人教版高中数学选择性必修二导学案全套

人教版高中数学选择性必修二导学案全套《4.1数列的概念》导学案（ 第一课 旧约精览一百步肺炎基本知识第八章运动和力知识点六上学与问第一课时开学第一课收心教育 时）【学习目标】1.理解数列的有关概念与数列的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示方法.2.掌握数列的分类.3.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.4.掌握数列通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.【重点和难点】重点：数列的有关概念与数列的表示方法难点：数列的函数特征【知识梳理】一、数列1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.二、数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列三、数列与函数数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么构成了一个数列{f(n)}．f(1)，f(2)，…，f(n)，…四、数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cosnπ等.1.下列叙述正确的是(　　)A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}D.同一个数在数列中不可能重复出现2.若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=　　　　　,224是该数列的第　　　　　项.【学习过程】一、情景导学古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.那么什么叫数列呢?二、问题探究1.王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：75,87,96,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168①记王芳第i岁的身高为hi ，那么h1=75 ,h2=87, …，h17=168.我们发现hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即h1=75 是排在第1位的数，h2=87是排在第2位的数…，h17=168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置，所以①具有确定顺序的一列数。2.在两河流域发掘的一块泥板（编号K90，约生产于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天，每天月亮可见部分的数：5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.②记第i天月亮可见部分的数为si,那么s1=5 ,s2=10, …，s15=240.这里，si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1~15顺序排列时的确定位置，即s1=5是排在第1位的数，s2=10是排在第2位的数……s15=240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置，所以，②也是具有确定顺序的一列数。3.-12的n次幂按1次幂，2次幂,3次幂,4次幂……依次排成一列数：-12，14，-18，1 16…③思考：你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？三、典例解析例1.根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项,并画出它们的图像.（1）an=n2+n2 ;（2）an=cos(n-1)π2例2.根据数列的前4项,写出下列数列的一个通项公式:(1)12,2,92,8,252,…;(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)9,99,999,9999,…;(4)22-11,32-23,42-35,52-47,…;(5)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…;(6)4,0,4,0,4,0,….根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2) 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.2.常见数列的通项公式(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.(7)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是an=n(n+1)2.(8)数列1,12,13,14,…的一个通项公式是an=1n.跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(1)1,13,15,17;(2)212,414,618,8116;(3)3,5,9,17;(4)23,415,635,863;(5)7,77,777,7777.例3(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.①数列中有哪些项是负数?②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1)1011n(n∈N*),试问数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.(2)可以利用不等式组an-1≤an,an≥an+1(n>1)找到数列的最大项;利用不等式组an-1≥an,an≤an+1(n>1)找到数列的最小项.变式探究：在本例(2)中,若已知数列的通项公式an=1n+3·98n,n∈N*,试求该数列{an}的最小项.【达标检测】1.下列各项表示数列的是(　　)A.△,○,☆,□B.2008,2009,2010,…,2017C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D.a+b,a-b,ab,λa2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是(　　)A.1,2,3,…,20B.-1,-2,-3,…,-n,…C.1,2,3,2,5,6,…D.-1,0,1,2,…,100,…3.观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有　　　　　小圆圈.4.已知数列{an}的通项公式为an=log3(2n+1),则a3=　　　　　.5.已知数列3,7,11,15,…,则53是该数列的第　　　　　项.6.在数列{an}中,已知an=n2+n-13(n∈N*).(1)写出a10,an+1.(2)7923是不是该数列中的项?如果是,是第几项?7.已知数列{an}的通项公式an=kn2n+3(k∈R).(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.【课堂小结】数列的概念与表示数列的定义数列的表示数列的分类数列的函数特征数列的通项公式【参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】知识梳理1.解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.答案:B2.解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.答案:99　15学习过程一、典例解析例1.解:（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列{an}的前5项依次为1,3,6,10,15如图所示(1)（2）当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列{an}的前5项依次为1,0,-1,0,1如图所示(2)例2.解:(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,12,42,92,162,252,…,所以,它的一个通项公式为an=n22.(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1000,10000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为an=(n+1)2-n2n-1=n2+n+12n-1.(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·1n(n+1).(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=4,n为奇数,0,n为偶数.又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.跟踪训练1.解:(1)an=12n-1;(2)an=2n+12n;(3)an=2n+1;(4)an=2n(2n)2-1;(5)an=79(10n-1).例3分析:(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.(2)数列{an}的通项计算an+1-an确定单调性求解最大(小)项(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得00,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1a11>a12>…,∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,即a9=a10=1010119.