Addtheauthorandtheaccompanyingtitle材料科学研究中的数学模型第一章材料科学研究中的数学模型现代科学技术发展的一个重要特征是各门科学技术与数学的结合越来越紧密。数学的应用使科学技术日益精确化、定量化。数学模型是连接数学与其他科学的中介和桥梁，从定量的角度对实际问题进行数学描述，是对实际问题进行理论
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
和科学研究的有力工具。数学建模是一种创新性的科学方法，将现实问题简化、抽象为一个数学问题或数学模型，然后用数学方法求解，达到解决实际问题的目的。计算机技术的发展为数学模型的建立和求解提供了便利，更加推动了数学向其他科学的渗透。第一节数学模型基础一、基本概念模型：是对实体的特征及其变化规律的一种表示或抽象。数学模型：利用数学语言对某种事物系统的特征和数量关系建立起来的符号系统。是为了一定的目的对客观实际所作的一种抽象模拟，是一种更高层次的抽象，最终目的是解决实际问题。二、数学模型的分类按照人们对实体的认识，可分为描述性模型和解释性模型。按照建立模型的数学方法，可分为初等模型、图论模型、规划模型、微分方程模型、最优控制模型、随机模型、模拟模型等。按照模型的应用领域分为多种：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型等；按照模型的特征分，可分为静态和动态模型、确定性和随机模型、离散和连续性模型、线性和非线性模型。按照对模型结构了解的程度分为白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙．白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
技术问题．灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做．黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．例：人口及生态模型马尔萨斯人口模型（指数增长模型）模型的基本假设：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口数成正比。当时间马尔萨斯人口按几何级数增加(或按指数增长)的结论就是来源于此方程。课堂练习：取，，求上面方程的解析解，并描绘解的图形。课后作业：1、1650年世界人口为5亿，当时的年增长率为3‰，用指数增长模型计算什么时候世界人口达到10亿（实际上1850年前已超过10亿）。1970年世界人口为36亿，年增长率为21‰，用指数增长模型预测什么时候世界人口会翻一番。2、假定人口的增长服从这样的规律：时刻的人口为，t到时间内人口的增长与成正比，其中为环境的最大容量。试建立模型并求解析解，做出解的图形。马尔萨斯人口指数增长模型的解析解及图形：逻辑斯蒂克人口模型:对于1790―1930年间的美国人口拟合较好，但对于1930年以后的人口估计不准。但是逻辑斯蒂克模型在生物总数分析中还是有其广泛的应用的。只要某种特定自然环境中该物种是独立生存的，或与其它物种相比它占有绝对优势。在马尔萨斯后，荷兰数学家威赫尔斯特（Verhulst）提出一个新的假设：人口的净增长率随着的增加而减小，且当时，净增长率趋于零。因此人口方程可写成取，，，求方程的解析解，并描绘解的图形。求。逻辑斯蒂克人口模型:解析解及图形。分析：当人口增长到一定数量后，自然资源、环境条件等因素对人口的增长会起到一个阻滞作用，并且随着人口的不断增加，阻滞作用会越来越大。传染病的蔓延问题问题当某种传染病流行时，得病者人数是如何变化的？在何时病人的增加率最大？有关部门应如何控制传染病的蔓延？www.themegallery.comCompanyLogo模型一假设：病人是通过与他人接触而将病菌传染给他人的。进一步地假设，在单位时间内一个病人能传染的人数为定量，记作，称其为传染系数。建模设时刻，有病人数，且初始时再设从时刻到时刻时间段中病人的增量为从而有令则有微分方程，并有初始条件⑴从而问题转变为一个常微分方程的初值问题.解模方程⑴为一阶线性齐次常系数微分方程，方程的通解为再由初始条件得初值问题的解为⑵⑵式表明，病人数将按指数规律无限制地增加，即实际问题是，一个地区的人口总数是一个有限数，故上面的模型并不适用.模型二假设1.在传染病流行的地区里，总人口数是不变的;2.在单位时间内一个病人能传染的健康人数量是个变量.因为随着病人数的增加，健康人的数量在减少，从而也会减少.为此假定与健康人数量成正比,其比例系数为，仍然称为传染系数.建模设时刻时有病人数健康人数。初始时刻时有病人数.由假定1，有在时刻到的时间段中，病人数的增量为⑶两边同除以，并令其趋于零，则有微分方程⑶如此，把问题转变成一个微分方程.