高考数学二轮复习余弦定理与解三角形课件（32张）（全国通用）

第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案· 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 理科第五章　解三角形第30课　余弦定理与解三角形第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科链教材·夯基固本栏目导航研 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型·技法通关第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科45°－eq\f(1,4)激活思维1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶3∶4，则cosC＝________.【解析】直接利用余弦定理，可得cosC＝－eq\f(1,4).2.(必修5P15练习1改编)在△ABC中，若a＝2，b＝2，c＝2eq\r(,2)，则A＝________.【解析】由余弦定理，得cosA＝eq\f(\r(2),2)，所以角A＝45°.第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科60°3.(必修5P17练习6改编)在△ABC中，已知(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，那么A＝________.【解析】由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).因为0°<A<180°，所以A＝60°.第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科等腰4.(必修5P17练习5改编)在△ABC中，已知c＝2acosB，那么△ABC的形状为________三角形．【解析】由余弦定理得c＝2acosB＝2a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，化简得a＝b，所以△ABC为等腰三角形．第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科eq\f(15\r(7),4)5.(必修5P14例1改编)在△ABC中，若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC的面积为________．【解析】由余弦定理得cosA＝eq\f(3,4)，则sinA＝eq\f(\r(7),4)，S△ABC＝eq\f(1,2)bc·sinA＝eq\f(1,2)×5×6×eq\f(\r(7),4)＝eq\f(15\r(7),4).第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科知识梳理1.余弦定理：a2＝_________________，b2＝_________________，c2＝_________________.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科2.余弦定理的变式：cosA＝_________________，cosB＝_________________，cosC＝_________________.3.利用余弦定理，我们可以解决以下两类解三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．eq\f(b2＋c2－a2,2bc)eq\f(a2＋c2－b2,2ac)eq\f(a2＋b2－c2,2ab)第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科课堂导学利用余弦定理判断三角形的形状　在△ABC中，已知a(bcosB－ccosC)＝(b2－c2)cosA，试判断△ABC的形状．【思维引导】已知条件等式中既有边又有角，因此考虑将边与角的混合关系转化为只含有边或者只含有角的关系，再判断．本题向边转化较容易．第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科【解答】因为a(bcosB－ccosC)＝(b2－c2)cosA，所以ab·eq\f(c2＋a2－b2,2ca)－ac·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝(b2－c2)eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，去分母化简，得a2b2－b4－a2c2＋c4＝0，即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0⇒a2＝b2＋c2或b＝c，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．【精要点评】本题考查余弦定理的运用能力．根据已知的边角关系，判断三角形的形状是解三角形中的典型题型，通常利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含有边或只含有角的关系，再求解．第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科　在△ABC中，已知acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．【解答】由acosA＋bcosB＝ccosC，得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，化简得c4＝(a2－b2)2，即b2＋c2＝a2或a2＋c2＝b2，所以△ABC为直角三角形.第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科利用余弦定理解三角形　(2018·苏州中学)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b(b＋c)．(1)求证：A＝2B；【解答】因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，所以在△ABC中，由余弦定理可得，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(c2＋bc,2ac)＝eq\f(b＋c,2a)＝eq\f(a2,2ab)＝eq\f(a,2b)＝eq\f(sinA,2sinB)，第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科所以sinA＝sin2B，则A＝2B或A＋2B＝π.若A＋2B＝π，又A＋B＋C＝π，所以B＝C，即b＝c，故a2＝b2＋c2，所以A＝eq\f(π,2)，B＝eq\f(π,4)，故A＝2B.综上，A＝2B.第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科(2)若a＝eq\r(3)b，求cosC.【解答】因为a＝eq\r(3)b，所以eq\f(a,b)＝eq\r(3)，由a2＝b(b＋c)，可得c＝2b，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(3b2＋4b2－b2,4\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°，故cosC＝0.第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科【精要点评】(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，BC边上的中线AM的长为eq\r(7).(1)求角A和角B的大小；【解答】由a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，得a2－b2－c2＝－eq\r(3)bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2).又0＜A＜π，所以A＝eq\f(π,6).由sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，得eq\f(1,2)sinB＝eq\f(1＋cosC,2)，第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科即sinB＝1＋cosC，则cosC＜0，即C为钝角，所以B为锐角，且B＋C＝eq\f(5π,6)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－C))＝1＋cosC，化简得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,3)))＝－1，解得C＝eq\f(2π,3)，所以B＝eq\f(π,6).