≤1；③当i≠j时,rij+rji=1.这样的rij组成的矩阵R=(rij)n×n称为模糊优先矩阵,由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.优先决策法步骤⑴建立模糊优先关系先两两进行比较，建立模糊优先矩阵R=(rij)n×n.⑵排序方法：①隶属函数法：直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.通常采用方法： 取小法：A(xi)=∧{rij|1≤j≤n},i=1,2,…,n; 平均法：A(xi)=(ri1+ri2+…+rin)/n,i=1,2,…,n.②-截矩阵法即取定阈值,确定优先对象.取定阈值∈[0,1]得-截矩阵R=(rij())n×n,当由1逐渐下降时,若R中首次出现第k行的元素全等于1时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序.③下确界法先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,再以此类推.模糊综合评判一级模糊综合评判设与被评价事物相关的因素有个，记作称之为因素集。又设所有可能出现的评语有个，记作称之为评语集。由于各种因素所处地们不同，作用也不一样，考虑用权重来衡量。_1214550672.unknown_1214550737.unknown_1214550815.unknown_1214550719.unknown_1214550665.unknown模糊综合评判步骤：（1）确定因素集（2）确定评判集（3）进行单因素评判得到（4）构造综合评判矩阵：（5）综合评判：对于权重计算，并根据隶属度最大原则作出评判。_1214567569.unknown_1214567897.unknown_1214569095.unknown_1214569182.unknown_1214567859.unknown_1214567535.unknown模糊综合评判例：考虑一个服装的评判问题。（1）建立因素集其中花色；式样；耐穿程度；价格。（2）建立评判集，其中很欢迎；较欢迎；不太欢迎；不欢迎。_1214572328.unknown_1214572382.unknown_1214572459.unknown_1214572473.unknown_1214572491.unknown_1214572442.unknown_1214572349.unknown_1214572292.unknown_1214572313.unknown_1214572282.unknown（3）进行单因素评判得到：_1214572734.unknown_1214572773.unknown_1214572795.unknown_1214572627.unknown模糊综合评判（4）由单因素评判构造综合评判矩阵_1214572851.unknown（5）综合评判设有两类顾客，他们根据自己的喜好对各因素所分配的权重分别为_1214573364.unknown模糊综合评判用模型计算综合评判为按最大隶属原则，第一类顾客对此服装不太欢迎，而第二类顾客对此服装比较欢迎。_1214573129.unknown_1214573426.unknown对于类似于的情形，在下结论前通常将其归一化为_1214573553.unknown_1214573637.unknown模糊综合评判模型Ⅰ－主因素决定型_1214568860.unknown_1214568995.unknown其评判结果只取决于在总评价中起主要作用的那个因素，其余因素均不影响评判结果，此模型比较适用于单项评判最优就能作为综合评判最优的情况。例如有单因素评判矩阵则B＝(0.18,0.18,0.18,0.18)模糊综合评判模型Ⅱ－主因素突出型_1214569445.unknown_1214569466.unknown它与模型相近，但比模型精细些，不仅突出了主要因素，也兼顾了其他因素。此模型适用于模型失效（不可区别），需要“加细”的情况。_1214569570.unknown_1214569594.unknown模型Ⅲ－加权平均型_1214570926.unknown_1214570941.unknown该模型依权重的大小对所有因素均衡兼顾，比较适用于要求总和最大的情形。模糊综合评判模型Ⅳ－取小上界和型_1214571223.unknown_1214571380.unknown在使用此模型时，需要注意的是：各个不能取得偏大，否则可能出现均等于1的情形；各个也不能取得太小，否则可能出现均等于各个之和的情形，这将使单因素评判的有关信息丢失。_1214571547.unknown_1214571611.unknown_1214571650.unknown_1214571581.unknown_1214571523.unknown模糊综合评判该模型适用于R中元素偏大或偏小的情形。_1214571959.unknown例：“晋升”的数学模型.以高校老师晋升教授为例：因素集U={政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平},评判集V={好,较好,一般,较差,差}. 因素好较好一般较差差 政治表现及工作态度42100 教学水平61000 科研水平00511 外语水平22111给定以教学为主的权重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分别用M(∧,∨)、M(·,＋)模型所作评判下：M(∧,∨)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)归一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)M(·,＋)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04)模糊综合结论 最后通过对模糊评判向量B的分析作出综合结论．一般可以采用以下三种方法： (1)最大隶属原则 (2)加权平均原则评价等级集合为={很好，好，一般，差}，各等级赋值分别为{4，3，2，1} 例：某地对区级医院2001~2002年医疗质量进行总体评价与比较，按分层抽样方法抽取两年内某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例．患者年龄构成与病情两年间差别没有统计学意义，观察三项指标分别为疗效、住院日、费用．