解模此方程是一个一阶可分离变量的微分方程，容易解出:两边积分，得再由初始条件，得所以方程的解为变形后有即所以从而原方程的解为⑷曲线的大致图形如下：分析：当时，此表明所有的人都将成为病人，这也是不合理的.因为最终病人数将趋于零.模型三假设:1.在传染病流行的区域内，总人口数是不变的;2.在单位时间内，一个病人能传染的人数与健康人数量成正比，其比例系数记为，称为传染系数。3.在单位时间内，一个病人通过治疗或其它过程能够不再成为病人的可能性记为，称为恢复系数。建模设时刻有病人人，健康人，免疫者人，初始时刻有病人及免疫人数为0.由假设1及3得⑺⑻从时刻到时刻的时段中病人数的增量为其中为免疫者数量的增量。把除以上式的两边，并令其趋于零，则有微分方程：课堂练习体积一定的罐头罐，尺寸应该怎样？分析：罐头罐通常为圆柱体，假设半径为r,高为h.由于体积v一定,所以，
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
罐头罐应考虑制造成本：1、材料费用：罐头罐的表面积与单位面积材料费c的乘积：2、焊接费用：焊接长度与单位长度的焊接费用d的乘积：123总费用出租车现行收费制度（6：00～23：00）为3公里起步价10元、每公里2元，并且10公里以上每公里3元。一些精明的乘客在行驶一定里程后，利用换车或让司机重新计价的方法来节省车费。请问适当换车真的省钱吗？建立数学模型解释上述现象。分析：假设堵车不发生，则平均每公里费用p与公里数x关系如下：p-x图像如下：当x=10时，p取得最小值，当x<10时，p是x的减函数，当x>10时，p是x的增函数，但却一直小于3.当x≤10时，不换车；当x=10n时（n是大于1的整数），每隔10公里换一次车。因为x＝10时，费用p最小。当10
14时，换车，x<14不换车某公司租用一幢n层的办公大楼，该公司全员会议较多，需在某个楼层设置会议厅，试建立数学模型，选择合适的楼层。分析：假设每个楼层参加会议的人数相同，相邻两层楼梯长都一样。合适的楼层应使得参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小.假设选择楼层k,则各楼层路程总和为：(k-1)+(k-2)+…1+0+1+2+…(n-k)=当n为奇数时，k=(n+1)/2当n为偶数时，k=n/2或（n+2）/2三、数学模型的应用将客观原型进行抽象和简化，便于采用定量的方法去分析和解决实际问题。在材料工程领域，数学模型与实验方法同样重要，甚至更好。材料设计时，建立正确的数学模型进行理论设计，可设计出性能优良、工艺可行的材料．生产过程中，先建立数学模型，在计算机上进行模拟计算代替实验，可节约人力、物力和财力，还可避免发生故障和危险，甚至完成实验不可能完成的任务。第二节建立数学模型的一般步骤和原则一般采用的建模基本步骤为：1、建模准备；2、建模假设；3、构造模型；4、模型求解；5、模型分析；6、模型检验；7、模型应用。1、建模准备要了解问题的实际背景，明确建模的目的。如果实际问题需要给出定量的分析和解答，就可将其作为数学建模的课题。深入实际，掌握广泛资料，搜集建模所需信息和数据，进行建模筹划。2、建模假设课题的原型往往是复杂的、具体的。所以必须对其进行适当的抽象和简化，从而掌握其本质属性。必须按照假设的合理性原则进行抽象、简化。3、构造模型在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的
内容
财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容
，选择适当的数学工具和构造模型的方法构造出刻画实际问题的数学模型。在能够达到预期目的的前提下，所用的数学工具越简单越好。4、模型求解构造数学模型后，根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解方法和算法，编写程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成模型的求解。5、模型分析根据建模的目的
要求
对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗
，对求解的数字结果，进行稳定性分析或灵敏度分析、误差分析等。如不符合要求，需要修改或增减建模假设条件，创新建模，直到符合要求。如符合要求，还可对模型进行评价、预测、优化等分析和探讨。6、模型检验模型分析符合要求后，需回到实际对模型进行检验，如不符合实际，还要重新建模。直到获得满意结果。7、模型应用是数学建模的宗旨，是对模型最客观、公正的检验。将成功的数学模型用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型的特殊作用。虚拟制造管路设计强度分析结构分析数字预装配CAM装配过程仿真装配过程仿真通过产品设计手段与设计过程的数字化，缩短新产品开发周期，提高企业的产品创新能力以数控机床为代表的数字化装备通过加工装备的数字化、自动化和精密化，提高产品的加工精度和生产效率。