第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科(2)求△ABC的面积．【解答】由(1)知a＝b，由余弦定理得AM2＝b2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2－2b·eq\f(a,2)·cosC＝b2＋eq\f(b2,4)＋eq\f(b2,2)＝(eq\r(7))2，解得b＝2，故S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科利用正、余弦定理解三角形的面积问题　如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b(sinC＋cosC)．(1)求∠ABC；【解答】在△ABC中，因为a＝b(sinC＋cosC)，所以sinA＝sinB(sinC＋cosC)，所以sin(π－B－C)＝sinB(sinC＋cosC)，所以sin(B＋C)＝sinB(sinC＋cosC)，第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科所以sinBcosC＋cosBsinC＝sinBsinC＋sinBcosC，所以cosBsinC＝sinBsinC，又因为C∈(0，π)，故sinC≠0，所以cosB＝sinB，即tanB＝1.又B∈(0，π)，所以∠ABC＝eq\f(π,4).第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科(2)若∠A＝eq\f(π,2)，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．【解答】在△BCD中，DB＝2，DC＝1，由余弦定理得BC2＝12＋22－2×1×2×cosD＝5－4cosD.又A＝eq\f(π,2)，由(1)可知∠ABC＝eq\f(π,4)，所以△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝eq\f(1,2)×BC×eq\f(1,2)×BC＝eq\f(1,4)BC2＝eq\f(5,4)－cosD，第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科又S△BDC＝eq\f(1,2)×BD×DC×sinD＝sinD，所以S四边形ABDC＝eq\f(5,4)－cosD＋sinD＝eq\f(5,4)＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(D－\f(π,4))).所以当D＝eq\f(3π,4)时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为eq\f(5,4)＋eq\r(2).【精要点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及到已知几何量与所求几何量集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科　(2019·无锡期中)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\r(3)(b－acosC)＝csinA.(1)求角A的大小；【解答】因为eq\r(3)(b－acosC)＝csinA，由正弦定理，得eq\r(3)(sinB－sinAcosC)＝sinCsinA，即eq\r(3)[sin(A＋C)－sinAcosC]＝sinCsinA，化简，得eq\r(3)cosAsinC＝sinCsinA.因为C∈(0，π)，所以sinC≠0.故tanA＝eq\r(3)，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科(2)若AC边上的中线BD的长为eq\r(13)，求△ABC面积的最大值．【解答】因为BD为AC边上的中线，所以S△ABC＝2S△ABD＝AB×AD×sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)AB×AD.又由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD×coseq\f(π,3)＝AB2＋AD2－AB·AD≥AB·AD，所以AB·AD≤13，所以S△ABC＝eq\f(\r(3),2)AB·AD≤eq\f(\r(3),2)×13＝eq\f(13\r(3),2)，当且仅当AB＝AD时取等号，故△ABC面积的最大值为eq\f(13\r(3),2).第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科eq\f(\r(2)＋\r(6),2)课堂评价1.(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝eq\r(2)，B＝45°，则BC的长为______________．【解析】在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则c＝1，b＝eq\r(2)，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－eq\r(2)a－1＝0.因为a>0，所以a＝eq\f(\r(2)＋\r(6),2)，即BC＝eq\f(\r(2)＋\r(6),2).第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科－eq\f(\r(2),4)2.(2018·盐城中学最后一卷)已知△ABC的三边长成公比为eq\r(2)的等比数列，则其最大角的余弦值为________．【解析】设△ABC的三边分别为a，eq\r(2)a,2a，由三角形中大边对大角的规律可知，2a所对的角θ必定是最大的，因此由余弦定理可得cosθ＝eq\f(a2＋\r(2)a2－2a2,2×a×\r(2)a)＝－eq\f(\r(2),4).第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科eq\f(3,4)3.(2018·赣榆中学)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝eq\r(3)，则△ABC的面积为________．【解析】依题意得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，故C＝60°，因此△ABC的面积等于eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,4).第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科64.(2018·宜兴中学)已知在△ABC中，AC＝4，BC＝2eq\r(7)，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则eq\f(BD,CD)的值为________．【解析】在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6，则cos∠ABC＝eq\f(28＋36－16,2×2\r(7)×6)＝eq\f(2,\r(7))，BD＝AB·cos∠ABC＝6×eq\f(2,\r(7))＝eq\f(12,\r(7))，CD＝BC－BD＝2eq\r(7)－eq\f(12,\r(7))＝eq\f(2,\r(7))，所以eq\f(BD,CD)＝6.第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科5.(2018·南师大考前模拟一)如图，在△ABC中，已知AC＝7，B＝45°，D是边AB上的一点，AD＝3，∠ADC＝120°.(1)求CD的长；【解答】在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC,72＝32＋CD2－2×3·CDcos120°，解得CD＝5.第*页第五章　解三角形栏目导航高考总复习一轮复习导学案·数学理科(2)求△ABC的面积．【解答】在△BCD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sinB)，eq\f(BD,sin75°)＝eq\f(5,sin45°)，解得BD＝eq\f(5＋5\r(3),2)，所以S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝eq\f(1,2)AD·CDsin∠ADC＋eq\f(1,2)CD·BDsin∠BDC＝eq\f(1,2)×3×5sin120°＋eq\f(1,2)×5×eq\f(5＋5\r(3),2)sin60°＝eq\f(75＋55\r(3),8).