规定很好、好、一般、差的标准见表1，病人医疗质量各等级频数分布见表2．表1现综合考虑疗效、住院日、费用三项指标对该医院2001与2002两年的工作进行模糊综合评价 1)．据评价目的确定评价因素集合 评价因素集合为={疗效，住院日，费用}． 2)．给出评价等级集合 如评价等级集合为={很好，好，一般，差}． 3)．确定各评价因素的权重 设疗效，住院日，费用各因素权重依次为0.5，0.2，0.3，即 4)．2001年与2002年两个评价矩阵分别为 5)．综合评价实例：某平原产粮区进行耕作制度改革，制定了甲(三种三收)乙(两茬平作),丙(两年三熟)3种方案,主要评价指标有：粮食亩产量，农产品质量，每亩用工量，每亩纯收入和对生态平衡影响程度共5项，根据当地实际情况，这5个因素的权重分别为0.2,0.1,0.15,0.3,0.25,其评价等级如下表 分数 亩产量/kg 产品质量/级 亩用工量/工日 亩纯收入/元 生态平衡影响程度/级 5 550-600 1 20以下 130以上 1 4 500-550 2 20-30 110-130 2 3 450-500 3 30-40 90-110 3 2 400-450 4 40-50 70-90 4 1 350-400 5 50-60 50-70 5 0 350以下 6 60以上 50以下 6经过典型调查，并应用各种参数进行谋算预测，发现3种方案的5项指标可达到下表中的数字，问究竟应该选择哪种方案。过程：因素集权重A＝（0.2,0.1,0.15,0.3,0.25）评判集 方案 甲 乙 丙 亩产量/kg 592.5 529 412 产品质量/级 3 2 1 亩用工量/工日 55 38 32 亩纯收入/元 72 105 85 生态平衡影响程度/级 5 3 2建立单因素评判矩阵：因素与方案之间的关系可以通过建立隶属函数，用模糊关系矩阵来表示。多级模糊综合评判（以二级为例）问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面模糊综合评判二级模糊综合评判的步骤：模糊综合评判（1）将因素集划分成若干组得到，其中称为第一级因素集。（2）设评判集先对第二级因素集的个因素进行单因素评判，得单因素评判矩阵_1214591954.unknown_1214592220.unknown_1214592318.unknown_1214592509.unknown_1214592117.unknown_1214591947.unknown模糊综合评判设的权重为求得综合评判为_1214592681.unknown_1214592771.unknown_1214592859.unknown_1214592482.unknown模糊综合评判（3）再对第一级因素集作综合评判，设其权重为，则总评判矩阵为从而得综合评判为按最大隶属度原则即得相应评语。_1214593071.unknown_1214593164.unknown_1214593208.unknown_1214592996.unknown模糊综合评判例：某企业生产一种产品，它的质量由9个指标确定，产品的级别分为一级、二级、等外、废品。由于因素较多，宜采用二级模型。（1）将因素集分为3组：（2）设评判集，一级；二级；等外；废品。_1214594259.unknown_1214594348.unknown_1214594361.unknown_1214594378.unknown_1214594343.unknown_1214594151.unknown_1214594193.unknown_1214593472.unknown模糊综合评判（3）对每个中的因素进行单因素评判，有取权重为，单因素评判矩阵为作一级模糊综合评判，得其中，下同。_1214594525.unknown_1214594622.unknown_1214594735.unknown_1214594849.unknown_1214594583.unknown_1214594459.unknown模糊综合评判取权重为，单因素评判矩阵为作一级模糊综合评判，得_1214594958.unknown_1214594986.unknown_1214595043.unknown_1214594937.unknown模糊综合评判取权重为，单因素评判矩阵为作一级模糊综合评判，得_1214595127.unknown_1214595145.unknown_1214595217.unknown_1214595112.unknown模糊综合评判（4）对第一级因素设权重为令总单因素评判矩阵为作二级模糊综合评判，得按最大隶属原则，此产品属二级品。_1214595352.unknown_1214595402.unknown_1214595555.unknown_1214595316.unknown权重的确定方法在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果.凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映实际情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往带有主观性,是不能客观地反映实际情况,评判结果可“真”.频数统计方法对每一个因素uj,在k个专家所给的权重aij中找出最大值Mj和最小值mj,即Mj=max{aij|1≤i≤k},j=1,2,…n;mj=min{aij|1≤i≤k},j=1,2,…n.(2)选取适当的正整数p,将因素uj所对应的权重aij从小到大分成p组,组距为(Mj-mj)/p.(3)计算落在每组内权重的频数与频率(4)取最大频率所在分组的组中值(或邻近的值)作为因素uj的权重.(5)将所得的结果归一化.层次分析法（AHP）1、构造两两比较判断矩阵在递阶层次结构中，设上一层元素C为准则，所支配的下一层元素为u1,u2,…,un对于准则C相对重要性即权重。这通常可分两种情况：（1）如果u1,u2,…,un对C的重要性可定量（如可以使用货币、重量等），其权重可直接确定。（2）如果问题复杂，u1,u2,…,un对于C的重要性无法直接定量，而只能定性，那么确定权重用两两比较方法。其方法是：对于准则C，元素ui和uj哪一个更重要，重要的程度如何，通常按1～9比例标度对重要性程度赋值，下表中列出了1～9标度的含义。 标度含义 1表示两个元素相比，具有同样重要性 3表示两个元素相比，前者比后者稍重要 5表示两个元素相比，前者比后者明显重要 7表示两个元素