解法二:设ak是数列{an}的最大项,则ak≥ak-1,ak≥ak+1,即(k+1)1011k≥k1011k-1,(k+1)1011k≥(k+2)1011k+1,整理,得10k+10≥11k,11k+11≥10k+20,得9≤k≤10,所以k=9或k=10.又a1=2011a5=a6,即a5与a6都是数列的最小项,且a5=a6=9586.达标检测1.解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.答案:B2.解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.答案:D3.分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.答案:n2-n+14.解析:观察可得数列的一个通项公式是an=4n-1,而53=75=4×19-1,所以53是该数列的第19项.答案:195.解析:∵an=log3(2n+1),∴a3=log3(23+1)=log39=2.答案:26.解:(1)a10=102+10-13=1093;an+1=(n+1)2+(n+1)-13=n2+3n+13.(2)令an=n2+n-13=7923,解得n=15(n=-16舍去),所以7923是该数列中的项,并且是第15项.7.分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.解:(1)当k=1时,an=n2n+3,所以an+1=n+12n+5,所以an+1-an=n+12n+5-n2n+3=3(2n+5)(2n+3)>0,故数列{an}是递增数列.(2)若数列{an}是递减数列,则an+1-an<0恒成立,即an+1-an=kn+k2n+5-kn2n+3=3k(2n+5)(2n+3)<0恒成立.因为(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,故k<0.《4.1数列的概念》导学案（第二课时）【学习目标】1.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.2.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.【重点和难点】重点：数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式【知识梳理】一、数列的递推公式像an=3an-1n≥2  这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了首项和递推公式就能求出数列的每一项了点睛：通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.二、数列的通项与前n项和1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.2.an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.点睛(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.1.设数列{an}满足a1=1,an=1+1an-1(n∈N*,n>1),则a3=　　　　　.2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)递推公式也是表示数列的一种方法．()(2)所有数列都有递推公式．()(3)an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.()3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求数列{an}的通项公式.【学习过程】一、课前小测1．数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,2)(n－1)(n＋1)，则a5＝(　　)A．10B．12C．14D．162．由数列前四项：，，，，…，则通项公式______．3．已知数列的前几项是、、、、，写出这个数列的一个通项公式是_________．二、新知探究例4.图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的通项公式换个角度观察图中的4个图形，可以发现a1=1，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的三倍，这样，例4中的数列的前4项满足a1=1，a2=3a1，a3=3a2，a4=3a3由此猜测，这个数列满足公式an=1，         n=13an-1,      n≥2三、典例解析例1已知数列{an},a1=1,且满足an=3an-1+(-1)n2(n∈N*,且n>1),写出数列{an}的前5项.由递推公式写出数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.跟踪训练1已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是(　　)A.15B.255C.16D.63跟踪训练2.已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，并猜想通项公式．例2若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.变式探究：试求本例中Sn的最大值.已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))跟踪训练3.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则an＝____________.【达标检测】1.已知数列{an},a1=1,an+1=12an+12n,则该数列的第3项等于(　　)A.1B.14C.34D.582.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于(　　)A.0B.25C.2D.53.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是(　　)A.第4项B.第5项C.第6项.D.第7项4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an+23,n∈N*,则数列{an}的通项公式an=(　　)A.3×56n-1-1B.3×56n-1C.3×56n-1+1D.3×56n+15.(1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+1n-1n+1,n∈N*,求数列的通项公式an.(2)在数列{an}中,a1=1,an=1-1nan-1(n≥2),求数列{an}的通项公式.【课堂小结】【参考答案】知识梳理1.解析:由已知,得a2=1+1a1=2,a3=1+1a2=32.答案:322.（1）√（2）×（3）√3.解:a1=S1=1+2=3,①而n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②在②中,当n=1时,2×1-1=1,故a1不适合②式.∴数列{an}的通项公式为an=3,n=1,2n-1,n≥2.学习过程一、课前小测1．B　解析：由题意，通项公式为an＝eq\f(1,2)(n－1)(n＋1)，则a5＝eq\f(1,2)×(5－1)×(5＋1)＝12.故选B.2．【详解】由题意，该数列前四项可变为：，，，，…，由此可归纳得到数列的通项公式为．3．【详解】该数列的前四项可表示为，，，，因此，该数列的一个通项公式为.二、新知探究例4.解：在图中（1）（2）（3）（4）中，着色三角形个数依次为1,3,9,27即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1，因此这个数列的通项公式是an=3n-1三、典例解析例1分析:由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.解:由题意,得a2=3a1+(-1)22,而a1=1,所以a2=3×1+(-1)22=72.同理a3=3a2+(-1)32=10,a4=3a3+(-1)42=612,a5=3a4+(-1)52=91.跟踪训练1解析:因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B跟踪训练2.解：由a1＝2，an＋1＝2an，得：a2＝2a1＝2×2＝4＝22，a3＝2a2＝2×4＝8＝23，a4＝2a3＝2×8＝16＝24，a5＝2a4＝2×16＝32＝25，…，猜想an＝2n(n∈N*)．例2解:∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.变式探究：解:∵Sn=-2n2+10n=-2n-522+252,又∵n∈N*,∴当n=2或n=3时,Sn最大,即S2或S3最大.跟踪训练3.解析：∵Sn＝3n2－2n＋1，∴Sn－1＝3(n－1)2－2(n－1)＋1＝3n2－8n＋6.∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－(3n2－8n＋6)＝6n－5.又当n＝1时，a1＝S1＝2不适合上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))达标检测1.解析:a2=12a1+12=1,a3=12a2+122=34.答案:C2.解析:由题意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,解得m=25.答案:B3.解析:因为an=-2n2+25n=-2n-2542+6258,且n∈N*,所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第6项.答案:C4.解析:当n=1时,a1=1-5a1+23,解得a1=4.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n-5an+23-(n-1-5an-1+23),即an=56an-1+16,即an-1=56(an-1-1),故数列{an-1}是以3为首项,56为公比的等比数列,则an-1=3×56n-1,所以an=3×56n-1+1.故选C.