第十六章虚位移原理§16-1引言刚体平衡的充要条件对刚体系统和变形体来说是必要的，但不是充分的。求解刚体系统的平衡问
题
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时，常需要取分离体，列些平衡方程求解未知量。刚体平衡的充要条件不能判别物体系统平衡是稳定的还是不稳定的，即平衡位置稳定性。虚位移原理应用能量的概念研究受力物体或物体系统的平衡的普遍规律，不仅可以得到物体或物体系统的平衡条件和平衡方程，而且还能判别平衡的稳定性。§16-2约束˙约束方程˙广义坐标˙自由度1.约束、约束方程限制质点或质点系运动的强制性条件称为约束。约束对质点系运动的限制可以通过质点系各质点的坐标和速度以及时间的数学方程来表示，这种方程称为约束方程。式中n为质点系的质点个数，s为约束方程个数。例16-1：求图16-3所示刚性杆长为l的单摆，摆锤A的运动所受的限制条件。例16-2：如图16-4所示曲柄－滑块机构，曲柄长OA=R，连杆长AB=l，求系统的约束方程。（1）双侧约束和单侧约束约束方程为等式的约束称为双侧约束约束方程只能写成不等式，不能写成等式的约束称为单侧约束。（2）完整约束和非完整约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。限制质点系运动情况的约束，称为运动约束。几何约束和可积分的微分约束称为完整约束。不可积分的微分约束称为非完整约束。（3）定常约束和非定常约束约束方程中不显含时间t的约束，称为定常约束。约束方程中显含时间t，称为非定常约束。2.广义坐标能够唯一确定质点系在空间位置或构形的独立坐标称为广义坐标。只要知道摆角，则单位唯一便可唯一确定，故可选择为广义坐标3.自由度对于具有双面、完整约束的质点系，确定其位置所需的独立坐标数目就称为该系统的自由度。§16-3虚位移虚功理想约束1.自由度在某瞬时，质点（或质点系）在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为该质点（质点系）的虚位移，记作。为数学上的变分符号，运算法则与微分运算相类似。求各点虚位移关系的计算方法：1.几何法（虚速度法）：2.解析法：将各点坐标用广义坐标表示，再求变分。例16-3已知在图16-10中，设，求时,AB两点虚位移关系。1）几何法。由图示位置，任给系统一组虚位移由速度投影定理：由速瞬心法：时2）解析法：建立坐标如图所示2.虚功力在相应虚位移上所作的成为虚功，用表示。3理想约束如果在质点系任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。在动能定理一章已分析过光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定端等约束为理想约束，现从虚位移原理的角度看，这些约束也为理想约束。§16-4虚位移原理在双面理想约束下，质点系平衡的充分必要条件是，作用在系统上的主动力在任何虚位移上所作的虚功之和为零。应用虚位移原理求解静力学问题的大致步骤如下：1）根据问题要求，确定所研究系统的范围，并检查系统的约束情况，约束力在虚位移上不做功的时候才能采用虚位移原理。2）确定自由度数，选择广义坐标。3）列写虚功方程。4）由虚位移彼此独立，且不为零，列出主动力的方程。例16-4已知：曲柄连杆机构在图16-11示位置平衡，设。求：使机构在图示位置平衡时，主动力偶矩与的关系。解：1.假设各铰链和接触面光滑，则可采用虚位移原理来处理。取整体为研究对象。自由度数为1。2.分析主动力为。3.由虚位移原理知4.分析虚位移，任给一组虚位移如图16-12所示OA做定轴转动，AB为平面运动，由速度投影定理可得，有得例16-5如图16-13所示，在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶，其力偶矩等于。设螺杆的螺矩为，求平衡时，作用于被压榨物体上的压力。解：1.取研究对象：整体，自由度数为2.分析主动力：系统所受主动力3.分析虚位移：任给一组虚位移4．由虚位移原理求解例16-6杆OD、CE、CB、DB，弹簧AB，刚度为k，弹簧未变形时，OA=AE=AD=AC=CB=DB=l，求当θ角为平衡位置时，P的大小为多少(不计各杆自重)？解：1．研究对象：整体，自由度数为，选θ为广义坐标。2．分析主动力：拆除弹簧，用弹簧力、表示弹簧的伸长量为故弹簧力的大小为故做功的力有3．分析虚位移：建立坐标系Oxy,利用解析法建立虚位移的关系：4．由虚位移原理求解例16.7求图16-16所示无重组合梁支座Ａ的约束力。解：1.以整体为研究对象。2.受力分析：解除A处约束，代之给虚位移3.分析虚位移：4.由虚位移原理得：
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