(a)(b)(c)元胞自动机模拟的低碳钢在812℃等温奥氏体－铁素体相变过程中的组织演变(a)10.0Sec,(b)20.0Sec和(c)60.0Sec(0.2×0.2mm2)固态相变模拟第三节常用的数学建模方法理论分析法指应用自然科学中的定理和定律，对所研究系统中的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。在工艺比较成熟、对机理比较了解时，可采用此方法。例：P14甲醇加煤油气氛渗碳中，求炉气碳势与CO2含量的数值关系。钢在炉气中发生反应：P总＝1atm分别为CO,CO2在炉气中的体积分数。K2为平衡常数。为碳在奥氏体中的活度。当温度一定时，CC(A),K2为常数，将视为常数。得出：利用实验数据进行回归，得出回归方程：指数不为1，说明可能有副反应发生或不为常数。模型的结构及性质已经了解，但数量描述和求解却很麻烦，用另一种系统，结构和性质相同，构造的模型与原模型类似，可对后一模型分析或实验以求得结果。模拟方法若两个不同系统可用同一形式的数学模型描述，根据两个系统某些属性或关系的相似，可猜想两者其他属性或关系也可能相似。例：P20类比分析法在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，在理论上描述这一动力学过程。（Avrami阿弗拉米方程）采用类比分析法：结晶过程包括成核和晶体生长两个阶段，与下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波并向外扩展的情形类似，可通过水波扩散模型来推导聚合物结晶时的结晶度与时间的关系。在水面上任选一参考点，根据概率分析，从时刻0到t通过该点的水波数为m的概率P(m)为Poisson分布（设落下的雨滴数>m，t时刻通过p的水波数的平均值为E）。实际晶态聚合物中，通常是晶区和非晶区同时存在的。结晶度：试样中结晶部分所占的质量分数或者体积分数。1、二维球晶雨滴接触水面相当于形成晶核，水波相当于二维球晶的生长表面，当m＝0时，所有的球晶面都不经过p点，即p点仍处于非晶态。设此时球晶部分占有的体积分数为，求出平均值E，可得非晶区的体积百分比。（1）先考虑一次性同时成核的情况，所有雨滴同时落入水面，t时刻，水波前进距离为r，则以r为半径的圆面内的雨滴所产生的水波都将通过p点。drpr把这个面积称为有效面积，通过p点的水波数等于这个有效面积内落入的雨滴数。设单位面积内的平均雨滴数为N，有效面积的增量为2πrdr，平均值E的增量为水波前进速度即球晶生长速度为v，则r＝vt，得到平均值E同时间t的关系表示晶核密度为N，一次性成核时体系中的非晶部分与时间的关系。（2）如果晶核是不断形成的，相当于不断下雨的情况，设单位时间内单位面积上平均产生的晶核数即晶核生长速度为I，到t时刻单位面积上产生的晶核数为（相当于生成的水波）It。时间增加dt，有效面积的增量仍为2πrdr，只有满足vt>r的条件下产生的水波才是有效的，即才能通过P点。2、三维球晶把圆环确定的有效面积增量用球壳确定的有效体积增量4πr2dr代替，对于同时成核体系（N为单位体积的晶核数）：对于不断成核体系，定义I为单位时间单位体积内产生的晶核数，通式为：数据分析法当系统结构性质不十分清楚，且不便于类比分析，但有若干能反映系统规律、能描述系统状态的数据可利用时，可通过数据分析方法来建立系统模型。一般为回归分析法。求一条通过或接近一组数据点的曲线，这一过程称为曲线拟合，表示曲线的数学式称为回归方程。求回归方程的一般方法如下：设有一未知系统，测得n个输入——输出数据点为：若能确定阶数及系数，就得到回归方程——数学模型。最小二乘法40050105286121180242345以d-1/2作为x,σs作为y，取y=a+bx，为一条直线，属于一元线性回归。实验数据点为（xi,yi），一般直线并不通过其中任一实验数据点，因为每点均有偶然误差ei，ei=a+bxi-yi所有实验数据点误差（相当于估计值与观测值差）的平方和为：按照最小二乘法的原理，误差平方和为最小的直线是最佳直线。条件为：整理后得出：课堂作业一元线性回归（精确到小数点后五位）某水库的蓄水量y与时间t有关，表中所示为1~7月份的数据记录。时间ti（月份）1234567蓄水量yi/108m3109.78.17.27.26.15.6答案：y=10.74286-0.76071t课后作业可线性化的一元非线性回归问题（精确到小数点后六位）利用线性回归方法对呈现幂函数型曲线的y=axb的已知数据点（xi,yi）作曲线拟合。Xi12345678Yi0.20.81.635.681113y=0.190143x2.053957Addtheauthorandtheaccompanyingtitle生活图标元素商务图标元素商务图标元素商务图标元素商务图标元素
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