答案:C5.分析:(1)先将递推公式化为an+1-an=1n-1n+1,再利用累加法求通项公式;(2)先将递推公式化为anan-1=n-1n,再利用累乘法求通项公式.解:(1)∵an+1-an=1n-1n+1,∴a2-a1=11-12,a3-a2=12-13,a4-a3=13-14,…,an-an-1=1n-1-1n(n≥2),将以上n-1个式子相加,得∴(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=1-12+12-13+…+1n-1-1n,即an-a1=1-1n(n≥2,n∈N*).∴an=a1+1-1n=-1+1-1n=-1n(n≥2,n∈N*).又当n=1时,a1=-1也符合上式.∴an=-1n.(2)因为a1=1,an=1-1nan-1(n≥2),所以anan-1=n-1n,所以an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·a3a2·a2a1·a1=n-1n·n-2n-1·n-3n-2·…·23·12·1=1n.又因为当n=1时,a1=1,符合上式,所以an=1n.《4.2.1等差数列的概念》导学案（第一课时）【学习目标】1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式及应用3.掌握等差数列的判定方法【重点和难点】重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定【知识梳理】1．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.3.从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．()(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．()(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．()2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　)(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()3．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝(　　)A．22　B．24　　　C．26　　　D．284．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为(　　)A．－1B．1C．3D．4【学习过程】一、学习导引我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。二、新知探究1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的示板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81①2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48②3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位℃）依次为25,24,23,22,21③4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r ，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金(b=a12n)元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为ar,ar-br,ar-2br,ar-3br… ,④在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？三、典例解析例1.（1）已知等差数列an的通项公式为an=5-2n，求an公差和首项；（2）求等差数列8,5,2…的第20项。求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．(2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．跟踪训练1．(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.例2(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．(2)已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)是等差数列，求证：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也是等差数列．等差中项应用策略1.求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝eq\f(x＋y,2).2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．【达标检测】1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　)A．是公差为－3的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)A．8　B．12　　　C．16　　　D．243．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为______．4.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.5．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．【课堂小结】【参考答案】知识梳理1.×;×;√2．解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．[答案]　(1)×　(2)√　(3)√3．D　[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.]4．D　[由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.故应选D.]学习过程一、新知探究思考1：设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得an+1-an=d所以a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…于是a2=a1+d,            a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,              a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,……归纳可得an=a1+(n-1)d    (n≥2)当n=1时，上式为a1=a1+(1-1)d=a1，这就是说,上式当时也成立。因此，首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d思考2：[提示]　还可以用累加法，过程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．二、典例解析例1.分析（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an+1-an=d，即可求出公差d，（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项解：（1）当n≥2时，由an的通项公式为an=5-2n，可得an-1=5-2n-1=7-2n.于是d=an-an-1=(5-2n)-(7-2n)=- 2.把代入通项公式an=5-2n，可得a1=3（2）由已知条件，得d=5-8=-3把a1=8,d=-3代入an=a1+(n-1)d,得an=8-3(n-1)=11-3n ,把n=20代入上式，得a20=11-3×20=-49 ,所以，这个数列的第20项是-49跟踪训练1．解：(1)设等差数列{an}的公差为d.∵a5＝10，a12＝31，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3.))∴这个等差数列的首项a1＝－2，公差d＝3.(2)　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))故a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝eq\f(20－8,60－15)＝eq\f(4,15)，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24.法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15k＋b＝8，,60k＋b＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(4,15)，,b＝4.))∴a75＝75×eq\f(4,15)＋4＝24.例2[思路探究]　(1)eq\x(列方程组)―→eq\x(求解m，n)―→eq\x(求m，n的等差中项)(2)(1)6　[由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝8×2＝16，,2m＋n＝10×2＝20，))∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴eq\f(m＋n,2)＝6.](2)[证明]　∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．∵eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(cb＋c＋aa＋b,ac)＝eq\f(a2＋c2＋ba＋c,ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2a＋c2,ba＋c)＝eq\f(2a＋c,b)，∴eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差数列．跟踪训练2[解]　∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝eq\f(－1＋7,2)＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝eq\f(－1＋3,2)＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝eq\f(3＋7,2)＝5.∴该数列为：－1，1，3，5，7.达标检测1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　)A．是公差为－3的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列A　[等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5.故公差为－3.故选A.]2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)A．8　B．12　　　C．16　　　D．24C　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故选C.]3．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为______．eq\r(3)　[eq\f(a＋b,2)＝eq\f(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2)),2)＝eq\f(\r(3)－\r(2)＋\r(3)＋\r(2),2)＝eq\r(3).]4.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.解析：(方法一)设an＝a1＋(n－1)d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝a1＋5－1d，,a8＝a1＋8－1d，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝a1＋4d，,5＝a1＋7d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝19，,d＝－2.))∴an＝－2n＋21(n∈N*)．∴a10＝－2×10＋21＝1.(方法二)设公差为d，∵a8＝a5＋(8－5)×d，∴d＝eq\f(a8－a5,3)＝－2，∴a10＝a8＋(10－8)×d＝1.(方法三)设an＝An＋B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝5A＋B，,a8＝8A＋B，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝5A＋B，,5＝8A＋B，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－2，,B＝21，))∴an＝－2n＋21，∴a10＝1.5．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．[解]　由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝a3，,a1a2＝a4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝a1＋2d，,a1a1＋d＝a1＋3d.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故数列{an}的通项公式为an＝2n.《4.2.1等差数列的概念》导学案（第二课时）【学习目标】1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.【重点和难点】重点：等差数列的性质及其应用难点：等差数列的性质的推导【知识梳理】1．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.3.等差数列的通项公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N*；4.通项公式的应用；【学习过程】一、典例解析例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程.跟踪训练1.孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（）年新建住房的面积开始大于820万平方米？A.2026B.2027C.2028D.2029例4.已知等差数列{an}的首项a1＝2，d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(1)求数列{bn}的通项公式.(2)b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由.对于第（2）小题，你还有其他解法吗？等差数列的性质如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列.例5.已知数列an是等差数列，p,q,s,t∈N*,且p+q=s+t求证:ap+aq=as+at例5是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？【达标检测】1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　)A．20　　　　　　　　B．30C．40D．502．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．3．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.4．在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.5．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.【课堂小结】1)应用等差数列解决生活中实际问题的方法.2)等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列.3)等差数列an，p,q,s,t∈N*,若p+q=s+t，则ap+aq=as+at【参考答案】知识梳理学习过程一、典例解析例3.分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1－d(n≥2).即：an－an－1＝－d.所以{an}为公差为－d的等差数列.10年之内（含10年），该设备的价值不小于（220×5%=）11万元；10年后，该设备的价值需小于11万元．利用{an}的通项公式列不等式求解．解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）．所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.由题意，得a10≥11，a11＜11.即：220－10d≥11220－11d＜11解得19820，解得n>475由于n∈N*，则n≥10,2019+10-1=2028所以该市在2028年建住房面积开始大于820万平方米.例4.分析：（1）{an}是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.解：（1）设等差数列bn的公差为d.∵b1=a1,b5=a2,∴b5- b1=a2- a1=8∵b5- b1=4d',∴4d'=8,d'=2,∴bn=2+(n-1)2=2n所以数列bn的通项公式是bn=2n（2）数列an的各项依次是数列bn的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列cn，则cn=4n- 3令4n- 3=29,解得:n=8所以，b29是数列的第8项对于第（2）小题，你还有其他解法吗？例5.分析：利用等差数列的中的两个基本量a1,d,再根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at，即可得证.证明：设数列an的公差为d,则ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,as=a1+(s-1)d,at=a1+(t-1)d,所以:ap+aq=2a1+(p+q-2) d,as+at=2a1+(s+t-2) d,因为p+q=s+t，所以ap+aq=as+at.例5通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？思路：ap-asp-s=at-aqt-q∵p+q=s+t,∴p-s=t-q∴ap-as=at-aq∴ap+aq=as+at达标检测1．【答案】C　[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]2．23.2　[根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]3．【答案】18　[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝eq\f(17,3).又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝eq\f(a9－a7,9－7)＝eq\f(7－\f(17,3),2)＝eq\f(2,3).∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×eq\f(2,3)，∴k＝18.]4．【答案】－1　[可求得数列的通项公式为an＝35－4n.则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0.又a8＝3，a9＝－1.故绝对值最小的项为a9＝－1.]5．【答案】法一：设这三个数为a，b，c(a